测量平差测量误差及其传播定律.pptx

1/98一、真值和真误差一、真值和真误差真真 值值反映一个量真正大小的绝对准确的数值反映一个量真正大小的绝对准确的数值估估 值值以一定的准确度表示一个量的大小的数值以一定的准确度表示一个量的大小的数值真误差真误差观测值与真值之差观测值与真值之差约定符号：约定符号：X真值真值 L观测值观测值 真误差真误差1.1 测量误差及其分类测量误差及其分类2/98三角形内角闭合差三角形内角闭合差:三角形闭合差的真误差三角形闭合差的真误差:一、真值和真误差一、真值和真误差1.1 测量误差及其分类测量误差及其分类双次观测较差的真误差：双次观测较差的真误差：双次观测较差：双次观测较差：3/98二、误差分类二、误差分类1 1、粗差、粗差特点：特点：没有规律性，单个误差没有规律性，单个误差具有离群具有离群的特征。的特征。1.1 测量误差及其分类测量误差及其分类定义：定义：由作业人员的粗心大意或仪器故障所造成的差错。由作业人员的粗心大意或仪器故障所造成的差错。例：同一个量的观测值：例：同一个量的观测值：1.115,1.114,1.110,1.119,1.120,5.234,1.112,4/982 2、系统误差、系统误差定义：定义：由测量条件中某些特定因素的系统性影响产生的误差。由测量条件中某些特定因素的系统性影响产生的误差。特点：特点：同等测量条件下，大小和符号规律变化，具有同等测量条件下，大小和符号规律变化，具有累积性累积性。二、误差分类二、误差分类1.1 测量误差及其分类测量误差及其分类例：例：尺长误差、电离层误差、觇标扭转误差等尺长误差、电离层误差、觇标扭转误差等5/983 3、偶然误差、偶然误差定义：定义：由测量条件中各种随机因素的偶然性影响而产生的误差。由测量条件中各种随机因素的偶然性影响而产生的误差。特点：特点：（1）产生误差的原因是随机的；）产生误差的原因是随机的；（2）原因是多方面的；）原因是多方面的；（3）单个误差的大小、符号无规律；）单个误差的大小、符号无规律；（4）误差总体上服从）误差总体上服从统计规律统计规律。二、误差分类二、误差分类1.1 测量误差及其分类测量误差及其分类6/98三、处理原则三、处理原则粗差(Gross error)剔除系统误差(Systematic errors)改正偶然误差(Random errors)多余观测1.1 测量误差及其分类测量误差及其分类7/98四、几点说明：四、几点说明：1.系系统统误误差差和和偶偶然然误误差差是是同同时时存存在在的的。理理想想的的情情况况是是平平差差前尽量消除或减弱系统误差，使偶然误差居主要成分。前尽量消除或减弱系统误差，使偶然误差居主要成分。2.系系统统误误差差和和偶偶然然误误差差是是相相对对的的。在在一一定定条条件件下下是是可可以以相相互互转化的。转化的。3.即即使使存存在在系系统统误误差差仍仍可可进进行行平平差差，但但平平差差结结果果不不理理想想，精度指标是虚假的。精度指标是虚假的。4.今后，没有特殊声明，总假定观测值仅含偶然误差。今后，没有特殊声明，总假定观测值仅含偶然误差。5.平平差差理理论论的的新新发发展展，出出现现了了处处理理包包含含粗粗差差和和系系统统误误差差的的理论。这些理论实用上有一定的局限性。理论。这些理论实用上有一定的局限性。1.1 测量误差及其分类测量误差及其分类返回8/98例：误差大小的区间（秒）为正值的个数 为负值的个数总数0.00.22121420.20.41919380.40.61512270.60.8911200.81.098171.01.256111.21.41341.41.6123总数8082162一、偶然误差的概率特性（统计特性）一、偶然误差的概率特性（统计特性）1.2 偶然误差概率特性偶然误差概率特性9/98(K/n)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差直方图表示：直方图表示：一、偶然误差的概率特性（统计特性）一、偶然误差的概率特性（统计特性）性质？性质？1.2 偶然误差概率特性偶然误差概率特性10/98界限性界限性表明，测量中的偶然误差是有界的，在实用表明，测量中的偶然误差是有界的，在实用上将上将超出一定界限的误差视为粗差超出一定界限的误差视为粗差。