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振动力学教学内容振动力学教学内容0 绪论绪论 第第1章章 单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动第第2章章 单自由度线性系统的强迫振动单自由度线性系统的强迫振动第第3章章 两自由度系统的振动两自由度系统的振动第第4章章 多自由度系统振动的基本知识多自由度系统振动的基本知识 几句赠言几句赠言 你们年轻，朝气蓬勃，世界好比一张白纸，你们年轻，朝气蓬勃，世界好比一张白纸，等着你们去做最美的画。作为老师，在赞叹你等着你们去做最美的画。作为老师，在赞叹你们的青春活力之余，还希望你们珍惜这青春岁们的青春活力之余，还希望你们珍惜这青春岁月，珍惜大学时光。月，珍惜大学时光。绪论绪论绪论绪论l 1.1 机械振动的定义及学习目机械振动的定义及学习目的的l 1.2 机械振动系统机械振动系统l 1.3 机械振动的分类机械振动的分类1.1 机械振动的定义及学习目的机械振动的定义及学习目的 绪绪 论论从广义上讲，如果表征某一种运动的物理从广义上讲，如果表征某一种运动的物理量作时而增大时而减小的反复变化，就可量作时而增大时而减小的反复变化，就可以称这种运动为以称这种运动为振动振动。振动现象振动现象 心脏的搏动、耳膜和声带的振动等心脏的搏动、耳膜和声带的振动等 汽车、火车、飞机及机械设备的振动汽车、火车、飞机及机械设备的振动 家用电器、钟表的振动家用电器、钟表的振动 地震以及声、电、磁、光的波动等等地震以及声、电、磁、光的波动等等绪论绪论绪论绪论机械振动机械振动是一种特殊形式的运动。在这种运动过程中，机械是一种特殊形式的运动。在这种运动过程中，机械系统将围绕平衡位置作往复运动。从运动学的观点看，机械系统将围绕平衡位置作往复运动。从运动学的观点看，机械振动是指机械系统的某些物理量振动是指机械系统的某些物理量(位移、速度、加速度位移、速度、加速度)，在，在某一数值附近随时间某一数值附近随时间t的变化关系。的变化关系。机械振动现象：机械振动现象：汽轮发电机组、航空发动机、火箭等的振动汽轮发电机组、航空发动机、火箭等的振动思考：思考：油膜振动是机械振动吗？油膜振动是机械振动吗？-各个不同领域中的现象虽然各具特色，但往往有着相似的各个不同领域中的现象虽然各具特色，但往往有着相似的数学力学描述。正是在这个共性基础上，有可能建立某种统一数学力学描述。正是在这个共性基础上，有可能建立某种统一的理论来处理各种振动问题的理论来处理各种振动问题振动力学振动力学-借助数学、物理、实验和计算技术，探讨各种振动现象，阐明借助数学、物理、实验和计算技术，探讨各种振动现象，阐明振动的基本规律，以便克服振动的消极因素，利用其积极因素，振动的基本规律，以便克服振动的消极因素，利用其积极因素，为合理解决各种振动问题提供理论依据。为合理解决各种振动问题提供理论依据。绪论绪论-振动力学是研究机械振动的规律的一门课程。振动力学是研究机械振动的规律的一门课程。绪论绪论许多情况下振动是有害的。许多情况下振动是有害的。它常常是造成机械和结构恶性破坏和失效的直接原因。它常常是造成机械和结构恶性破坏和失效的直接原因。例如：例如：l运载工具的振动；运载工具的振动；l噪声；噪声；l机械设备以及土木结构的破坏；降低机器及仪表的精度；机械设备以及土木结构的破坏；降低机器及仪表的精度；l日本海南电厂日本海南电厂66千瓦的汽轮发电机组，因发生异常而全千瓦的汽轮发电机组，因发生异常而全 机毁坏（机毁坏（1972年）。年）。l美国西屋公司美国西屋公司300MW机组等。机组等。l我国秦岭电厂我国秦岭电厂200MW机组等、出口伊朗机组等、出口伊朗300MW机组机组 等事故。等事故。绪论绪论振动也有可利用的一面振动也有可利用的一面。l 琴弦振动；琴弦振动；l 振动沉桩、振动拔桩以及振动捣固；振动沉桩、振动拔桩以及振动捣固；l 振动压路机；振动压路机；l 振动给料机；振动给料机；l 振动成型机；振动成型机；l 振动筛；振动筛；学习振动力学的目的：学习振动力学的目的：掌握振动的基本理论和分析方法，用以确定和限掌握振动的基本理论和分析方法，用以确定和限制振动对工程结构和机械产品的性能、寿命和安全的制振动对工程结构和机械产品的性能、寿命和安全的有害影响有害影响。运用振动理论去创造和设计新型的振动设备、仪运用振动理论去创造和设计新型的振动设备、仪器及自动化装置。器及自动化装置。绪论绪论绪论绪论绪论绪论l 1.1 机械振动的定义及学习目机械振动的定义及学习目的的l 1.2 机械振动系统机械振动系统l 1.3 机械振动的分类机械振动的分类1.2 1.2 机械振动系统机械振动系统 可以产生机械振动的力学系统，称为可以产生机械振动的力学系统，称为机械振动系机械振动系统。统。机械振动系统可以是一个零部件、一台机器或机械振动系统可以是一个零部件、一台机器或者一个完整的工程结构等。者一个完整的工程结构等。一般来说，任何具有弹性和惯性的力学系统均一般来说，任何具有弹性和惯性的力学系统均可以产生机械振动。