测量平差平差数学模型与最小二乘原理.pptx

4.1 4.1 测量平差概述测量平差概述测量平差概述测量平差概述4.2 4.2 函数模型函数模型函数模型函数模型4.3 4.3 函数模型线性化函数模型线性化函数模型线性化函数模型线性化4.4 4.4 测量平差的数学模型测量平差的数学模型测量平差的数学模型测量平差的数学模型4.5 4.5 参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理Chapter 4 Mathematical Model of Adjustment and Chapter 4 Mathematical Model of Adjustment and Principle of Least SquaresPrinciple of Least Squares4.1 4.1 测量平差概述测量平差概述 GeneralGeneral一、测量控制网简介一、测量控制网简介一、测量控制网简介一、测量控制网简介1.1.高程控制网高程控制网高程控制网高程控制网(水准网水准网水准网水准网或三角高程网或三角高程网或三角高程网或三角高程网)包括闭合水准网和符合水准网、三角高程网包括闭合水准网和符合水准网、三角高程网包括闭合水准网和符合水准网、三角高程网包括闭合水准网和符合水准网、三角高程网 网中元素：已知高程点，未知高程点和高差观测值网中元素：已知高程点，未知高程点和高差观测值网中元素：已知高程点，未知高程点和高差观测值网中元素：已知高程点，未知高程点和高差观测值 距距距距离离离离 测站数测站数测站数测站数2.2.平面控制网平面控制网平面控制网平面控制网1 1）三角网）三角网）三角网）三角网：包括测角三角网、测边三角网和边角同测三：包括测角三角网、测边三角网和边角同测三：包括测角三角网、测边三角网和边角同测三：包括测角三角网、测边三角网和边角同测三角网。角网。角网。角网。（1 1）测角三角网：）测角三角网：）测角三角网：）测角三角网：包括独立三角网和符合三角网。包括独立三角网和符合三角网。包括独立三角网和符合三角网。包括独立三角网和符合三角网。网中元素：已知点、未知、角度观测值网中元素：已知点、未知、角度观测值网中元素：已知点、未知、角度观测值网中元素：已知点、未知、角度观测值（2 2）测）测）测）测边三角网：边三角网：边三角网：边三角网：包括独立测边网和符合测边网包括独立测边网和符合测边网包括独立测边网和符合测边网包括独立测边网和符合测边网 网中元素：已知点，未知点和观测边长网中元素：已知点，未知点和观测边长网中元素：已知点，未知点和观测边长网中元素：已知点，未知点和观测边长（3 3）边角三角网：边角三角网：边角三角网：边角三角网：包括独立边角网和符合边角网。包括独立边角网和符合边角网。包括独立边角网和符合边角网。包括独立边角网和符合边角网。网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长2 2 2 2）导线网：）导线网：）导线网：）导线网：包括独立导线网和符合导线网。包括独立导线网和符合导线网。包括独立导线网和符合导线网。包括独立导线网和符合导线网。网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长。网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长。网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长。网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长。3 3 3 3）三维）三维）三维）三维GPSGPSGPSGPS控制网控制网控制网控制网网中元素：已知点，未知点，基线向量。网中元素：已知点，未知点，基线向量。网中元素：已知点，未知点，基线向量。网中元素：已知点，未知点，基线向量。二、必要起算数据二、必要起算数据二、必要起算数据二、必要起算数据确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：起算数据起算数据起算数据起算数据水准网（三角高程网）：水准网（三角高程网）：水准网（三角高程网）：水准网（三角高程网）：测角网：测角网：测角网：测角网：测边网和边角网：测边网和边角网：测边网和边角网：测边网和边角网：确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：起算数据起算数据起算数据起算数据水准网（三角高程网）：水准网（三角高程网）：水准网（三角高程网）：水准网（三角高程网）：一个已知点高程：一个已知点高程：一个已知点高程：一个已知点高程确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据：起算数据起算数据起算数据起算数据测角网：测角网：测角网：测角网：（1 1）两个相邻点坐标）两个相邻点坐标）两个相邻点坐标）两个相邻点坐标（2 2）一个已知点坐标，一个相邻已知方位，）一个已知点坐标，一个相邻已知方位，）一个已知点坐标，一个相邻已知方位，）一个已知点坐标，一个相邻已知方位，一个相邻已知边长。