聚中性聚中性表明，偶然误差愈接近零，其分布愈密。实表明，偶然误差愈接近零，其分布愈密。实用中，可根据误差是否具有聚中性，判断观测结果用中，可根据误差是否具有聚中性，判断观测结果是否存在系统误差是否存在系统误差。对称性对称性表明，偶然误差有表明，偶然误差有相互抵消的性质相互抵消的性质。分析与说明分析与说明:一、偶然误差的概率特性（统计特性）一、偶然误差的概率特性（统计特性）1.2 偶然误差概率特性偶然误差概率特性11/98 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.630 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.475观测值确定了，其分布密度曲线就确定了。观测值确定了，其分布密度曲线就确定了。不同观测序列的曲线不同，但其均接近不同观测序列的曲线不同，但其均接近正态分布密度曲线正态分布密度曲线。二、偶然误差的分布二、偶然误差的分布(试验试验)1.2 偶然误差概率特性偶然误差概率特性12/98偶然误差是由偶然误差是由测量条件中多种随机因素测量条件中多种随机因素的偶然性影响而产的偶然性影响而产生的误差，而且每种误差都是独立的、对误差总体中都不生的误差，而且每种误差都是独立的、对误差总体中都不构成决定性的影响，构成决定性的影响，这符合这符合中心极限定理中心极限定理的条件的条件，如果把，如果把构成偶然误差的各种随机影响看成是随机变量，那么观测构成偶然误差的各种随机影响看成是随机变量，那么观测值的误差就是值的误差就是服从正态分布的随机变量服从正态分布的随机变量。二、偶然误差的分布二、偶然误差的分布(理论理论)1.2 偶然误差概率特性偶然误差概率特性结论：偶然误差服从正态分布结论：偶然误差服从正态分布13/98二、偶然误差的分布二、偶然误差的分布正态分布：正态分布：正态分布的密度函数：正态分布的密度函数：数字特征数字特征(期望和方差期望和方差)：正态分布是研究偶然误差的数学工具。正态分布是研究偶然误差的数学工具。1.2 偶然误差概率特性偶然误差概率特性14/98三、真值的统计学意义三、真值的统计学意义观测值的数学期望等于观测值的数学期望等于其真值。其真值。观测值观测值L与其真误差的分与其真误差的分布密度函数布密度函数1.2 偶然误差概率特性偶然误差概率特性15/98准准确确度度（Accuracy）准准确确度度又又称称偏偏差差，是是指指观观测测值数学期望与其真值之差。值数学期望与其真值之差。表征系统误差表征系统误差精精密度（密度（Precision）表示各观测值之间的密集或表示各观测值之间的密集或离散的程度。离散的程度。表征偶然误差表征偶然误差精确度精确度观测值与其真值的接近程度。观测值与其真值的接近程度。表征总误差表征总误差1.3 精度及其衡量指标精度及其衡量指标一一、基本概念、基本概念测量中的测量中的精度精度严格意义讲是指严格意义讲是指精密度精密度。精密度精密度等价于等价于精确度精确度？16/98二、方差和中误差二、方差和中误差1 1、方差、方差/标准差标准差随机变量与其数学期望之差的平随机变量与其数学期望之差的平方的数学期望。方的数学期望。观测值的方差：观测值的方差：（1 1）观测值与其对应观测值与其对应的真误差具有相同的方差。的真误差具有相同的方差。（2 2）标准差）标准差 几何意义：误差分几何意义：误差分布密度函数布密度函数 的拐点横坐标。的拐点横坐标。真误差的方差：真误差的方差：1.3 精度及其衡量指标精度及其衡量指标17/982 2、中误差、中误差（1 1）各真误差必须对应同一测量条件；）各真误差必须对应同一测量条件；（2 2）中误差前面的）中误差前面的“”是中误差是中误差的标志，不代表误差范围；的标志，不代表误差范围；一、方差和中误差一、方差和中误差相同测量条件下的一组真误差平相同测量条件下的一组真误差平方均值的平方根。方均值的平方根。注意：注意：1.3 精度及其衡量指标精度及其衡量指标18/982 2、中误差、中误差一、方差和中误差一、方差和中误差相同测量条件下的一组真误差平相同测量条件下的一组真误差平方均值的平方根。