可以产生机械振动。绪论绪论系统系统（输入）（输入）激励激励（输出）（输出）响应响应振动系统的三要素：振动系统的三要素：系统、激励系统、激励和和响应响应-把外界对振动系统的作用，称为振把外界对振动系统的作用，称为振 动系统的动系统的激励激励（输输入入）。）。系统对外界影响的反映，称为振动系统的系统对外界影响的反映，称为振动系统的响应响应（输输出出）。）。绪论绪论 激励、系统和响应三者中知道其中两者，激励、系统和响应三者中知道其中两者，就可以求出第三者。因此，常见的振动问题按就可以求出第三者。因此，常见的振动问题按这三个环节可分为：这三个环节可分为：第一类：已知激励和系统，求响应第一类：已知激励和系统，求响应第二类：已知激励和响应，求系统第二类：已知激励和响应，求系统第三类：已知系统和响应，求激励第三类：已知系统和响应，求激励系系系系 统统统统激激激激 励励励励（输入）（输入）（输入）（输入）（输出）（输出）（输出）（输出）响应响应响应响应绪论绪论第一类：已知激励和系统，求响应第一类：已知激励和系统，求响应 动力响应分析动力响应分析 主要任务主要任务在于验算结构、产品等在工作时的动力响应（如变形、在于验算结构、产品等在工作时的动力响应（如变形、位移、应力等）是否满足预定的安全要求和其它要求位移、应力等）是否满足预定的安全要求和其它要求在产品设计阶段，对具体设计方案进行动力响应验算，若不符在产品设计阶段，对具体设计方案进行动力响应验算，若不符合要求再作修改，直到达到要求而最终确定设计方案，这一过合要求再作修改，直到达到要求而最终确定设计方案，这一过程就是所谓的程就是所谓的振动设计振动设计 正问题正问题系统系统（输入）（输入）激励激励（输出）（输出）响应响应?绪论绪论第二类：已知激励和响应，求系统第二类：已知激励和响应，求系统系统识别（系统辨识系统识别（系统辨识）求系统求系统，主要是指获得对于系统的物理参数（如质量、刚度和，主要是指获得对于系统的物理参数（如质量、刚度和阻尼系数等）和系统关于振动的固有特性（如固有频率、主振阻尼系数等）和系统关于振动的固有特性（如固有频率、主振型等）的认识型等）的认识 以估计物理参数为任务的叫做以估计物理参数为任务的叫做物理参数辨识物理参数辨识，以估计系统振动，以估计系统振动固有特性为任务的叫做固有特性为任务的叫做模态参数辨识模态参数辨识或者或者试验模态分析试验模态分析第一个逆问题第一个逆问题 系统系统（输入）（输入）激励激励（输出）（输出）响应响应?绪论绪论第三类：已知系统和响应，求激励第三类：已知系统和响应，求激励环境预测环境预测 例如：为了避免产品在公路运输中的损坏，需要通过实地行车例如：为了避免产品在公路运输中的损坏，需要通过实地行车记录汽车振动和产品振动，以估计运输过程中是怎样的一种振记录汽车振动和产品振动，以估计运输过程中是怎样的一种振动环境，运输过程对于产品是怎样的一种激励，这样才能有根动环境，运输过程对于产品是怎样的一种激励，这样才能有根据地为产品设计可靠的减震包装据地为产品设计可靠的减震包装 第二个逆问题第二个逆问题 系统系统（输入）（输入）激励激励（输出）（输出）响应响应?绪论绪论系统系统（输入）（输入）激励激励（输出）（输出）响应响应?绪论绪论第一类：已知激励和系统，求响应：第一类：已知激励和系统，求响应：动力响应分析，正问题动力响应分析，正问题 第二类：已知激励和响应，求系统：第二类：已知激励和响应，求系统：系统辨识，第一个逆问题系统辨识，第一个逆问题 第三类：已知系统和响应，求激励：第三类：已知系统和响应，求激励：环境预测，第二个逆问题环境预测，第二个逆问题这三类问题基本囊括了现实振动中的所有问题这三类问题基本囊括了现实振动中的所有问题这三类问题基本囊括了现实振动中的所有问题这三类问题基本囊括了现实振动中的所有问题本课程只研究本课程只研究本课程只研究本课程只研究正问题正问题正问题正问题绪论绪论绪论绪论l 1.1 机械振动的定义及学习目机械振动的定义及学习目的的l 1.2 机械振动系统机械振动系统l 1.3 机械振动的分类机械振动的分类绪论绪论l 1.3 机械振动的分类机械振动的分类 按描述振动系统的力学模型可分为：按描述振动系统的力学模型可分为：连续系统振动连续系统振动（无限多自由度系统，分布参数系统）（无限多自由度系统，分布参数系统）离散系统振动离散系统振动 结构参数（质量，刚度，阻尼等）在空间上连续分布结构参数（质量，刚度，阻尼等）在空间上连续分布数学工具：数学工具：偏微分方程偏微分方程（多自由度系统（多自由度系统，单自由度系统），单自由度系统）结构参数为集中参量结构参数为集中参量数学工具：数学工具：常微分方程常微分方程绪论绪论按描述系统的微分方程可分为按描述系统的微分方程可分为:线性振动线性振动 非线性振动非线性振动描述其运动的方程为描述其运动的方程为线性微分方程线性微分方程，相应的系，相应的系统称为线性系统。线性系统的一个重要特性是统称为线性系统。线性系统的一个重要特性是线性叠加原理成立线性叠加原理成立描述其运动的方程为非线性微分方程，相应的描述其运动的方程为非线性微分方程，相应的系统称为非线性系统。