新向量组的线性相关性.pptx

第四章 向量组的线性相关性 4.1 n维向量（一一）定定义义1 n个有次序的数 所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量。分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量。以下除特殊说明外，一般只讨论实向量。n维向量可写成一行，也可写成一列。按第二章的规定，分别称为行向量和列向量，也就是行矩阵和列矩阵，并规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算。因此，n维列向量 与n维行向量 总看作是两个不同的向量（按定义1，与 应是同一个向量）。4.1 n维向量 列向量用小写字母 等表示,行向量则用等表示，所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”叫做向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象，在引进坐标系以后，这种向量就有了坐标表示式三个有次序的实数，也就是3维向量，因此当 时,n维向量可以把有向线段作为几何形象，但当 时，n维向量就不再有这种几何形象，只是沿用一些几何术语罢了。（二）（二）n维向量的线性运算（三）（三）n维向量的线性运算满足的性质 4.2 n维向量组的概念 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。例如一个 矩阵 有n个m维列向量它们组成的向量组 称为矩阵A的列向量组。矩阵A又有m个n维行向量它们组成的向量组 称为矩阵A的行向量组4.2 n维向量组的概念 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。例如 m个n维列向量所组成的向量组 构成一个 矩阵m个n维行向量所组成的向量组 构成一个 矩阵 可见矩阵与向量组是一一对应的关系。4.3 线性组合的概念定义定义2 给定向量组A：，对于任何一组实数 ，向量称为向量组A的一个线性组合，称为这个线性组合的系数。给定向量组A：和向量 ,如果存在一组数，使则向量 是向量组A的线性组合，这时称向量 能由向量组A线性表示。4.4 向量组等价的概念定定义义3 设有两个向量组A：及B：，若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示，若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。A：B：A组由B组线性表示 即 （*）4.4 向量组等价的概念 矩阵乘法形式表示即 A=KB（A组由B组线性表示）（*）为列向量组构成矩阵算法形式，（*）也可写成行向量组构成矩阵算法形式 如果A组与B组等价，这里矩阵K可逆 B=K-1A（B组由A组线性表示）即 A=KB而 B=K-1A,A组与B组等价。4.5 向量组的相关性定定义义4 给定向量组A：，如果存在不全为零的数 ，使则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。向量组A：线性相关，也就是在向量组A中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示。这是因为：如果向量组A线性相关，则有不全为0的数 使 。因 不全为0,不妨设 于是便有 即a1能由 线性表示。4.5 向量组的相关性 如果向量组A中有某个向量能由其余m-1个向量线性表示，不妨设 能由 线性表示，即有使 ，于是因为 这m个数不全为0（至少 ）,所以向量组A线性相关。即即 向量组 线性相关 中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。向量组 线性无关 中任何一个向量都不能被其余向量线性表示。4.5 向量组的相关性定理定理2 向量组 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 的秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m.例例1 n维向量组 ，称为n维单位坐标向量组，试讨论它的线性相关性。解解 n维单位坐标向量组构成的矩阵是n阶单位矩阵，由 ，知 ，即R(E)等于向量组中向量个数，故由定理2知此向量组线性无关的。例2 已知 ，试讨论向量组及向量组的线性相关性。解解 对矩阵 施加初等行变换变成行阶梯形矩阵，即可同时看出矩阵 及 的秩，利用定理2即可得到结论。可见 ，向量组 线性相关；，向量组 线性无关。例3 已知向量组 线性无关，试证向量组 线性无关 证证 设有 使 即 亦即因 线性无关，故有 由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解 所以向量组 线性无关。4.5 向量组的相关性 线性相关性是向量组的一个重要性质，下面先介绍与之有关的一些简单的结论。定理定理3（1）若向量组A：线性相关，则向量组 B：也线性相关。反言之，若向量组B线性无 关，则向量组A也线性无关。（2）设 ，即向量 添上一个分量后得向量 ,若向量组A：线性无关，则向量组B：也线性无关。反言之，若向量组B线性相关，则向量组A也线性相关。4.5 向量组的相关性（3）m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数 m时一定线性相关。（4）设向量组A：线性无关，而向量组B：线性相关，则向量 必能由向量组A线 性表示，且表示式是唯一的。4.6 向量组的秩 定理2显示，在讨论向量组的线性相关性时，矩阵的秩起了十分重要的作用。下面把秩的概念引进向量组。