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n年即期利率也指的是n年期零息票收益率（n-year zerocoupon yield）。由定义可知，该收益率正好是不付息票债券的收益率。远期利率是由当前即期利率隐含的将来时刻的一定期限的利率。年（n）n年期投资的即期利率第n年的远期利率110.0210.511.0310.811.4411.011.6511.111.5表4.1远期利率的计算 计算方式如下：我们假设即期利率如表4.1的第二列所示。这些即期利率以连续复利计息。因此，一年期10年利率意味着今天投资$100，一年后投资者收到100exp0.10=$110.52；二年期10.5年利率意味着今天投资$l00，二年后投资者收到100exp0.1052=$123.17；依此类推。表4.1中第二年的远期利率是年利率11。这是一个即期利率隐含的第一年末至第二年末之间期限的利率。它可以通过一年期10年即期利率和二年期10.5年即期利率计算出来。正是这个第二年的利率，与第一年10利率组合在一起，得到整个二年期间 10.5的年利率。为证明正确答案是11，假设投资$100，则第一年10利率和第二年11利率在第二年末收益为：100exp0.10exp0.11=$123.37 二年期10.5年利率投资的收益为：100exp0.1052 这个结果也是$123.37。这个例子说明了一个一般的结论：即当这些利率是连续复利，并且将相互衔接时期的利率组合在一起时，整个期间的等价利率是这些利率的简单算术平均（10.5是10和11的平均值）。当这些利率不是连续复利时，这个结果近似成立。第三年的远期利率是二年期 10.5年即期利率与三年期10.8年即期利率隐含的利率，计算的结果是11.4年利率。其它的远期利率可用类似的方法计算，列在表4.1中的第三列。一般来说，如果r是T年期的即期利率，r*是T*年期的即期利率，且T*T，T*-T期间的远期利率如下：为说明这个公式，我们从表4.1中数据计算第四年远期利率。T=3，T*=4，r=0.108，且r*=0.11，公式给出 二、二、零息票收益率曲线零息票收益率曲线 零息票收益率曲线（zerocoupon yield curve）是表示即期利率（即零息票收益率）与到期日之间关系的曲线。图4.1表示了表4.1中数据的零息票收益率曲线。图4.1表4.1中数据的零息票收益率曲线 区分零息票收益率曲线与附息票债券收益率曲线是很重要的。在图4.1所示的情况下，收益率曲线是向上倾斜的，零息票收益率曲线总是在附息票债券收益率的上面。这是因为如下的情况影响了附息票债券收益率：在债券到期前，投资者获得一些利息收入，对应于这些利息收入的相应贴现率低于最后支付日期相应的贴现率。分析家有时也考虑远期利率与远期合约期限之间的关系曲线。因此远期利率的期限可以是3个月期、6个月期或其它任何便利的时间期限。式（4.1）可重写为：这表明，如果收益率曲线是向上倾斜，r*r,于是 所以远期利率高于零息票收益率。取T*趋近于T的极限（所以r*趋近于r），我们看到在T时刻开始的一个相当短期间的远期利率是：这就是所谓的时刻T的瞬态远期利率（instantaneous forward rate）。图4.2是当收益率曲线向上倾斜时的零息票收益率曲线、附息票债券的收益率曲线和远期利率曲线。图4.2当收益率曲线是向上倾斜时的情况 图4.3当收益率曲线是向下倾斜时的情况 三、零息票收益率曲线的确定三、零息票收益率曲线的确定 实际中，即期利率（或零息票收益率）并不总是能够直接观察到的。能够观察到的只是附息票债券的价格。因此，一个重要的问题是如何从附息票债券的价格得出零息票收益率曲线。一个通常的方法就是所谓的息票剥率（bootstrap）方法。为说明这个方法，考虑表4.2中6个债券价格的数据。表表4.2息票剥率方法的数据息票剥率方法的数据 债券本金（$）到期期限（年）年息票*（$）债券价格（$）100 0.25 0 97.5 100 0.50 0 94.9 100 1.00 0 90.0 100 1.50 8 96.0 100 2.00 12 101.6 100 2.75 10 99.8 *注：假设每注：假设每6个月支付所列息票数额的一半个月支付所列息票数额的一半 由于前3个债券不付息票，对应这些债券期限的连续复利的即期利率可以容易地计算出来。第一个债券3个月期限，价格97.5，其收益为2.5。连续复利的3个月期利率是：或每年10.12%。类似地，6个月期是：或每年10.47%。1年期是：或每年10.54%。第四个债券期限1.5年。