对于非线性振动，线性系统称为非线性系统。对于非线性振动，线性叠加原理不成立叠加原理不成立 绪论绪论按系统的输入类型可分为：按系统的输入类型可分为：自由振动自由振动 强迫振动强迫振动 自激振动自激振动系统受初始干扰或原有的外激振力取消后系统受初始干扰或原有的外激振力取消后产生的振动产生的振动系统在外激振力作用下产生的振动系统在外激振力作用下产生的振动 系统在输入和输出之间具有反馈特性，并系统在输入和输出之间具有反馈特性，并有能源补充而产生的振动。有能源补充而产生的振动。绪论绪论按系统或激励的性质可分为按系统或激励的性质可分为:确定性振动确定性振动 不确定性振动不确定性振动描述系统或激励的物理量为描述系统或激励的物理量为确定性参数确定性参数。描述系统或激励的物理量为描述系统或激励的物理量为不确定性参数不确定性参数。例如：本书第五章的随机激励下的振动。例如：本书第五章的随机激励下的振动。本课程主要研究离散、确定、线性自由或强迫振动本课程主要研究离散、确定、线性自由或强迫振动本章结束本章结束谢谢谢谢单自由度线性系统自由振动第一章第一章教学内容单自由度线性系统自由振动单自由度线性系统自由振动1.1 振动系统的简化及其模型1.2 单自由度线性系统的运动微分方程1.3 无阻尼系统的自由振动1.4 有阻尼系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动l1.1 振动系统的简化及其模型振动系统的简化及其模型为了建立合适的分析模型，必须对实际系为了建立合适的分析模型，必须对实际系统进行简化。统进行简化。机械振动系统的力学模型是由三种理想化机械振动系统的力学模型是由三种理想化的元件组成：的元件组成：质量块、阻尼器质量块、阻尼器和和弹簧弹簧。质量块：质量块：惯性就是能使物体当前运动持续惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。下去的性质。弹簧：弹簧：恢复性就是能使物体位置恢复到平恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质。衡状态的性质。阻尼器：阻尼器：阻尼就是阻碍物体运动的性质。阻尼就是阻碍物体运动的性质。从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是贮存势能的元素，阻尼是使能量恢复性是贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素散逸的元素单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动1.1.1 单自由度系统的模型单自由度系统的模型只有一个自由度的振动系统，称为单自由度振动系统，简称只有一个自由度的振动系统，称为单自由度振动系统，简称单自由度系统单自由度系统。自由度：自由度：指完整描述一个振动系统时间特性所需的最少的指完整描述一个振动系统时间特性所需的最少的独立坐标数，在理论力学中用广义坐标数。独立坐标数，在理论力学中用广义坐标数。单自由度线性系统自由振动单自由度线性系统自由振动单自由度系统模型0mxx0kcm单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动1.1.2 弹性元件（弹簧）弹性元件（弹簧）弹性元件：弹性元件：无质量、不耗能，储存势能的元件无质量、不耗能，储存势能的元件 平动：平动：力、刚度和位移的单位分别力、刚度和位移的单位分别为为N、N/m和和m。说明：说明：1.1.本课程弹簧全部为线性弹簧本课程弹簧全部为线性弹簧转动：转动：力矩、扭转刚度和角位移的单位力矩、扭转刚度和角位移的单位分别为分别为Nm、Nm/rad和和rad 单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动等效刚度等效刚度等效弹簧的刚度称等效弹簧的刚度称等效刚度等效刚度等效弹簧：等效弹簧：一个弹簧与某组弹簧的作用效果相同，称此弹一个弹簧与某组弹簧的作用效果相同，称此弹簧为该组弹簧的等效弹簧。簧为该组弹簧的等效弹簧。串联弹簧等效刚度串联弹簧等效刚度总变形：总变形：在质量块上施加力在质量块上施加力 P弹簧弹簧1变形：变形：弹簧弹簧2变形：变形：根据定义：根据定义：或或 P mk1k2单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动n个串联弹簧：个串联弹簧：并联弹簧等效刚度并联弹簧等效刚度两弹簧变形量相等：两弹簧变形量相等：受力不等：受力不等：在质量块上施加力在质量块上施加力 P由力平衡：由力平衡：根据定义：根据定义：并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和。并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和。