第5章组合体的投影.pptx

图图5-15-1 基本立体与机件基本立体与机件 常常见见的的基基本本立立体体平平面面立立体体曲曲面面立立体体棱柱棱柱棱锥棱锥圆柱圆柱圆锥圆锥圆球圆球圆环圆环5.1 5.1 平面立体平面立体 表表面面全全部部由由平平面面围围成成的的立立体体，称称为为平平面面立立体体。平面立体上相邻表面的交线称为。平面立体上相邻表面的交线称为棱线棱线。平平面面立立体体主主要要分分为为棱棱柱柱和和棱棱锥锥(包包括括棱棱台台)两两种。种。5.1.1 5.1.1 棱柱棱柱 棱棱柱柱由由一一个个顶顶面面、一一个个底底面面和和若若干干侧侧棱棱面面组组成成，顶顶面面与与底底面面是是全全等等且且相相互互平平行行的的多多边边形形，侧侧棱棱面面为为矩矩形形或或平平行行四四边边形形，侧侧棱棱面面和和侧侧棱棱面面的的交交线线称称为为侧侧棱棱线线，侧侧棱棱线线相相互互平平行行，侧侧棱棱线线与与底底面面垂垂直直的的称称为为直直棱棱柱柱，本节只讨论直棱柱的投影，本节只讨论直棱柱的投影。棱柱棱柱1.1.棱柱的投影棱柱的投影 图示所示为一个直六棱柱，它的上、下底面为正六图示所示为一个直六棱柱，它的上、下底面为正六边形，放置成平行于边形，放置成平行于H H面，并使其前后两个侧面平行于面，并使其前后两个侧面平行于V V面。面。水平投影为水平投影为正六边形正六边形，反映顶面和底面，反映顶面和底面实形实形。正面投影为三个正面投影为三个矩形线框矩形线框。侧面投影为两个侧面投影为两个矩形线框矩形线框。画画直直棱棱柱柱的的投投影影时时，一一般般先先画画反反映映底底面面实实形的投影，然后画其它两面的投影。形的投影，然后画其它两面的投影。注注意意区区分分可可见见性性，在在投投影影图图中中，当当多多种种图图线线发发生生重重叠叠时时，则则应应按按粗粗实实线线、虚虚线线、点点画画线线等顺序优先绘制。等顺序优先绘制。如如果果投投影影的的图图形形对对称称，则则应应该该画画出出对对称称中中心线。心线。2.2.棱柱表面上的点：棱柱表面上的点：aaa(b)bb 棱柱表面上的点与平面上棱柱表面上的点与平面上取点的方法相同，注意要判别取点的方法相同，注意要判别投影的可见性。投影的可见性。5.1.2 5.1.2 棱锥棱锥 棱棱锥锥的的底底面面为为多多边边形形，各各侧侧面面均均为为三三角角形形且且具具有有公公共共的的顶顶点点，即即为为棱棱锥锥的的锥锥顶顶。棱棱锥锥到到底底面面的的距距离离为为棱锥的高。棱锥的高。ASBC1.1.棱锥的投影棱锥的投影 正正三三棱棱锥锥的的锥锥顶顶为为S S，底底面面为为等等边边三三角角形形ABCABC，三三个个侧侧面为全等的等腰三角形。面为全等的等腰三角形。画画正正三三棱棱锥锥的的投投影影图图时时，一般底面平行于水平面。一般底面平行于水平面。ASBCabc s 画三棱锥的投影：画三棱锥的投影：由于底面由于底面ABCABC为水平面，所以为水平面，所以水平投影水平投影abcabc反映底面实形，反映底面实形，正面和侧面投影分别积聚成平正面和侧面投影分别积聚成平行行X X轴和轴和Y Y轴的直线段轴的直线段abcabc和和abcabc。s a(c)b b a c ASBC(a)(b)图图5-3 5-3 正三棱锥的投影正三棱锥的投影s2.2.棱锥表面上的点棱锥表面上的点 对对于于特特殊殊位位置置平平面面上上点点的的投投影影可可利利用用平平面面投投影影的的积积聚聚性性作作出出。而而对对于于一一般般位位置置平平面面上上点点的的投投影影，则则需需运运用用平平面面上上取取点的原理选择适当的点的原理选择适当的辅助线辅助线来作图。来作图。一般而言，棱锥的投影具有这样的特性：一一般而言，棱锥的投影具有这样的特性：一个投影反映个投影反映底面实形底面实形(由几个三角形组合而成由几个三角形组合而成)，而另两个投影则为一个而另两个投影则为一个三角形三角形或并列三角形组合。或并列三角形组合。