方均值的平方根。例：例：1.3 精度及其衡量指标精度及其衡量指标19/98二、平均误差二、平均误差1.1.定义定义真误差绝对值的数学期望，称为平真误差绝对值的数学期望，称为平均误差。均误差。2.2.实用公式实用公式3.3.平均误差与方差的关系平均误差与方差的关系真误差绝对值的平均值真误差绝对值的平均值假定误差服从正态分布，得假定误差服从正态分布，得1.3 精度及其衡量指标精度及其衡量指标20/98二、平均误差二、平均误差1.1.定义定义真误差绝对值的数学期望，称为平真误差绝对值的数学期望，称为平均误差。均误差。2.2.实用公式实用公式真误差绝对值的平均值真误差绝对值的平均值例：例：1.3 精度及其衡量指标精度及其衡量指标21/98三、或然误差三、或然误差1.1.定义定义若有一正数若有一正数，使得在一定测量条件，使得在一定测量条件下的误差总体中，绝对值大于和小下的误差总体中，绝对值大于和小于于 的两部分误差出现的概率相等，的两部分误差出现的概率相等，则称则称 为或然误差。为或然误差。1.3 精度及其衡量指标精度及其衡量指标22/98三、或然误差三、或然误差2.2.实用公式实用公式中位数计算方法中位数计算方法：按真误差绝对值：按真误差绝对值大小将它们依次排列，中间的误差大小将它们依次排列，中间的误差值或中间两误差值之中数，作为或值或中间两误差值之中数，作为或然误差。然误差。3.3.或然误差与方差的关系或然误差与方差的关系假定观测误差服从正态分布，有假定观测误差服从正态分布，有1.3 精度及其衡量指标精度及其衡量指标例：例：23/98几点说明：几点说明：2.当当观观测测值值个个数数有有限限时时，中中误误差差m 比比平平均均误误差差、或或然然误误差差更更能能反映大误差的存在，中误差更可靠一些。反映大误差的存在，中误差更可靠一些。1.1.按实用公式计算中误差、平均误差和或然误差按实用公式计算中误差、平均误差和或然误差m、，只有只有当观测值个数相当多时，结果才比较可靠。当观测值个数相当多时，结果才比较可靠。增加一个误差之后：增加一个误差之后：1.3 精度及其衡量指标精度及其衡量指标24/98几点说明：几点说明：2.当当观观测测值值个个数数有有限限时时，中中误误差差m 比比平平均均误误差差、或或然然误误差差更更能能反映大误差的存在，中误差更可靠一些。反映大误差的存在，中误差更可靠一些。3.由由一一系系列列等等精精度度观观测测结结果果所所求求得得的的中中误误差差，反反映映了了该该观观测测列列的的测测量量条条件件，也也是是其其中中每每一一个个观观测测值值的的中中误误差差，同同时时也也是是相相同同测测量量条条件下，其它观测值的中误差。件下，其它观测值的中误差。1.1.按实用公式计算中误差、平均误差和或然误差按实用公式计算中误差、平均误差和或然误差m、，只有只有当观测值个数相当多时，结果才比较可靠。当观测值个数相当多时，结果才比较可靠。4.我我国国测测量量规规范范规规定定统统一一用用中中误误差差作作为为精精度度标标准准，正正式式测测量量成成果果必必须用中误差。须用中误差。1.3 精度及其衡量指标精度及其衡量指标25/98四、极限误差四、极限误差 定义：定义：一定测量条件下，一定测量条件下，偶然误差的最大允许值。偶然误差的最大允许值。1.3 精度及其衡量指标精度及其衡量指标取值：取值：一般情况下一般情况下困难情况下困难情况下26/98（1）极限误差是真误差的限值。极限误差是真误差的限值。（2）公式公式 仅适用于仅适用于服从正态分布的偶然误差服从正态分布的偶然误差。（3）注意极限误差的符号表示：注意极限误差的符号表示：注意：注意：四、极限误差四、极限误差 1.3 精度及其衡量指标精度及其衡量指标27/98五、相对误差五、相对误差问题：问题：谁的精度高？谁的精度高？1.3 精度及其衡量指标精度及其衡量指标28/98五、相对误差五、相对误差说明：说明：误差值与相应观测结果之比。误差值与相应观测结果之比。一个量的中误差与相应观测值之一个量的中误差与相应观测值之比比相对中误差相对中误差。1.1.相对误差是个无名数，一般相对误差是个无名数，一般将其分子化成将其分子化成1 1，写成，写成1/m 1/m 的的形式形式 2.2.