P mk1k2单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动n个并联弹簧：个并联弹簧：单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动若各弹簧所受作用力相等，即若各弹簧所受作用力相等，即“共力共力”，则为串联弹簧。，则为串联弹簧。若各弹簧端部的位移相等，即若各弹簧端部的位移相等，即“共位移共位移”，则为并联弹簧。，则为并联弹簧。思考：下图的两个弹簧为串联弹簧还是并联弹簧？思考：下图的两个弹簧为串联弹簧还是并联弹簧？单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动例：确定图示混联弹簧的等效刚度。例：确定图示混联弹簧的等效刚度。解：解：k1和和k2并联，再与并联，再与k3串联串联k1和和k2并联，则：并联，则：再与再与k3串联，则串联，则化简化简单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动例：确定图示混联弹簧的等效刚度。例：确定图示混联弹簧的等效刚度。解：解：k1和和k2并联，再与并联，再与k3串联串联k1和和k2并联，则：并联，则：再与再与k3串联，则串联，则化简化简单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动自学自学P13例例1.3材料力学：材料力学：提示：提示：扭转弹簧扭转弹簧则则单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动1.1.3 阻尼元件阻尼元件阻尼元件：阻尼元件：无质量、无弹性、线性耗能元件无质量、无弹性、线性耗能元件 说明说明 本课程阻尼全部为粘性阻尼（线性阻尼）本课程阻尼全部为粘性阻尼（线性阻尼）平动：平动：力、阻尼系数和速度的单位分别力、阻尼系数和速度的单位分别为为N、N s/m和和m/s。力矩、阻尼系数和角速度的单位分力矩、阻尼系数和角速度的单位分别为别为Nm、Nms/rad和和rad/s 转动：转动：单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动1.1.4 质量元件质量元件质量元件：质量元件：无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件 平动：平动：力、质量和加速度的单位分力、质量和加速度的单位分别为别为N、kg和和m/s2。力矩、转动惯量和角加速度的单位力矩、转动惯量和角加速度的单位分别为分别为Nm、kg m2和和rad/s2 转动：转动：教学内容单自由度线性系统自由振动单自由度线性系统自由振动1.1 振动系统的简化及其模型1.2 单自由度线性系统的运动微分方程1.3 无阻尼系统的自由振动1.4 有阻尼系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动l1.2 单自由度线性系统的运动微分方单自由度线性系统的运动微分方程程图示为典型的单自由度振动系统图示为典型的单自由度振动系统取质量块做分离体，做受力图取质量块做分离体，做受力图根据牛顿定律，有根据牛顿定律，有整理整理单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动自学自学P18：线性系统的运动微分方程中可略去恒力及其引起的静线性系统的运动微分方程中可略去恒力及其引起的静位移。位移。在进行振动分析时，作用在线性系统上恒力（如常见在进行振动分析时，作用在线性系统上恒力（如常见的重力）及其引起的静态位移可同时略去不计的重力）及其引起的静态位移可同时略去不计。单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动例：对于图示单摆，试导出其运动微分方程例：对于图示单摆，试导出其运动微分方程。思考：本系统是否为线性系统？思考：本系统是否为线性系统？解：根据定轴转动微分方程，有解：根据定轴转动微分方程，有整理，得单摆的运动微分方程整理，得单摆的运动微分方程考虑到考虑到考虑到考虑到比较小，有比较小，有，线性化运动微分方程为，线性化运动微分方程为思考：本系统到底是线性系统还是非线性系统？思考：本系统到底是线性系统还是非线性系统？教学内容单自由度线性系统自由振动单自由度线性系统自由振动1.1 振动系统的简化及其模型1.2 单自由度线性系统的运动微分方程1.3 无阻尼系统的自由振动1.4 有阻尼系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动l1.3 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动 一个系统只在初始时受到外界干扰，例如用力将质量块一个系统只在初始时受到外界干扰，例如用力将质量块偏离静平衡位置后突然释放，或者给质量块以突然一击使之偏离静平衡位置后突然释放，或者给质量块以突然一击使之得到一个初始速度，然后就靠系统本身的弹性恢复力维持的得到一个初始速度，然后就靠系统本身的弹性恢复力维持的振动，称为自由振动。