按如下方式支付：6个月期后$4 1年期后$4 1.5年后$104 从前面的计算中，我们知道在6个月末支付所用的贴现率是10.47%，在1年末支付所用的贴现率是10.54。我们也知道债券的价格$96必须等于债券持有人收到的所有收人的现值。设R表示1.5年期的即期利率，因此：4exp-0.10470.5+4exp-0.1054+104exp-1.5R=96 化简为：Exp-1.5R=0.85196 或 因此，1.5年期的即期利率是10.68%。这是唯一的与6个月期、1年期即期利率及表4.2中数据一致的即期利率。运用6个月期、1年期、1.5年期即期利率和表4.2中第五个债券的信息，可以计算出2年期的即期利率。如果R表示2年期的的即期利率：6exp-0.10470.5+6exp-0.10541.0+6exp-0.10681.5 +106exp-2R=101.6从以上可得出R=0.1081，或10.81%。至今，我们已经求出5个对应不同期限的零息票收益率曲线上的点。利用线性插值可以得到对应其它中间期限的点。第六个债券的现金流如下：3个月期后$5 9个月期后$5 1.25年后$5 1.75年后$5 2.25年后$5 2.75年后$105 对应于第一个现金流的贴现率已经求出为 10.12。利用线性插值方法，求出以下三个现金流的贴现率分别为10.505，10.61和10.745。因此前四个现金流的现值为：5exp-0.10120.25+5exp-0.105050.75 +5exp-0.10611.25+5exp-0.107451.75 =18.018最后两个现金流的现值为：99.8-18.018=81.782 设2.75年期的即期利率为R，利用线性插值，2.25年期即期利率为：因此，R的方程为：5exp-2.25（0.0721+R/3）+105exp-2.75R=81.782 利用试错法或诸如牛顿法的数值方法解以上方程，得出R=0.1087。2.75年期的即期利率为10.87。从表4.2中六个债券价格中可以描出图4.4中的零息票收益率曲线。如果给出更长期限债券，可获得更完整的期限结构。图4.4表4.2中数据的零息票收益率曲线 四、期限结构理论四、期限结构理论 利率的期限结构是指不存在违约风险而不同期限的零息债券到期收益率之间的关系。零息债券到期收益率也被称为即期利率。而由各种不同期限零息债券到期收益率所构成的曲线为到期收益率曲线。传统利率期限结构有三种不同的理论：预期理论、风险溢价理论、市场分割理论，以及对市场分割理论的补充流动性偏好理论。（一）预期理论（一）预期理论（ex-pectations theoryex-pectations theory）该理论认为对应某一确定时期的远期利率应该等于预期的未来的那个期限的即期利率。也就是：长期证券到期收益率等于现行短期利率（spot interest rate）和未来预期短期利率的几何平均。预期理论有以下假设：预期理论有以下假设：（1 1）市场上的各种证券没有违约风险；）市场上的各种证券没有违约风险；（2 2）全部投资者都是风险中心者，服从于利润最大化原则；）全部投资者都是风险中心者，服从于利润最大化原则；（3 3）证券买卖没有交易成本；）证券买卖没有交易成本；（4 4）投资者都能准确预测未来的利率；）投资者都能准确预测未来的利率；（5 5）投资者对证券不存在期限偏好。）投资者对证券不存在期限偏好。于是：分别为期限为n年的证券的收益率、当期短期利率（如1年或半年的利率）、第2期的单期预期利率以及第n期的单期预期利率。当n=2时则当n=3时当期限为n时 也就是说，只要知道相邻两期零息债券的到期收益率，就可以计算出单期远期利率。即投资者如果知道各种期限的收益率，他就可以知道未来短期利率的预测值。如果R2R1，也就是说收益率曲线下降，那么短期预测利率也下降，即 事实上由于R2R1，所以从而即一般情况下两式相除得 如果收益率曲线向右上方倾斜，即 则从而 到期收益率曲线向右上方倾斜，预期短期利率上升，不要理解为未来预期短期利率不断提高。预期短期利率有时会低于前一期的短期利率。在经济运行中，人们经常观察到在经济扩张一开始，到期收益率曲线斜率趋于增大，而在经济扩张的末尾到期收益率曲线斜率趋于减小。在实证研究中，人们也往往利用长短期利率的差别来解释或者预测未来的经济增长。（二）风险溢价理论（二）风险溢价理论 由于不同期限证券的利率风险是不同的，投资者也不完全是风险中立者，有些是风险规避者，而有些则是风险偏好者，投资者为了降低利率风险，往往会舍弃预期收益。在这种情况下，收益率曲线会反应如下内容：第一，投资者对未来短期利率的预期；第二，对利率风险低的债券的需求较大；第三，债券发行者为了节省兑现债券的麻烦而愿意增加长期债券的发行，即长期债券的供给较大，价格低，收益率高。