相对误差一般用于长度测量。相对误差一般用于长度测量。3.3.真误差、中误差、平均误差、真误差、中误差、平均误差、或然误差、极限误差称为绝对或然误差、极限误差称为绝对误差。误差。1.3 精度及其衡量指标精度及其衡量指标29/98图图 点位误差分析点位误差分析横向误差：横向误差：纵向误差：纵向误差：纵向中误差：纵向中误差：横向中误差：横向中误差：纵纵横横向向精精度度一一致致，就就是是以以弧弧度度为为单单位位的的测测角角中中误误差差与与边边长长的的相相对对中中误误差相等。差相等。如何使纵横向精度一致？如何使纵横向精度一致？1.3 精度及其衡量指标精度及其衡量指标五、相对误差五、相对误差(应用应用)提示：测角与测边精度关系提示：测角与测边精度关系30/981.3 精度及其衡量指标精度及其衡量指标五、相对误差五、相对误差(应用应用)31/981.3 精度及其衡量指标精度及其衡量指标六、精确度的衡量指标？六、精确度的衡量指标？MSE称为均方误差称为均方误差32/981.测量条件四要素：人、仪器、观测对象、自然环境。测量条件四要素：人、仪器、观测对象、自然环境。2.必要观测与多余观测。必要观测与多余观测。3.是测量平差，测量平差的任务是是测量平差，测量平差的任务是.4.测量平差可以消除矛盾，但不能消除误差。测量平差可以消除矛盾，但不能消除误差。5.测量误差分为三类：粗差、系统误差、偶然误差。测量误差分为三类：粗差、系统误差、偶然误差。6.测量平差主要处理含有偶然误差的观测值，偶然误差是测量平差主要处理含有偶然误差的观测值，偶然误差是本课程讨论的重点。本课程讨论的重点。复习复习33/981、偶然误差的统计规律、偶然误差的统计规律正态分布正态分布2、偶然误差三特性：界限性，聚中性，对称性。、偶然误差三特性：界限性，聚中性，对称性。3、精度估计标准：中误差，平均误差，或然误差，、精度估计标准：中误差，平均误差，或然误差，相对误差，极限误差。相对误差，极限误差。重点掌握：中误差，相对误差，极限误差。重点掌握：中误差，相对误差，极限误差。复习复习返回34/98（1 1）随机变量的协方差）随机变量的协方差估值：估值：预备知识预备知识设设 为随机变量，它们的协方差为为随机变量，它们的协方差为35/98（2 2）随机向量的方差协方差矩阵）随机向量的方差协方差矩阵预备知识预备知识协方差与相关系数协方差与相关系数相互独立与零协方差相互独立与零协方差特点：特点：对称对称 正定正定观测量相互独立，对角矩阵。观测量相互独立，对角矩阵。等精度观测，对角元素相等。等精度观测，对角元素相等。36/98（3 3）向量间的协方差矩阵）向量间的协方差矩阵预备知识预备知识37/98（4 4）向量的微分）向量的微分设：设：令：令：预备知识预备知识38/981.4 协方差传播律协方差传播律39/98求函数的方差求函数的方差概括为：概括为：已知函数关系式已知函数关系式以及观测值的方差协方差以及观测值的方差协方差1.4 协方差传播律协方差传播律40/98（一）随机变量函数的方差和中误差（一）随机变量函数的方差和中误差式中式中：式中：式中：设随机变量的函数设随机变量的函数为随机变量为随机变量真误差关系式真误差关系式式中：式中：1.4 协方差传播律协方差传播律41/98（一）随机变量函数的方差和中误差（一）随机变量函数的方差和中误差随机变量的函数随机变量的函数函数的方差函数的方差函数中误差函数中误差1.4 协方差传播律协方差传播律42/98几种特殊情况：几种特殊情况：（1 1）观测值不相关时）观测值不相关时（2 2）线性函数）线性函数（3 3）倍数函数）倍数函数（4 4）和差函数）和差函数1.4 协方差传播律协方差传播律43/98线性函数：线性函数：1.1.方差协方差矩阵传播方差协方差矩阵传播非线性函数：非线性函数：（二）向量间协方差矩阵的关系（二）向量间协方差矩阵的关系1.4 协方差传播律协方差传播律44/98设：设：2.2.