一个相邻已知边长。一个相邻已知边长。一个相邻已知边长。测边网和边角网：测边网和边角网：测边网和边角网：测边网和边角网：一个已知点坐标，一个相邻已知方位，一个已知点坐标，一个相邻已知方位，一个已知点坐标，一个相邻已知方位，一个已知点坐标，一个相邻已知方位，一个相邻已知边长或两个相邻点坐标。一个相邻已知边长或两个相邻点坐标。一个相邻已知边长或两个相邻点坐标。一个相邻已知边长或两个相邻点坐标。三、必要观测三、必要观测三、必要观测三、必要观测必要观测必要观测必要观测必要观测/必要元素：唯一确定一个必要元素：唯一确定一个必要元素：唯一确定一个必要元素：唯一确定一个确定几何、物理模型确定几何、物理模型确定几何、物理模型确定几何、物理模型的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其符号的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其符号的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其符号的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其符号用符号用符号用符号用符号t t表示。表示。表示。表示。必要元素的特点：必要元素的特点：必要元素的特点：必要元素的特点：（1 1 1 1）元素的个数仅与几何模型有关而与实际观测量无关）元素的个数仅与几何模型有关而与实际观测量无关）元素的个数仅与几何模型有关而与实际观测量无关）元素的个数仅与几何模型有关而与实际观测量无关（2 2 2 2）必要元素之间函数独立）必要元素之间函数独立）必要元素之间函数独立）必要元素之间函数独立 必要观测量？必要观测量？必要观测量？必要观测量？条件方程？条件方程？条件方程？条件方程？必要观测量？必要观测量？必要观测量？必要观测量？条件方程？条件方程？条件方程？条件方程？四、多余观测四、多余观测四、多余观测四、多余观测必要观测之外的观测称为多余观测，其数目用符号必要观测之外的观测称为多余观测，其数目用符号必要观测之外的观测称为多余观测，其数目用符号必要观测之外的观测称为多余观测，其数目用符号r r表示。多余观测表示。多余观测表示。多余观测表示。多余观测数观测总数必要观测数（数观测总数必要观测数（数观测总数必要观测数（数观测总数必要观测数（r=n-tr=n-t）与控制网有关几个基本概念：与控制网有关几个基本概念：与控制网有关几个基本概念：与控制网有关几个基本概念：必要观测、观测量、必要观测、观测量、必要观测、观测量、必要观测、观测量、起算数据、多余起算数据起算数据、多余起算数据起算数据、多余起算数据起算数据、多余起算数据 待求量待求量待求量待求量必要观测的特点：必要观测的特点：必要观测的特点：必要观测的特点：元素的个数仅与几何模型有关而与实际观测量无关元素的个数仅与几何模型有关而与实际观测量无关元素的个数仅与几何模型有关而与实际观测量无关元素的个数仅与几何模型有关而与实际观测量无关 必要元素之间函数独立必要元素之间函数独立必要元素之间函数独立必要元素之间函数独立问题问题问题问题 ：多余观测：多余观测：多余观测：多余观测：r=n-t nt r=n-t nt r=n-t nt r=n-t nt 条件方程：条件方程：条件方程：条件方程：观测误差存在使得测量平差有必要，多余观测使得测量平差观测误差存在使得测量平差有必要，多余观测使得测量平差观测误差存在使得测量平差有必要，多余观测使得测量平差观测误差存在使得测量平差有必要，多余观测使得测量平差得以实现得以实现得以实现得以实现仅有必要观测能否完成测量工作？观测结果是否可靠？仅有必要观测能否完成测量工作？观测结果是否可靠？