如如图图5-45-4所所示示，已已知知三三棱棱锥锥表表面面上上点点M M的的正正面面投投影影mm和和点点N N的的水水平平投投影影n n，求求这这两两点点的的其其他他投投影。影。分分析析：对对于于M M点点，由由于于它它所所在在的的平平面面SABSAB为为一一般般位位置置平平面面，必必须须作作辅辅助助线线才才能能求求出出其其他他投投影影。可采用辅助线方法可采用辅助线方法求解求解。对对于于N N点点，由由于于它它所所在在的的平平面面SACSAC为为侧侧垂垂面面，可利用积聚性求解。可利用积聚性求解。(a)(b)图图5-4 5-4 正三棱锥表面上的点正三棱锥表面上的点(c)(d)图图5-4 5-4 正三棱锥表面上的点正三棱锥表面上的点abc()s k k s b a(c)b a c n n k n*平面上取点法平面上取点法。ASBC(a)(b)s s5.2 5.2 回转体的投影及其表面取点回转体的投影及其表面取点 表面由平面与曲面围成，或全部由曲面围表面由平面与曲面围成，或全部由曲面围 成的立称为成的立称为曲面立体曲面立体。常见曲面是回转面，它是由一直线或曲线以一定常见曲面是回转面，它是由一直线或曲线以一定直直线线为轴线回转形成。为轴线回转形成。表面有回转曲面的立体称表面有回转曲面的立体称回转体回转体，如圆柱体、圆锥，如圆柱体、圆锥体、球体等。体、球体等。图图5-55-55.2.1 5.2.1 圆柱体圆柱体 圆柱体是由顶面、底面和圆柱体是由顶面、底面和圆柱面所组成。圆柱面是由一条圆柱面所组成。圆柱面是由一条直母线直母线AAAA1 1绕与它绕与它平行平行的轴线的轴线OOOO1 1回转而成。回转而成。圆柱面上任意一条平行于轴圆柱面上任意一条平行于轴线的直线，称为圆柱面的素线线的直线，称为圆柱面的素线。单击图形观看动画单击图形观看动画1.圆柱体的投影当当圆圆柱柱体体的的轴轴线线垂垂直直于于H面面时时，水水平平投投影影为为一一圆圆，该该圆圆是是圆柱面的圆柱面的积聚性积聚性投影。投影。该该圆圆柱柱体体的的正正面面投投影影为为矩矩形形。矩矩形形的的上上、下下边边线线是是圆圆柱柱体体顶顶面面和和底底面面的的积积聚聚性性投投影影，矩矩形形的的左左、右右边边线线是是圆圆柱柱面上最外的两条面上最外的两条素线素线为为轮廓素线轮廓素线。轮廓素线是圆柱面可见与不可见的轮廓素线是圆柱面可见与不可见的分界线分界线。画圆柱体投影时，一般先画出圆的画圆柱体投影时，一般先画出圆的中心中心线线和和轴线轴线及投影为圆的那个投影，然后画出及投影为圆的那个投影，然后画出其余投影。其余投影。圆柱面在圆柱面在圆柱面在圆柱面在垂直于轴线垂直于轴线垂直于轴线垂直于轴线的投影面上有积聚性。的投影面上有积聚性。的投影面上有积聚性。的投影面上有积聚性。圆柱体的投影圆柱体的投影圆柱体的投影圆柱体的投影(a)(b)图图5-6 5-6 圆柱体的投影圆柱体的投影*圆柱体与投影图的对应关系圆柱体与投影图的对应关系图图5-7 在圆柱表面上取点在圆柱表面上取点 已已知知圆圆柱柱表表面面上上点点M M、N N的的正正面面投投影影，求求作作它它们们的的水水平平及及侧侧面投影。面投影。2.圆柱体表面上的点5.2.2 5.2.2 圆锥体圆锥体 圆锥面是由一直母线圆锥面是由一直母线绕着与它绕着与它相交相交的轴线的轴线旋转而成。旋转而成。在圆锥面上通过锥在圆锥面上通过锥顶顶S S的任一的任一直线直线称为圆称为圆锥面的素线。锥面的素线。圆锥体圆锥体由圆锥面和底面所围成。由圆锥面和底面所围成。单击图形观看动画单击图形观看动画图图5-8 5-8 圆锥体的投影圆锥体的投影1.圆锥体的投影 该圆锥体的该圆锥体的H H面的投面的投影为影为圆圆,即底面的轮廓即底面的轮廓线，无积聚性线，无积聚性 。V V面面和和W W面面投影为全等投影为全等的的等腰三角形等腰三角形。两腰分。两腰分别是圆锥面上各轮廓素别是圆锥面上各轮廓素线的投影。