向量间协方差矩阵传播向量间协方差矩阵传播（二）向量间协方差矩阵的关系（二）向量间协方差矩阵的关系1.4 协方差传播律协方差传播律45/98协方差传播应用步骤协方差传播应用步骤根据实际情况确定函数与观测值的关系式写出观测量的协方差阵对函数进行线性化协方差传播律1.4 协方差传播律协方差传播律46/98应用误差传播律，得应用误差传播律，得 因闭合差为真误差，故由中误差定义得因闭合差为真误差，故由中误差定义得（一）由三角形闭合差计算测角中误差（菲列罗公式）（一）由三角形闭合差计算测角中误差（菲列罗公式）观测值：各三角形内角（观测值：各三角形内角（独立独立），中误差均为），中误差均为第第 个三角形的三内角观测值个三角形的三内角观测值由内角计算由内角计算 个三角形闭合差：个三角形闭合差：1.4 协方差传播律协方差传播律应用矩阵通式，应用矩阵通式，结合例结合例1-5,p1647/98（一）由三角形闭合差计算测角中误差（菲列罗公式）（一）由三角形闭合差计算测角中误差（菲列罗公式）WWWWWWWWWWWWWW1.4 协方差传播律协方差传播律48/98（二）一个量算术平均值的中误差（二）一个量算术平均值的中误差仅仅靠不断增加观测次数仅仅靠不断增加观测次数能否持续能否持续提高观测结果的精度？提高观测结果的精度？1.4 协方差传播律协方差传播律应用矩阵通式，应用矩阵通式，结合例结合例1-8,p2049/98（三）水准高差的中误差（三）水准高差的中误差1.4 协方差传播律协方差传播律50/98当各站距离大致相等时，这些观测高差可视为等精度，若设它们的当各站距离大致相等时，这些观测高差可视为等精度，若设它们的中误差均为中误差均为m 水准测量观测高差的中误差，水准测量观测高差的中误差，与测站数的平方根成正比与测站数的平方根成正比。（三）水准高差的中误差（三）水准高差的中误差1.4 协方差传播律协方差传播律51/98当各站距离大致相等时，这些观测高差可视为等精度，当各站距离大致相等时，这些观测高差可视为等精度，若设它们的中误差均为若设它们的中误差均为m 水准测量观测高差的中误差，水准测量观测高差的中误差，与测站数的平方根成正比与测站数的平方根成正比。因为各站距离大致相等，设一站的距离为因为各站距离大致相等，设一站的距离为s，全长的距离全长的距离为为S，则则令水准测量观测高差的中误差与水准测量观测高差的中误差与路线长度的平方根成正比路线长度的平方根成正比。（三）水准高差的中误差（三）水准高差的中误差1.4 协方差传播律协方差传播律52/98水准测量观测高差的中误差，水准测量观测高差的中误差，与测站数的平方根成正比。与测站数的平方根成正比。水准测量观测高差的中误差，水准测量观测高差的中误差，与路线长度的平方根成正比。与路线长度的平方根成正比。当当S 1时时，说明K是单位距离的高差的中误差K的意义：水准测量高差中误差等于单位距离观测高差中误差水准测量高差中误差等于单位距离观测高差中误差与水准路线全长的平方根之积与水准路线全长的平方根之积 。（三）水准高差的中误差（三）水准高差的中误差1.4 协方差传播律协方差传播律53/98h（高差高差）S（平面边长平面边长）a（标高标高）i（仪器高仪器高）（四）三角高程测量高差的中误差（四）三角高程测量高差的中误差1.4 协方差传播律协方差传播律54/98不考虑不考虑 i，a 的误差的误差，求高差求高差 h 的中误差的中误差距离距离S 的误差远小于垂直角的误差的误差远小于垂直角的误差，所以第一项可忽略不计所以第一项可忽略不计；三角高程测量中单向高差的中误三角高程测量中单向高差的中误差，等于以弧度表示的垂直角的差，等于以弧度表示的垂直角的中误差乘以两三角点间的距离。中误差乘以两三角点间的距离。双向高差双向高差：（四）三角高程测量高差的中误差（四）三角高程测量高差的中误差1.4 协方差传播律协方差传播律55/98偶然误差常常是产生于若干个主要误差来源偶然误差常常是产生于若干个主要误差来源。（五）若干独立误差的联合影响（五）若干独立误差的联合影响一般情况下，设一般情况下，设 为观测时的一些独立误差，则为观测时的一些独立误差，则总的观测误差是这些误差的代数和，即总的观测误差是这些误差的代数和，即1.4 协方差传播律协方差传播律56/98例：方向观测法。