定义定义5 设有向量组A,如果在A中能选出r个向量 满足（i）向量组A0：线性无关；（ii）向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量的话）都线性相关，那么称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组）；最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩。只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0。联系上一章中矩阵秩的定义，并依据定理2，立即可得4.6 向量组的秩定理定理4 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量 组的秩。这个定理给出求向量组秩的方法。例例4 全体n维向量构成的向量组记作Rn,求Rn的一个最大无关 组及Rn的秩。解解 在例1中，我们证明了n维单位坐标向量构成的向量组 是线性无关的，又根据定理3的结论（3），知Rn中的任意n+1个向量都线性相关，因此向量组 E是Rn的一个最大无关组，且Rn的秩等于n.显然，Rn的最大无关组很多，任何n个线性无关的n维向量都是Rn的最大无关组。例例5 设矩阵 求矩阵A的列向量组的最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。解解 对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。知R(A)=3，故列向量组的最大无关组含3个向量。而三个非零行的非零首元在1、2、4三列，故 为列向量组的一个最大无关组。这是因为 知 故 线性无关。为把 用 线性表示，把A再变成行最简形矩阵即得4.6 向量组的秩定理定理5 设向量组能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩。证证 设向量组B的一个最大无关组为 ，向量组A的一个最大无关组为 ，要证 因B0组能由B组线性表示，B组能由A组线性表示，A组能由A0组线性表示，故B0组能由A0组线性表示，即存在系数矩阵 使 4.6 向量组的秩如果 rs，则方程组 （简记为Kx=0）有非零解(因 ,从而方程组 有非零解，即 有非零解，这与B0组线性无关矛盾,因此 rs不能成立，所以 。推论推论1 等价的向量的秩相等。推论推论2 设 ，则 。推推论论3（最大无关组的等价意义）设向量组B是向量组A的部分组，若向量组B线性无关，且向量组A能由向量组B线性表示，则向量组B是向量组A的一个最大无关组。4.7 向量空间 n维向量的全体所构成的集合Rn叫做n维向量空间。下面介绍向量空间的有关知识。定定义义6 设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法和乘法两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间。所谓封闭，是指在集合V中可以进行加法和乘法两种运算。具体地说，就是：若 ，则 ；若，则4.7 向量空间例例8 3维向量的全体R3,就是一个向量空间，因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量，数乘3维向量也仍然是3维向量，它们都属于R3,我们可以用有向线段形象地表示3维向量，从而向量空间R3可形象地看作以坐标原点为起点的有向线段的全体。类似地，n维向量的全体Rn,也是一个向量空间，不过当n3时，它没有直观的几何意义。4.7 向量空间例例9 集合 是一个向量空间.因为若 ，则 ，。例例10 集合 不是一个向量空间，因为若 ，则 。4.7 向量空间例例11 设 、为两个已知的n维向量，集合是一个向量空间，因为若 ，则有 ，这个向量空间称为由向量 、所生成的向量空间 一般地，由向量组 所生成的向量空间为4.7 向量空间例12 设向量组 与向量组 等价，记 ，试证 V1=V2证证 设 ,则x可由 线性表示,因可由 线性表示，故x可由 线性表示，所以 ，这就是说，若 ,则 ,因此类似地可证：若 ,则 ,因此因为 ，所以 。4.7 向量空间定定义义7 设有向量空间V1及V2，若 ，就称V1是V2的子空间。例如任何由n维向量所组成的向量空间V，总有 ，所以这样的向量空间总是Rn的子空间。定义定义8 设V为向量空间,如果r个向量 ,且满足（i）线性无关；（ii）V中任一向量都可由 线性表示。那么，向量组 就称为向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为r 维向量空间。4.7 向量空间 如果向量空间V没有基，那么V的维数为0，0维向量空间只含一个零向量0。若把向量空间V看作向量组，则按定理5的推论3可知，V的基就是向量组的最大线性无关组，V的维数就是向量组的秩。例如，由例4知，任何n个线性无关的n维向量都可以是向量空间Rn的一个基，且由此可知Rn的维数为n。所以我们把Rn称为n维向量空间。又如，向量空间的一个基可取为：。并由此可知它是n-1维向量空间。4.7 向量空间 由向量组 所生成的向量空间显然向量空间V与向量组 等价，所以向量组 的最大无关组就是V的一个基，向量组 的秩就是V的维数。若向量空间 ，则V的维数不会超过n,并且，当的维数为n时，。若向量组 是向量空间V的一个基,则V可表示为 这就较清楚地显示出向量空间V的构造。例13 设验证 是R3的一个基，并把 用这个基线性表示。解解 要证 是R3的一个基，只要证 线性无关，即只要证AE.设即 ，记作 B=AX对矩阵 施行初等行变换，若A能变为E,则 为R3的一个基，且当A变为E时，B变为X=A-1B。因有AE,故 为R3的一个基，且