因此，从风险的角度考虑，短期债券的利率风险较低，长期债券的利率风险较高，为鼓励投资者购买长期债券，必须给投资者以贴水，这实际上是风险溢价，属于流动性和再投资收益率双重风险的溢价。（三）市场分割理论（三）市场分割理论（market segmentation theorymarket segmentation theory）市场分割理论又被称为期限偏好理论，是莫迪利安尼（Modigliani）和萨奇（Sutch）于1966年提出的。该理论认为短期、中期和长期利率之间没有什么关系。不同的机构投资于不同期限的债券，并不转换期限。短期利率由短期债券市场的供求关系来决定，中期利率由中期债券市场的供求关系来决定，等等。（四）流动性偏好理论（四）流动性偏好理论（liquidity preference theoryliquidity preference theory）比较令人感兴趣的另一个理论是所渭的流动性偏好理论（liquidity preference theory），它是市场分割理论的补充。该理论认为远期利率应该总是高于预期的未来的即期利率。这个理论的基本假设是投资者愿意保持流动性并投资于较短的期限。而另一方面，长期借款的借款者通常愿意用固定利率。如果银行和其它金融中介提供的利率使得远期利率等于预期未来 即期利率，长期利率应该等于预期未来短期利率的平均值。在没有其它选择的情况下，投资者将倾向于存短期资金，借款者将倾向于借长期资金。于是金融中介发现他们需用短期存款来为长期固定利率贷款融资。这将包含额外的利率风险。实际上，为了使存款者和借款者匹配，避免利率风险，金融中介将提高长期利率超过预期未来的即期利率。这将减少长期固定利率借款的需求，鼓励投资者存更长期限的资金。流动性偏好理论使得长期利率大于预期的未来的短期利率。经验检验结果说明收益率曲线向上倾斜的状况比向下倾斜的状况要多，流动性偏好理论与以上结果相一致。附注：线性插值法附注：线性插值法 许多实际问题都用函数y=f(x)来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的。虽然f（x）在a,b上是存在的，有的还是连续的，但只能给出a,b上的一系列点xi的函数值yi=f(xi)(i=0,1,n)，这只是一张函数表，有的函数虽然有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常造一个函数表，如大家熟悉的三角函数表、对数表等。为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值。因此，我们希望可以根据给定的函数表做一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数P(x)用P(x)近似f(X)。通常选一类简单的函数作为P(x)，并使P(xi)=f(xi)对i=1,2,n成立。这样确定下来的P(x)就是我们希望的插值函数，此即为插值法。一、插值法一、插值法二、线性插值法二、线性插值法 线性插值是数学、计算机图形学等领域广泛使用的一种简单插值方法。三、如何进行线性插值三、如何进行线性插值 假设我们已知坐标(x0,y0)与(x1,y1),要得到x0,x1区间内某一位置x在直线上的y值根据图中所示，我们得到 （y-y0）(x1-x0)=(y1-y0)(x-x0)假设方程两边的值为，那么这个值就是插值系数从x0到x的距离与从x0到x1距离的比值。由于x值已知，所以可以从公式得到的值 =(x-x0)/(x1-x0)同样，=(y-y0)/(y1-y0)这样，在代数上就可以表示成为：y=(1-)y0+y1 或者，y=y0+(y1-y0)这样通过就可以直接得到 y。实际上，即使x不在x0到x1之间并且也不是介于0到1之间，这个公式也是成立的。在这种情况下，这种方法叫作线性外插参见外插值。已知y求x的过程与以上过程相同，只是x与y要进行交换。双线性插值，又称为双线性内插。在数学上，双线性插值是有两个变量的插值函数的线性插值扩展，其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。四、线性插值近似法四、线性插值近似法 线性插值经常用于已知函数f(x)在两点的值要近似获得其它点数值的方法，这种近似方法的误差定义为其中p(x)表示上面定义的线性插值多项式，且 根据罗尔定理，我们可以证明：如果有二阶连续导数，那么误差范围是 正如所看到的，函数上两点之间的近似随着所近似的函数的二阶导数的增大而逐渐变差。从直观上看也是这样：函数的曲率越大，简单线性插值近似的误差也越大。