方向观测一次结果的误差为（五）若干独立误差的联合影响（五）若干独立误差的联合影响1.4 协方差传播律协方差传播律57/98极限误差：极限误差：一定测量条件下真误差的最大允许值 解：（六）限差的确定（六）限差的确定1.4 协方差传播律协方差传播律58/98解：（六）限差的确定（六）限差的确定极限误差：极限误差：一定测量条件下真误差的最大允许值 1.4 协方差传播律协方差传播律59/98菲列罗测角中误差公式菲列罗测角中误差公式算数平均值的中误差公式算数平均值的中误差公式水准高差的中误差公式水准高差的中误差公式三角高程高差的中误差公式三角高程高差的中误差公式要求：要求：能够熟练推导能够熟练推导公式公式可以灵活应用公式可以灵活应用公式1.4 协方差传播律协方差传播律60/981 1、权的定义、权的定义复习：最小二乘原理复习：最小二乘原理等精度：等精度：非等精度：非等精度：1.5 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播（一）权的概念（一）权的概念是观测值的权，代表了观测值是观测值的权，代表了观测值的信赖程度的信赖程度22221211:1:1:nnppps ss ss sLL=61/981.5 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播1 1、权的定义、权的定义（一）权的概念（一）权的概念22221211:1:1:nnppps ss ss sLL=62/981.5 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播1 1、权的定义、权的定义（一）权的概念（一）权的概念22221211:1:1:nnppps ss ss sLL=63/981 1、权的定义、权的定义1.5 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播（一）权的概念（一）权的概念2 2、分析与说明、分析与说明64/981.5 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播（一）权的概念（一）权的概念3 3、权矩阵、权矩阵(1)(1)观测值独立时的权矩阵观测值独立时的权矩阵观测值通常以列向量表示：观测值通常以列向量表示：P 也称为观测值向量也称为观测值向量L的权阵。的权阵。65/981.5 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播（一）权的概念（一）权的概念3 3、权矩阵、权矩阵(1)(1)观测值独立时的权矩阵观测值独立时的权矩阵权的定义权的定义66/981.5 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播（一）权的概念（一）权的概念3 3、权矩阵、权矩阵(1)(1)观测值独立时的权矩阵观测值独立时的权矩阵权与方差矩阵的关系：权与方差矩阵的关系：或或方差阵定义方差阵定义67/981.5 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播（一）权的概念（一）权的概念3 3、权矩阵、权矩阵(1)(1)观测值独立时的权矩阵观测值独立时的权矩阵或或(2)(2)观测值相关时的权矩阵观测值相关时的权矩阵?或或*问题问题*若成立，如何从权阵若成立，如何从权阵得到观测值的权值？得到观测值的权值？68/981 1、距离丈量的权、距离丈量的权（二）权的赋值（二）权的赋值1.5 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播距离丈量的权与路线长度成反比。距离丈量的权与路线长度成反比。69/982 2、水准高差的权、水准高差的权（二）权的赋值（二）权的赋值注意：注意：各高差的各高差的K值必须一样值必须一样!1.5 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播70/983 3、算术中数的权、算术中数的权（二）权的赋值（二）权的赋值1.5 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播71/984 4、三角高程高差的权、三角高程高差的权（二）权的赋值（二）权的赋值注意：注意：各垂直角的中误差必须一样各垂直角的中误差必须一样!1.5 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播72/981 1、权的定义、权的定义1.5 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播2 2、权矩阵、权矩阵或或2 2、协因素阵、协因素阵/权逆阵权逆阵或或权矩阵是协因数阵权矩阵是协因数阵的逆阵。