线的投影。画圆锥体投影时，一般先画出画圆锥体投影时，一般先画出中心线及投中心线及投影为圆影为圆的那个投影，然后画出其余投影。的那个投影，然后画出其余投影。2.2.圆锥体表面上的点圆锥体表面上的点 因为圆锥面在三个投影面上的投影都没因为圆锥面在三个投影面上的投影都没有积聚性，所以必须用作有积聚性，所以必须用作辅助线辅助线的方法在圆的方法在圆锥体表面上取点。作辅助线的方法有锥体表面上取点。作辅助线的方法有两种两种：（1 1）辅助素线法）辅助素线法 （2 2）辅助纬线圆法）辅助纬线圆法（1 1）辅助素线法）辅助素线法已知圆锥表面上点已知圆锥表面上点K K的的正面投影正面投影kk，求作其，求作其水平投影水平投影k k和侧面投影和侧面投影kk。(b)(2)(2)辅助纬线圆法辅助纬线圆法5.2.3 5.2.3 圆球圆球 球面是以半圆为母线，绕半圆的直径旋转而成。球面是以半圆为母线，绕半圆的直径旋转而成。1.1.圆球的投影圆球的投影n圆球的三面投影均为与其直径相等的圆。圆球的三面投影均为与其直径相等的圆。它们分别是球三个不同方向的轮廓圆的投影。它们分别是球三个不同方向的轮廓圆的投影。(c)(c)AB(C)(b)c bb a aa 注意：注意：圆球面上点的圆球面上点的可见性的判断可见性的判断2.2.圆球面上的点圆球面上的点（辅助纬线圆法）（辅助纬线圆法）辅助圆的半径辅助圆的半径？辅助圆可选用辅助圆可选用正平圆、水平圆正平圆、水平圆或或侧平圆侧平圆。如图如图5-115-11所示，已知球面上点所示，已知球面上点M M的正面投影的正面投影m m ，求作，求作其水平和侧面投影。其水平和侧面投影。(a)(b)(c)图图5-11 5-11 在圆球表面上取点在圆球表面上取点5.3 5.3 平面与立体相交（平面与立体相交（求截交线问题求截交线问题）图图5-12 5-12 平面截切立体平面截切立体 基本立体被基本立体被平面平面截切后，表面产生的截切后，表面产生的交线称为交线称为截交线截交线。截。截切立体的平面称为切立体的平面称为截截平面平面，截交线围成的，截交线围成的图形称为图形称为截断面截断面，如，如图图5-125-12所示。绘制被所示。绘制被截立体的投影必须将截立体的投影必须将截交线的投影绘出。截交线的投影绘出。单击此处观看动画单击此处观看动画截交线有如下性质：截交线有如下性质：(1)(1)截截交交线线一一般般是是由由直直线线、曲曲线线或或直直线线和和曲曲线线所所围成的封闭的平面图形（围成的封闭的平面图形（截断面）截断面）。(2)(2)截截交交线线是是截截平平面面和和立立体体表表面面的的共共有有线线，其其上上的的点点都都是是截截平平面面与与立立体体表表面面的的共共有有点点，即即：这这些些点既在截平面上，又在立体表面上。点既在截平面上，又在立体表面上。(3)(3)截截交交线线的的形形状状取取决决于于被被截截立立体体的的形形状状和和截截平平面与立体的面与立体的相对位置相对位置。5.3.1 5.3.1 截平面与截平面与平面平面立体相交立体相交 截平面与截平面与平面立体平面立体相交所得的截交线是由相交所得的截交线是由直直线线组成的平面多边形，多边形的组成的平面多边形，多边形的边边是截平面与是截平面与平面立体表面的平面立体表面的交线交线，多边形的，多边形的顶点顶点是截平面是截平面与平面立体与平面立体棱线的交点棱线的交点。因此，求平面立体的。因此，求平面立体的截交线可归结为求截平面与立体上棱线的截交线可归结为求截平面与立体上棱线的交点交点。(a)(b)图图5-13 5-13 正四棱锥的截交线正四棱锥的截交线例例5-1 5-1 求正四棱锥被正垂平面求正四棱锥被正垂平面P P截切后的投影。截切后的投影。(c)(d)图图5-14 三棱锥被正垂面和水平面截切的作图三棱锥被正垂面和水平面截切的作图【例例5-25-2】求正三棱锥被水平面、正垂面截切后的投影。求正三棱锥被水平面、正垂面截切后的投影。