振动，称为自由振动。当当c=0时为无阻尼系统时为无阻尼系统。单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动图示单自由度无阻尼系统的自由振动微图示单自由度无阻尼系统的自由振动微分方程为：分方程为：改写为改写为记记则则通解为：通解为：或或自然（固有）圆频率，以后也称为自然（固有）圆频率，以后也称为自然（固有）频率自然（固有）频率 单位：弧度单位：弧度/秒秒称为振幅称为振幅称为初相角称为初相角单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动初始条件：初始条件：代入通解代入通解或或得得单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动微分方程微分方程:解：解：单自由度无阻尼的自由振动特性：单自由度无阻尼的自由振动特性：1.为简谐振动。为简谐振动。2.自由振动的自然频率仅由系统本身的参数决定，与系统的自由振动的自然频率仅由系统本身的参数决定，与系统的激励及初始条件无关。激励及初始条件无关。3.振幅及初相角由初始条件决定。振幅及初相角由初始条件决定。4.单自由度无阻尼的自由振动为等幅振动。单自由度无阻尼的自由振动为等幅振动。5.振动自然频率（振动自然频率（Hz）6.振动周期振动周期单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动例：提升机系统例：提升机系统重物重量重物重量 钢丝绳的弹簧刚度钢丝绳的弹簧刚度重物以重物以 的速度匀速下降的速度匀速下降求：绳的上端被卡住时，求：绳的上端被卡住时，（1）重物的振动频率，）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力）钢丝绳中的最大张力单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动解：解：振动系统如图所示振动系统如图所示 重物匀速下降时处于静平衡位，重物匀速下降时处于静平衡位，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置，振动微分方程为重物所在位置，振动微分方程为初始条件：初始条件：振动频率振动频率 方程的解方程的解 其中其中 单自由度系统的振动单自由度系统的振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动 绳中的最大张力等于静张力与因振动绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和：引起的动张力之和：由于由于为了减少振动引起的动张力，应当为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度降低升降系统的刚度振动解：振动解：思考：思考：如何求解振动过程中绳中的张力？如何求解振动过程中绳中的张力？单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动确定自然频率的静变形法确定自然频率的静变形法 在系统作自由振动时，不论受到什么样的初始干扰，均将以在系统作自由振动时，不论受到什么样的初始干扰，均将以一定的频率作振动。这种频率只决定于系统本身固有的物理一定的频率作振动。这种频率只决定于系统本身固有的物理性质，称为自然频率（固有频率）。性质，称为自然频率（固有频率）。自然频率是振动问题中的一个重要参数。自然频率是振动问题中的一个重要参数。自然频率为自然频率为:周期周期:简谐振动的圆频率为简谐振动的圆频率为 ，称为自然圆频率：，称为自然圆频率：由以上各式可以看出：由以上各式可以看出：（1）自由振动的自然频率和周期仅决定于系统本身的自由振动的自然频率和周期仅决定于系统本身的物理性质，如系统刚度物理性质，如系统刚度 K 和振动块质量和振动块质量 m。（2）刚度相同的两个系统，质量大的系统固有频率低，刚度相同的两个系统，质量大的系统固有频率低，质量小的系统固有频率高。质量相同的两个系统，则弹质量小的系统固有频率高。质量相同的两个系统，则弹簧刚度小的固有频率低，弹簧刚度大的固有频率高。簧刚度小的固有频率低，弹簧刚度大的固有频率高。单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动自然频率计算的静变形法：自然频率计算的静变形法：在静平衡位置：在静平衡位置：则有：则有：对于不易得到对于不易得到 m 和和 k 的系统，若能测出静变形的系统，若能测出静变形 ，则，则用该式计算是较为方便的。用该式计算是较为方便的。0mx单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动例：例：图示简支梁，跨距图示简支梁，跨距 ，弯曲刚度，弯曲刚度EI，梁中，梁中点放一质量为点放一质量为m的物体，用静变形法求系统的自的物体，用静变形法求系统的自然频率，梁的质量不计。