的逆阵。1 1、协因数、协因数/权倒数的定义权倒数的定义（三）权逆阵、权倒数的传播（三）权逆阵、权倒数的传播73/981 1、权逆阵的传播、权逆阵的传播（三）权逆阵、权倒数的传播（三）权逆阵、权倒数的传播1.5 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播74/982 2、相关权逆阵的传播、相关权逆阵的传播设设（三）权逆阵、权倒数的传播（三）权逆阵、权倒数的传播1.5 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播75/983 3、权倒数的传播、权倒数的传播（三）权逆阵、权倒数的传播（三）权逆阵、权倒数的传播观测值独立时观测值独立时1.5 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播76/98（1 1）观测值不相关）观测值不相关（2 2）线性函数）线性函数（3 3）倍数函数）倍数函数（4 4）和差函数）和差函数（三）权逆阵、权倒数的传播（三）权逆阵、权倒数的传播3 3、权倒数的传播、权倒数的传播1.5 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播77/98解：解：函数式函数式（各段高差独立各段高差独立）和差函数权倒数和差函数权倒数得得1.5 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播78/98解：解：应用倍数函数的权倒数公式应用倍数函数的权倒数公式1.5 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播79/98L1L2f3f2f1取单位权中误差取单位权中误差2 2 3m3m2 2一般情况下，测量上的原始观测值都是一般情况下，测量上的原始观测值都是独立的，或者假定为独立的。独立的，或者假定为独立的。而相关观测值都是原始观测值的函数，而相关观测值都是原始观测值的函数，其协方差矩阵或权逆阵是从方差传播公其协方差矩阵或权逆阵是从方差传播公式或权逆阵传播公式导出的。式或权逆阵传播公式导出的。例例3：1.5 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播80/98例例4：解：解：1.5 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播81/98例例5：解：解：1.5 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播82/983 3、权逆阵、权逆阵或或1 1、权的定义、权的定义2 2、权矩阵、权矩阵或或权的定义权的定义复习复习83/981 1、算术中数的权、算术中数的权2 2、水准高差的权、水准高差的权3 3、三角高程高差的权、三角高程高差的权权的赋值权的赋值复习复习84/981 1、权逆阵传播、权逆阵传播2 2、权倒数计算、权倒数计算权的传播权的传播复习复习85/98矩阵的迹矩阵的迹矩阵的迹等于矩阵主对角线元素之和。矩阵的迹等于矩阵主对角线元素之和。预备知识预备知识86/98正交矩阵正交矩阵正定矩阵的正交分解正定矩阵的正交分解 的对角线元素是矩阵的对角线元素是矩阵 的特的特征值。征值。若若 正定，存在正交矩阵正定，存在正交矩阵 和对角矩阵和对角矩阵 ，使得，使得预备知识预备知识87/98例：水准测量高差例：水准测量高差由于路线长度不同，每段高差是由于路线长度不同，每段高差是不等精度不等精度的，不能直接应用中误的，不能直接应用中误差公式。