(c)(d)图图5-14 三棱锥被正垂面和水平面截切的作图三棱锥被正垂面和水平面截切的作图【例例5-25-2】求正三棱锥被水平面、正垂面截切后的投影。求正三棱锥被水平面、正垂面截切后的投影。(a)(b)(c)图图5-15 5-15 穿孔的正四棱柱穿孔的正四棱柱【例例5-35-3】完成正四棱柱穿孔的侧面投影完成正四棱柱穿孔的侧面投影。截截交交线线通通常常是是一一条条封封闭闭的的平平面面曲曲线线，也也可可能能是是由由直直线线组成的平面多边形或直线和曲线组成的平面图形。组成的平面多边形或直线和曲线组成的平面图形。截交线是截平面和回转体表面的截交线是截平面和回转体表面的共有线共有线，截交线上的，截交线上的点也是二者的共有点。点也是二者的共有点。当截交线为非圆曲线时，一般先求出能确定截交线形当截交线为非圆曲线时，一般先求出能确定截交线形状和范围的状和范围的特殊点特殊点，再求出若干中间点，最后将这些点，再求出若干中间点，最后将这些点连成光滑曲线，并判别连成光滑曲线，并判别可见性。可见性。5.3.2 5.3.2 平面与回转体相交平面与回转体相交1.1.平面与圆柱体相交平面与圆柱体相交根根据据截截平平面面与与圆圆柱柱面面轴轴线线的的相相对对于于位位置置不不同同，其截交线有三种形状，如表其截交线有三种形状，如表5-15-1所示。所示。表5-1圆柱体的截交线投影图投影图 截平面的截平面的位置位置与轴线平行与轴线平行与轴线垂直与轴线垂直与轴线倾斜与轴线倾斜交线形状交线形状平行于轴线的直线平行于轴线的直线圆圆椭圆椭圆立体图立体图 动画动画动画动画例例5-4立体图立体图【例例5-45-4】如如图图5-16(a)5-16(a)所所示示，已已知知带带矩矩形形切切口口圆圆柱体的正面和侧面投影，求作水平投影。柱体的正面和侧面投影，求作水平投影。(c)(d)图图5-16 5-16 求圆柱切口的投影求圆柱切口的投影 (a)(b)【例例5-55-5】如如图图5-17(a)5-17(a)所所示示，已已知知圆圆柱柱体体被被正正垂垂面面截截切切后的正面和水平投影，求作侧面投影。后的正面和水平投影，求作侧面投影。(c)(d)图图5-17 5-17 求正垂面截切圆柱的截交线求正垂面截切圆柱的截交线2.平面与圆锥相交根根据据截截平平面面与与圆圆锥锥面面轴轴线线的的相相对对于于位位置置不不同同，其截交线有五种形状，见表其截交线有五种形状，见表5-2所示所示 平面与圆锥体表面相交，可以得到平面与圆锥体表面相交，可以得到五种截交线五种截交线 表表5-2 5-2 圆锥体的截交线圆锥体的截交线 动画动画动画动画动画动画动画动画动画动画 1.1.截交线为椭截交线为椭圆圆，其水平和侧面，其水平和侧面两投影均为椭圆；两投影均为椭圆；2.2.求出截交线求出截交线上的各上的各特殊点特殊点A、B、C、D D、E、F F；3.3.求出求出一般点一般点、；4.4.光滑光滑且且顺次连接顺次连接各点，作出截交线，各点，作出截交线，并且并且判别可见性；判别可见性；aabbe(f)febefc(d)cd1(2)12例例5-6:5-6:已知圆锥被正垂面已知圆锥被正垂面P截切，完成截交线的水平投影截切，完成截交线的水平投影并画出其侧面投影。（书并画出其侧面投影。（书91页）页）21图5-18解题步骤：解题步骤：5.5.补全轮廓线补全轮廓线。dca分析分析:截交线的正面投影为双曲线截交线的正面投影为双曲线作图作图:1.1.求特殊点的投影。求特殊点的投影。（最高点、最低点）（最高点、最低点）2.求一般点的投影。求一般点的投影。3.连线。连线。【例例5-75-7】如图所示，圆锥被一正平面截切，补全如图所示，圆锥被一正平面截切，补全截交线的正面投影。截交线的正面投影。3.3.平面与圆球相交平面与圆球相交截截交交线线总总是是圆圆，截截平平面面通通过过球球心心时时，截截交交线线圆圆直直径径最最大大。