几何量符号表示几何量符号表示几何量符号表示几何量符号表示1 1、必要观测次数、必要观测次数、必要观测次数、必要观测次数 t t（个数和类型）（个数和类型）（个数和类型）（个数和类型）2 2、实际观测次数、实际观测次数、实际观测次数、实际观测次数n n 3 3、多余观测次数、多余观测次数、多余观测次数、多余观测次数 r r4 4、观测值观测值观测值观测值 5 5、真值真值真值真值 6 6、真误差真误差真误差真误差7 7、估值估值估值估值 8 8、平差值平差值平差值平差值五、几何模型五、几何模型五、几何模型五、几何模型1 1 1 1、确定几何模型的必要元素（必要观测量）、确定几何模型的必要元素（必要观测量）、确定几何模型的必要元素（必要观测量）、确定几何模型的必要元素（必要观测量）（1 1 1 1）几何模型的形状）几何模型的形状）几何模型的形状）几何模型的形状2 2 2 2个个个个（2 2 2 2）形状、大小）形状、大小）形状、大小）形状、大小3 3 3 3个个个个（3 3 3 3）形状、大小、位置）形状、大小、位置）形状、大小、位置）形状、大小、位置6 6 6 6个个个个2 2 2 2、必要元素的选取与性质、必要元素的选取与性质、必要元素的选取与性质、必要元素的选取与性质（1 1 1 1）能唯一确定该模型）能唯一确定该模型）能唯一确定该模型）能唯一确定该模型（2 2 2 2）最少需要）最少需要）最少需要）最少需要（3 3 3 3）元素间不存在任何确定的函数关系）元素间不存在任何确定的函数关系）元素间不存在任何确定的函数关系）元素间不存在任何确定的函数关系测边网和边角网：测边网和边角网：测边网和边角网：测边网和边角网：一个已知点坐标，一个相邻已知方位。一个已知点坐标，一个相邻已知方位。一个已知点坐标，一个相邻已知方位。一个已知点坐标，一个相邻已知方位。三角形大地四边形中心多边形扇形由于观测不可避免地存在偶然误差，当由于观测不可避免地存在偶然误差，当由于观测不可避免地存在偶然误差，当由于观测不可避免地存在偶然误差，当ntntntnt时，几何时，几何时，几何时，几何模型中应该满足模型中应该满足模型中应该满足模型中应该满足r=n-tr=n-tr=n-tr=n-t个条件方程，实际存在闭俣差而并不个条件方程，实际存在闭俣差而并不个条件方程，实际存在闭俣差而并不个条件方程，实际存在闭俣差而并不满足，如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使满足，如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使满足，如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使满足，如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。其达到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。其达到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。其达到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。一一一一个测量平差问题，首先要由观测值和待求量间组成数学模个测量平差问题，首先要由观测值和待求量间组成数学模个测量平差问题，首先要由观测值和待求量间组成数学模个测量平差问题，首先要由观测值和待求量间组成数学模型，然后采用一定的平差原则对待求量进行估计，这种估计型，然后采用一定的平差原则对待求量进行估计，这种估计型，然后采用一定的平差原则对待求量进行估计，这种估计型，然后采用一定的平差原则对待求量进行估计，这种估计要求是最优的，最后计算和分析成果的精度。要求是最优的，最后计算和分析成果的精度。要求是最优的，最后计算和分析成果的精度。要求是最优的，最后计算和分析成果的精度。观测误差存在使得测量平差有必要，多余观测使得测量观测误差存在使得测量平差有必要，多余观测使得测量平差得以实现平差得以实现函数模型：函数模型：函数模型：函数模型：是描述观测量与未知量间的数学函数关系模型，是确定是描述观测量与未知量间的数学函数关系模型，是确定是描述观测量与未知量间的数学函数关系模型，是确定是描述观测量与未知量间的数学函数关系模型，是确定客观实际的本质或特征的模型。客观实际的本质或特征的模型。客观实际的本质或特征的模型。客观实际的本质或特征的模型。几何模型：各种测量控制网几何模型：各种测量控制网几何模型：各种测量控制网几何模型：各种测量控制网 几何观测量：方向、角度、高差、边长几何观测量：方向、角度、高差、边长几何观测量：方向、角度、高差、边长几何观测量：方向、角度、高差、边长物理模型：与时间、速度、加速度等物理量相关的模型；物理模型：与时间、速度、加速度等物理量相关的模型；物理模型：与时间、速度、加速度等物理量相关的模型；物理模型：与时间、速度、加速度等物理量相关的模型；物理观测量：时间、速度、加速度物理观测量：时间、速度、加速度物理观测量：时间、速度、加速度物理观测量：时间、速度、加速度4.2 4.2 测量平差函数模型测量平差函数模型测量平差函数模型测量平差函数模型 Functional ModelFunctional Model一、条件平差的函数模型一、条件平差的函数模型一、条件平差的函数模型一、条件平差的函数模型以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。