然频率，梁的质量不计。ml/2l/2单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动解：解：由材料力学由材料力学：自由振动频率为自由振动频率为：取平衡位置取平衡位置以梁承受重物时的静平以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立衡位置为坐标原点建立坐标系。坐标系。静变形静变形m0l/2l/2x静平衡位置静平衡位置单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动例：设有一悬臂梁。长度为例：设有一悬臂梁。长度为L，抗弯刚度，抗弯刚度为为 ，自由端有一集中质量，自由端有一集中质量m。梁本。梁本身重量可忽略不计。身重量可忽略不计。求：求：系统的自然频率。系统的自然频率。解：解：由材料力学知由材料力学知利用静变形法的公式可得系统自然频率为：利用静变形法的公式可得系统自然频率为：如上述悬臂梁是变截面的，因而不易用计算方法得到静挠如上述悬臂梁是变截面的，因而不易用计算方法得到静挠度，可实测梁的静挠度度，可实测梁的静挠度无阻尼振动系统是一个保守系统，能量守恒。无阻尼振动系统是一个保守系统，能量守恒。单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动用能量法确定系统的运动微分方程用能量法确定系统的运动微分方程能量有两部分：质量块的能量有两部分：质量块的动能动能T T和弹簧的和弹簧的势能势能V V。即即求导求导可依据上式求导系统的振动微分方程可依据上式求导系统的振动微分方程单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动例：用能量法求导图示系统的运动微分方程。例：用能量法求导图示系统的运动微分方程。由由解：取静平衡位置为原点，解：取静平衡位置为原点，动能为动能为 势能为势能为得得化简化简无阻尼振动系统是一个保守系统，能量守恒。无阻尼振动系统是一个保守系统，能量守恒。单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动用能量法确定系统的自然频率用能量法确定系统的自然频率即即静平衡位置有静平衡位置有最大位移处有最大位移处有不同时刻有不同时刻有则则 利用这个关系，适当选择两个瞬时位置，就可用来直利用这个关系，适当选择两个瞬时位置，就可用来直接计算系统的固有频率。这对于比较复杂的系统常常是一接计算系统的固有频率。这对于比较复杂的系统常常是一种计算系统固有频率的简便方法。种计算系统固有频率的简便方法。解：系统为简谐振动，响应为：解：系统为简谐振动，响应为：单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动例：用能量法求图示系统的自然频率。例：用能量法求图示系统的自然频率。静平衡位置：静平衡位置：最大位移处：最大位移处：动能：动能：势能为零势能为零势能：势能：动能为零动能为零由能量守恒得：由能量守恒得：所以：所以：速度为：速度为：例：如图所示是一个倒置的摆例：如图所示是一个倒置的摆，摆球质量摆球质量 m，刚杆质量忽略刚杆质量忽略，每个弹簧的刚度每个弹簧的刚度 求求:倒摆作倒摆作微幅微幅振动时的固有频率。振动时的固有频率。lmakk单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动系统对系统对O点的转动惯量为点的转动惯量为 ，解解1：广义坐标广义坐标最大动能最大动能最大势能最大势能零势能位置零势能位置1零势能位置零势能位置1lmakk单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动 此摇杆做间歇摆动，即角振动，则此摇杆做间歇摆动，即角振动，则 解法解法2：（先求运动微分方程）：（先求运动微分方程）零势能位置零势能位置2任一时刻动能任一时刻动能势能势能零势能位置零势能位置2lmakk单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动例：复摆例：复摆刚体质量刚体质量 m对悬点的转动惯量对悬点的转动惯量 重心重心 C 求：复摆在平衡位置附近做求：复摆在平衡位置附近做微振动微振动时的微分方程和自然频率时的微分方程和自然频率。l0C单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动解：解：取广义坐标取广义坐标，由定轴转动微分方程得由定轴转动微分方程得：因为微振动：因为微振动：则有则有：自然频率自然频率：实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法。实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法。