正交曲面坐标系中方程的变量分离.pptx

1.柱系中的变量分离柱系中的变量分离设：设：代入方程：代入方程：同除以同除以R Z:二、球柱系中亥姆霍兹方程分离变量二、球柱系中亥姆霍兹方程分离变量同乘同乘r2：乘乘柱系中亥氏方程的结果为：柱系中亥氏方程的结果为：其中其中贝塞尔方程贝塞尔方程1）若稳定问题）若稳定问题 =0，则，则结果不变结果不变变型贝塞尔方程变型贝塞尔方程讨论：讨论：2)若稳定问题，且若稳定问题，且u=u(r,)=0，欧拉型方程欧拉型方程2.球系中的变量分离球系中的变量分离设设代入上式代入上式连带勒让德方程连带勒让德方程球贝塞尔方程球贝塞尔方程欧拉型方程欧拉型方程2)稳定问题且稳定问题且勒让德方程勒让德方程欧拉型方程欧拉型方程讨论：讨论：1）稳定问题：）稳定问题：=0解题思路：步骤与直角坐标系中大同小异解题思路：步骤与直角坐标系中大同小异分几大步：分几大步：步一：写出定解问题步一：写出定解问题步二：分离变量（如果定解问题确为可直接分离变量步二：分离变量（如果定解问题确为可直接分离变量 的形式）的形式）步三：解本征值问题步三：解本征值问题 解不构成本征值问题的变量的常微分方程解不构成本征值问题的变量的常微分方程步四：迭加特解得通解步四：迭加特解得通解 定解定解解题过程由曲线坐标系自身的特点带来的与直角坐解题过程由曲线坐标系自身的特点带来的与直角坐标系中解题的不同点：标系中解题的不同点：步一：方程：空间变量的拉氏算子的表达式较复杂；步一：方程：空间变量的拉氏算子的表达式较复杂；边条件：物理边界比数学自变量端点少，在定边条件：物理边界比数学自变量端点少，在定 解问题中只提真实物理边界的条件；解问题中只提真实物理边界的条件；步二：步二：非稳问题非稳问题：先将时间变量分离出去，剩下的：先将时间变量分离出去，剩下的 空间变量全部都能构成本征值问题。空间变量全部都能构成本征值问题。稳定问题稳定问题：选择合适的空间变量构成本征值：选择合适的空间变量构成本征值 问题（空间变量不再平权）问题（空间变量不再平权）步三：本征值问题中的边界条件不再只是一、二类步三：本征值问题中的边界条件不再只是一、二类 边条件，可能会由周期条件、有界构成；边条件，可能会由周期条件、有界构成；欧拉型微分方程的求解。欧拉型微分方程的求解。步四：基本同直角坐标系步四：基本同直角坐标系