出发点：观测量之间的函数关系式出发点：观测量之间的函数关系式出发点：观测量之间的函数关系式出发点：观测量之间的函数关系式条件方程条件方程条件方程条件方程在具体测量问题中，实际观测次数在具体测量问题中，实际观测次数在具体测量问题中，实际观测次数在具体测量问题中，实际观测次数 n n，必要观测次数，必要观测次数，必要观测次数，必要观测次数t t，则多，则多，则多，则多余观测次数余观测次数余观测次数余观测次数r r，那么可建立，那么可建立，那么可建立，那么可建立(n-t)(n-t)个条件方程，即：个条件方程，即：个条件方程，即：个条件方程，即：测量平差函数模型测量平差函数模型测量平差函数模型测量平差函数模型二、间接平差法二、间接平差法二、间接平差法二、间接平差法选择几何模型中选择几何模型中选择几何模型中选择几何模型中t t t t个独立量为平差的参数，将每一个观测量表达成个独立量为平差的参数，将每一个观测量表达成个独立量为平差的参数，将每一个观测量表达成个独立量为平差的参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，以此为平差的函数模型，称为间接平差法。所选参数的函数，以此为平差的函数模型，称为间接平差法。所选参数的函数，以此为平差的函数模型，称为间接平差法。所选参数的函数，以此为平差的函数模型，称为间接平差法。在具体测量问题中，实际观测次数在具体测量问题中，实际观测次数在具体测量问题中，实际观测次数在具体测量问题中，实际观测次数n n n n，必要观测次数，必要观测次数，必要观测次数，必要观测次数t t t t，则多余，则多余，则多余，则多余观测次数观测次数观测次数观测次数r=(n-t)r=(n-t)r=(n-t)r=(n-t)。选择。选择。选择。选择t t t t个函数独立的参数后可列出观测方程：个函数独立的参数后可列出观测方程：个函数独立的参数后可列出观测方程：个函数独立的参数后可列出观测方程：线性方程情况下线性方程情况下线性方程情况下线性方程情况下其中其中三、附有参数的条件平差法三、附有参数的条件平差法三、附有参数的条件平差法三、附有参数的条件平差法 线性方程情况下线性方程情况下线性方程情况下线性方程情况下四、四、附有限制条件的间接平差法附有限制条件的间接平差法线性方程情况下线性方程情况下线性方程情况下线性方程情况下4.3 4.3 函数模型线性化函数模型线性化函数模型线性化函数模型线性化 Linearization of Functional ModelLinearization of Functional Model四种平差方法的一般形式分别为四种平差方法的一般形式分别为四种平差方法的一般形式分别为四种平差方法的一般形式分别为条件平差法：条件平差法：条件平差法：条件平差法：间接平差法：间接平差法：间接平差法：间接平差法：附有参数的条件平差法：附有参数的条件平差法：附有参数的条件平差法：附有参数的条件平差法：附有条件的间接平差法：附有条件的间接平差法：附有条件的间接平差法：附有条件的间接平差法：若平差的函数是非线性的，平差之前就要进行线性化。若平差的函数是非线性的，平差之前就要进行线性化。若平差的函数是非线性的，平差之前就要进行线性化。若平差的函数是非线性的，平差之前就要进行线性化。线性化的方法是应用台劳级数展开，保留一次项线性化的方法是应用台劳级数展开，保留一次项线性化的方法是应用台劳级数展开，保留一次项线性化的方法是应用台劳级数展开，保留一次项对于函数对于函数对于函数对于函数按台劳级数展开则有按台劳级数展开则有按台劳级数展开则有按台劳级数展开则有令令令令则函数则函数则函数则函数F F的线性形式是的线性形式是的线性形式是的线性形式是4.4 4.4 测量平差的数学模型测量平差的数学模型测量平差的数学模型测量平差的数学模型 Mathematical ModelMathematical Model数学模型数学模型函数模型函数模型 随机模型：随机模型：一、平差的随机模型一、平差的随机模型一、平差的随机模型一、平差的随机模型随机模型：随机模型：随机模型：随机模型：描述平差问题的中随机量及其相互间统计相描述平差问题的中随机量及其相互间统计相描述平差问题的中随机量及其相互间统计相描述平差问题的中随机量及其相互间统计相关性质的模型关性质的模型关性质的模型关性质的模型,随机模型描绘的是观测值的统计性质，是通过观测值的随机模型描绘的是观测值的统计性质，是通过观测值的随机模型描绘的是观测值的统计性质，是通过观测值的随机模型描绘的是观测值的统计性质，是通过观测值的数学期望和协方差阵（协因数阵）来表示，借以说明观数学期望和协方差阵（协因数阵）来表示，借以说明观数学期望和协方差阵（协因数阵）来表示，借以说明观数学期望和协方差阵（协因数阵）来表示，借以说明观测值是否受系统误差的影响、观测值的精度季它们是否测值是否受系统误差的影响、观测值的精度季它们是否测值是否受系统误差的影响、观测值的精度季它们是否测值是否受系统误差的影响、观测值的精度季它们是否相关等。