若已测出物体的固有频率若已测出物体的固有频率 ，则可求出，则可求出 ，再由移轴定理，可，再由移轴定理，可得物质绕质心的转动惯量：得物质绕质心的转动惯量：l0C单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动教学内容单自由度线性系统自由振动单自由度线性系统自由振动1.1 振动系统的简化及其模型1.2 单自由度线性系统的运动微分方程1.3 无阻尼系统的自由振动1.4 有阻尼系统的自由振动l 1.4 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 前述的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系统前述的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系统的机械能不可能守恒，因为存在各种各样的阻力。的机械能不可能守恒，因为存在各种各样的阻力。振动中将阻力称为振动中将阻力称为阻尼阻尼，例如摩擦阻尼、电磁阻尼等。实，例如摩擦阻尼、电磁阻尼等。实际系统中阻尼的物理本质很难确定。最常用的一种阻尼力际系统中阻尼的物理本质很难确定。最常用的一种阻尼力学模型是学模型是粘性阻尼粘性阻尼，或称为，或称为粘滞阻尼粘滞阻尼，在流体中低速运动，在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常认为受到了粘性阻尼。或沿润滑表面滑动的物体，通常认为受到了粘性阻尼。单自由度系统的振动单自由度系统的振动/有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 Fd为粘性阻尼力，为粘性阻尼力，v为相对速度，为相对速度，c 称为称为粘性阻尼系数粘性阻尼系数，单位为：，单位为：Ns/m。粘性阻尼由于它与速度成正比，又称粘性阻尼由于它与速度成正比，又称线性阻尼线性阻尼。线性阻尼。线性阻尼在分析振动同题时使求解大为简化。若不特加说明，则本在分析振动同题时使求解大为简化。若不特加说明，则本课以粘性阻尼为基本模型来分析有阻尼的振动。课以粘性阻尼为基本模型来分析有阻尼的振动。单自由度系统的振动单自由度系统的振动/有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动粘性阻尼与相对速度成正比，即：粘性阻尼与相对速度成正比，即：图示系统，以静平衡位置为原点。图示系统，以静平衡位置为原点。设设x坐标向下为正。受力分析，坐标向下为正。受力分析，利用牛顿运动定律得运动方程：利用牛顿运动定律得运动方程：单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动则运动方程为：则运动方程为：变化为：变化为：为相应的无阻尼时的自然频率为相应的无阻尼时的自然频率令：令：为为粘滞阻尼因子粘滞阻尼因子或阻尼率，无量纲或阻尼率，无量纲单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动对于二阶齐次常微分方程：对于二阶齐次常微分方程：两个特征根为：两个特征根为：通解为：通解为：得到特征方程：得到特征方程：其中，其中，X为实数，为实数，s为复数：为复数：特征根的性质主要取决于特征根的性质主要取决于 ，下面分别讨论。，下面分别讨论。（2）当）当 时，称为时，称为小阻尼状态小阻尼状态（3）当）当 时，称为时，称为过阻尼状态过阻尼状态（4）当）当 时，称为时，称为临界阻尼状态临界阻尼状态单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动特征方程：特征方程：动力学方程：动力学方程：取不同值时，微分方程有不同性质的解。取不同值时，微分方程有不同性质的解。（1）当）当 时，称为时，称为无阻尼状态无阻尼状态单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动无阻尼情况：无阻尼情况：自学自学P32:无阻尼情况无阻尼情况提示：欧拉公式为提示：欧拉公式为无阻尼情况即无阻尼情况即1.3节：无阻尼系统的自由振动节：无阻尼系统的自由振动 小阻尼情况小阻尼情况 单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动小阻尼小阻尼代入方程通解代入方程通解则：则：则特征根则特征根为共轭复根：为共轭复根：令令称为有阻尼自然频率称为有阻尼自然频率整理，可得振动解整理，可得振动解单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动振动解：振动解：1.初始条件初始条件 和和 只影响初始振幅只影响初始振幅 和初相位角和初相位角其中：其中：分析：分析：单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动2.阻尼自然频率：阻尼自然频率：阻尼振动周期：阻尼振动周期：无阻尼自然频率无阻尼自然频率无阻尼振动周期无阻尼振动周期3.