差公式。不等精度的中误差估计公式？不等精度的中误差估计公式？1.6 由真误差计算方差及其应用由真误差计算方差及其应用88/98复习：什么是单位权中误差？复习：什么是单位权中误差？（1 1）权定义中任意选取的非零常数）权定义中任意选取的非零常数（2 2）单位权观测值的中误差。）单位权观测值的中误差。既然是可以选择的常数，为什么还要计算单位权中误差呢？既然是可以选择的常数，为什么还要计算单位权中误差呢？回顾回顾：水准高差的权：水准高差的权任意选定的不是任意选定的不是 ，而是，而是是路线长度等于是路线长度等于 的高差的中误差的高差的中误差“任意的常数任意的常数”是指在定权之前，一旦权确定之后，单是指在定权之前，一旦权确定之后，单位权中误差就不是任意常数，而是有位权中误差就不是任意常数，而是有“确定意义确定意义”的量。的量。1.6 由真误差计算方差及其应用由真误差计算方差及其应用89/98由权的定义式，得由权的定义式，得1.6 由真误差计算方差及其应用由真误差计算方差及其应用精度估计流程：精度估计流程：确定观测确定观测值的权值的权计算单位计算单位权中误差权中误差计算观测计算观测值中误差值中误差90/981 1、等精度独立观测值、等精度独立观测值(单位权单位权)中误差：中误差：（一）单位权方差与单位权中误差（一）单位权方差与单位权中误差1.6 由真误差计算方差及其应用由真误差计算方差及其应用2 2、不等精度独立观测值、不等精度独立观测值单位权中误差：单位权中误差：91/98（一）单位权方差与单位权中误差（一）单位权方差与单位权中误差权矩阵是正定矩阵，可以分解为权矩阵是正定矩阵，可以分解为令令并且并且1.6 由真误差计算方差及其应用由真误差计算方差及其应用3 3、不等精度相关观测值、不等精度相关观测值92/98（一）单位权方差与单位权中误差（一）单位权方差与单位权中误差观测值等精度独立时：观测值等精度独立时：1.6 由真误差计算方差及其应用由真误差计算方差及其应用观测值不等精度独立时：观测值不等精度独立时：*例题例题*p3193/98（一）单位权方差与单位权中误差（一）单位权方差与单位权中误差(2)单位权中误差的平方以概率收敛于单位权方差。单位权中误差满足：单位权中误差满足：1.6 由真误差计算方差及其应用由真误差计算方差及其应用94/98(2)单位权中误差的平方以概率收敛于单位权方差。单位权中误差满足：单位权中误差满足：1.6 由真误差计算方差及其应用由真误差计算方差及其应用22221nTyyyP+=L（一）单位权方差与单位权中误差（一）单位权方差与单位权中误差95/98（二）实际应用（二）实际应用1.6 由真误差计算方差及其应用由真误差计算方差及其应用1：由三角形闭合差求测角中误差（菲列罗公式）：由三角形闭合差求测角中误差（菲列罗公式）2：由双观测值之差求中误差：由双观测值之差求中误差96/98解：解：1.6 由真误差计算方差及其应用由真误差计算方差及其应用(km)10 =S取Spi1 =即（二）实际应用（二）实际应用97/98（1 1）测量平差的概念）测量平差的概念测量条件，测量条件，多余观测，多余观测，测量平差，测量平差，平差任务，平差任务，最小二乘原理最小二乘原理（2 2）误差分类及特性）误差分类及特性真误差，真误差，真值，真值，真值的统计学意义真值的统计学意义粗差，粗差，系统误差，系统误差，偶然误差偶然误差偶然误差的统计特性偶然误差的统计特性偶然误差的分布偶然误差的分布（3 3）精度标准）精度标准方差，中误差，方差，中误差，平均误差，平均误差，或然误差或然误差相对中误差，相对中误差，极限误差极限误差（4 4）误差传播定律）误差传播定律观测值函数的中误差观测值函数的中误差协方差矩阵的传播协方差矩阵的传播观测值独立时函数的中误差观测值独立时函数的中误差几个特例几个特例误差传播在测量上应用举例误差传播在测量上应用举例偶然误差与系统误差合并影响偶然误差与系统误差合并影响（5 5）权）权权的定义，权逆阵的定义权的定义，权逆阵的定义权倒数、权逆阵的传播权倒数、权逆阵的传播真误差计算单位权中误差真误差计算单位权中误差常用赋权公式常用赋权公式双次观测之差计算单位权中误差双次观测之差计算单位权中误差复习复习