相关等。相关等。相关等。二、数学模型二、数学模型二、数学模型二、数学模型1 1、条件平差、条件平差、条件平差、条件平差2 2 2 2、间接平差（、间接平差（、间接平差（、间接平差（Gauss-MarkoffGauss-MarkoffGauss-MarkoffGauss-Markoff模型）模型）模型）模型）3 3、附有参数的条件平差、附有参数的条件平差、附有参数的条件平差、附有参数的条件平差4 4、附有限制条件的间接平差法附有限制条件的间接平差法附有限制条件的间接平差法附有限制条件的间接平差法4.5参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理参数估计与最小二乘原理 Estimation of Parameters and Principles of Least SquaresEstimation of Parameters and Principles of Least Squares 一、参数估计及最优性质一、参数估计及最优性质一、参数估计及最优性质一、参数估计及最优性质 平差问题是由于测量中进行了多余观测而产生，不论何种平差方法，平差问题是由于测量中进行了多余观测而产生，不论何种平差方法，平差问题是由于测量中进行了多余观测而产生，不论何种平差方法，平差问题是由于测量中进行了多余观测而产生，不论何种平差方法，平差最终目的都是对参数和观测量平差最终目的都是对参数和观测量平差最终目的都是对参数和观测量平差最终目的都是对参数和观测量 （或（或（或（或）作出某种估计，并评定）作出某种估计，并评定）作出某种估计，并评定）作出某种估计，并评定其精度。所谓评定精度，就是对待估量的方差与协方差作出估计。所其精度。所谓评定精度，就是对待估量的方差与协方差作出估计。所其精度。所谓评定精度，就是对待估量的方差与协方差作出估计。所其精度。所谓评定精度，就是对待估量的方差与协方差作出估计。所以，可统称为对平差模型的参数进行估计。以，可统称为对平差模型的参数进行估计。以，可统称为对平差模型的参数进行估计。以，可统称为对平差模型的参数进行估计。无偏性无偏性无偏性无偏性 一致性一致性一致性一致性 有效性有效性有效性有效性一、参数估计及最优性质一、参数估计及最优性质一、参数估计及最优性质一、参数估计及最优性质 数理统计理论证明，具有无偏性、最优性的估计量必数理统计理论证明，具有无偏性、最优性的估计量必数理统计理论证明，具有无偏性、最优性的估计量必数理统计理论证明，具有无偏性、最优性的估计量必然是一致性估计量，所以测量平差中参数的最佳估值要求然是一致性估计量，所以测量平差中参数的最佳估值要求然是一致性估计量，所以测量平差中参数的最佳估值要求然是一致性估计量，所以测量平差中参数的最佳估值要求是最优无偏估计量。由于平差模型是线性的，最佳估计也是最优无偏估计量。由于平差模型是线性的，最佳估计也是最优无偏估计量。由于平差模型是线性的，最佳估计也是最优无偏估计量。由于平差模型是线性的，最佳估计也称为最优线性无偏估计。称为最优线性无偏估计。称为最优线性无偏估计。称为最优线性无偏估计。二、最小二乘原理二、最小二乘原理二、最小二乘原理二、最小二乘原理 测量平差就是测量数据调整，调整原则是使得观测测量平差就是测量数据调整，调整原则是使得观测测量平差就是测量数据调整，调整原则是使得观测测量平差就是测量数据调整，调整原则是使得观测值残差的平方和极小为原则：值残差的平方和极小为原则：值残差的平方和极小为原则：值残差的平方和极小为原则：观测量：观测量：观测量：观测量：调整后的估值调整后的估值调整后的估值调整后的估值改正数改正数改正数改正数 残差残差残差残差观测值权阵观测值权阵观测值权阵观测值权阵小结小结重点：理解必要观测、必要起算数据、多余观测的概念重点：理解必要观测、必要起算数据、多余观测的概念重点：理解必要观测、必要起算数据、多余观测的概念重点：理解必要观测、必要起算数据、多余观测的概念掌握：函数模型、随机模型的涵义、作用和实质掌握：函数模型、随机模型的涵义、作用和实质掌握：函数模型、随机模型的涵义、作用和实质掌握：函数模型、随机模型的涵义、作用和实质理解：四种平差方法的函数模型理解：四种平差方法的函数模型理解：四种平差方法的函数模型理解：四种平差方法的函数模型 函数模型线性化的方法函数模型线性化的方法函数模型线性化的方法函数模型线性化的方法 最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理了解：最小二乘估计的性质了解：最小二乘估计的性质了解：最小二乘估计的性质了解：最小二乘估计的性质