振动解为：振动解为：单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动振幅为振幅为 ，阻尼振动的振幅是按指数规律逐渐衰减的。，阻尼振动的振幅是按指数规律逐渐衰减的。阻尼率阻尼率 越大，振幅衰减越快。越大，振幅衰减越快。过阻尼情况过阻尼情况 单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动过阻尼过阻尼则特征根则特征根为实数为实数系统不产生振动，很快系统不产生振动，很快趋于平衡位置。趋于平衡位置。振动解振动解 临界阻尼情况临界阻尼情况 单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动临界阻尼临界阻尼阻尼率也可定义为阻尼率也可定义为根据定义根据定义则临界阻尼系数则临界阻尼系数临界阻尼系数只决定于系统本身的物理性质临界阻尼系数只决定于系统本身的物理性质:质量与刚度。质量与刚度。单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动则振动解为：则振动解为：设初始条件：设初始条件：临界阻尼状态仍是临界阻尼状态仍是按指数衰减的非周按指数衰减的非周期运动，但比过阻期运动，但比过阻尼状态的蠕动衰减尼状态的蠕动衰减的快。的快。临界阻尼临界阻尼 则特征根则特征根为两重根：为两重根：则振动解为：则振动解为：三种阻尼状态比较三种阻尼状态比较单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动小阻尼是一种振幅逐渐衰减的减幅周期振动；小阻尼是一种振幅逐渐衰减的减幅周期振动；过阻尼是一种幅值按指数规律衰减的非周期蠕动；过阻尼是一种幅值按指数规律衰减的非周期蠕动；临界阻尼也是按指数规律衰减的非周期运动临界阻尼也是按指数规律衰减的非周期运动.思考：无阻尼是何种运动？思考：无阻尼是何种运动？单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动例：例：小球质量小球质量m，杠杆质量不计，杠杆质量不计求：求：（1）运动微分方程）运动微分方程（2）临界阻尼系数，阻尼固有频率）临界阻尼系数，阻尼固有频率单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动解：解：（1）广义坐标）广义坐标根据定轴转动微分方程，得振动方程：根据定轴转动微分方程，得振动方程：有有整理整理单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动（2）已求得系统的振动方程为：）已求得系统的振动方程为：对比标准型方程：对比标准型方程：无阻尼自然频率：无阻尼自然频率：由由 可得：可得：单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动由由 可得临界阻尼系数：可得临界阻尼系数：所以，阻尼固有频率：所以，阻尼固有频率：对数衰减率对数衰减率单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动 小阻尼是一种振幅逐渐衰减小阻尼是一种振幅逐渐衰减的减幅周期振动。的减幅周期振动。振动通解为：振动通解为：相邻一个周期的两个振幅峰值之比为相邻一个周期的两个振幅峰值之比为表明振动按表明振动按 的比例衰减，阻尼率值越大，振幅衰减越快。的比例衰减，阻尼率值越大，振幅衰减越快。取自然对数：取自然对数：单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动相邻相邻j个周期的两个峰值：个周期的两个峰值：所以对数衰减率可以表示为：所以对数衰减率可以表示为：称称为为对数衰减率对数衰减率利用上式，通过实验，可求得阻尼率利用上式，通过实验，可求得阻尼率例：单自由度小阻尼自由振动系统，其振幅在例：单自由度小阻尼自由振动系统，其振幅在5个周期后个周期后 衰减了衰减了50%，求系统的粘性阻尼率，求系统的粘性阻尼率 。单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动对数衰减率为：对数衰减率为：代入公式代入公式解：解：得得本章结束本章结束谢谢谢谢单自由度线性系统的强迫振动第二章第二章单自由度线性系统的强迫振动单自由度线性系统的强迫振动教学内容教学内容l 2.1 谐波激励下的强迫振动谐波激励下的强迫振动l 2.2 周期激励下的强迫振动周期激励下的强迫振动l 2.3 非周期激励下的强迫振动非周期激励下的强迫振动l 2.1 谐波激励的下强迫振动谐波激励的下强迫振动单自由度线性系统的强迫振动单自由度线性系统的强迫振动本章主要讨论单自由度系统在有持续激励时的振动，这本章主要讨论单自由度系统在有持续激励时的振动，这类振动称为类振动称为强迫振动强迫振动。激励按来源可分为两类，一类是激励按来源可分为两类，一类是力激励力激励，它可以是直接，它可以是直接作用于机械运动部件上的力，也可以是旋转机械或往复作用于机械运动部件上的力，也可以是旋转机械或往复运动机械中