截平面距离球心的距离越远，截交线圆的直径越小。截平面距离球心的距离越远，截交线圆的直径越小。投影分析：投影分析：截截平平面面P P的的位位置置不不同同，截截交交线线圆圆的的位位置置也也不不同同，当当截截交交线线圆圆与与投投影影面面平平行行、倾倾斜斜和和垂垂直直时时，其其投投影影分分别别是是圆圆、椭椭圆和直线。圆和直线。(a)(b)(c)图图5-20 5-20 求圆球截交线的水平投影求圆球截交线的水平投影【例例5-85-8】求正垂面求正垂面P P与圆球的截交线。与圆球的截交线。(1)(1)分析：水平面截切圆球，分析：水平面截切圆球，截交线在俯视图上为圆弧，截交线在俯视图上为圆弧，在左视图上积聚为直线在左视图上积聚为直线 两个侧平面截切圆球，两个侧平面截切圆球，截交线在左视图上为部分圆截交线在左视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线弧，在俯视图上积聚为直线保留动画 【例例5-95-9】已知一半圆球在一个水平面，两个侧平面的截切已知一半圆球在一个水平面，两个侧平面的截切后形成带切口槽的半球，求它的水平和侧面投影。后形成带切口槽的半球，求它的水平和侧面投影。5-21(a)5-21(b)动画动画4.4.平面与同轴平面与同轴组合组合回转体相交回转体相交 1.分析该立体是由哪些基本立体组成；分析该立体是由哪些基本立体组成；2.分分析析截截平平面面与与每每个个基基本本立立体体的的相相对对位位置置、截交线的形状和投影特性；截交线的形状和投影特性；3.画画出出每每个个基基本本立立体体的的截截交交线线，并并注注意意相相邻邻部分的连接。部分的连接。【例例5-105-10】如如图图5-225-22所所示示，求求作作组组合合回回转转体体截截切切后后的水平投影。的水平投影。(a)(b)图图5-22 5-22 平面与组合回转体相交平面与组合回转体相交作图：作图：作出立体截切前的水平投影。作出立体截切前的水平投影。作作P与锥面的截交线。与锥面的截交线。该该截截交交线线的的最最左左点点E是是圆圆锥锥正正面面轮轮廓廓线线与与P的的交交点点，其其正正面面投影投影e和侧面投影和侧面投影e可直接得到，并可求出水平投影可直接得到，并可求出水平投影e。A、B两两点点是是圆圆锥锥底底圆圆与与P的的交交点点(也也是是与与小小圆圆柱柱面面上上截截交交线线的的连连接接点点)，其其正正面面投投影影a、b和和侧侧面面投投影影a、b也也可可直直接得到，由此求出水平投影接得到，由此求出水平投影a、b。在在正正面面投投影影取取一一对对重重影影点点c、d，利利用用侧侧平平的的辅辅助助圆圆求求出出侧侧面面投投影影c、d，进进而而求求出出水水平平投投影影c、d。依依次次连连接接a、c、e、d、b即得该段截交线的水平投影。即得该段截交线的水平投影。作作P P面面与与大大、小小圆圆柱柱面面的的截截交交线线。P P面面与与大大、小小圆圆柱柱面面的的截截交交线线均均为为侧侧垂垂线线。正正面面投投影影与与p p重重合合，侧侧面面分分别别积积聚聚在在大大、小圆上，而水平投影为分别过连接点的水平线。小圆上，而水平投影为分别过连接点的水平线。作作Q Q与与大大圆圆柱柱面面的的截截交交线线。该该段段截截交交线线的的最最右右点点(也也是是最最高高点点)H)H是是圆圆柱柱正正面面轮轮廓廓线线与与Q Q的的交交点点，其其正正面面投投影影hh和和侧侧面面投投影影hh可可直直接接得得到到，并并可可求求出出水水平平投投影影h h。F F、G G两两点点是是P P面面与与Q Q面面交交线线与与大大圆圆柱柱面面的的交交点点(是是大大圆圆柱柱体体上上Q Q面面与与P P面面截截交交线线的的连连接接点点)，其其正正面面投投影影f f、gg和和侧侧面面投投影影f f 、g g 也也可可直直接接得得到到，由由此此求求出出水水平平投投影影f f、g g。在在正正面面投投影影取取一一对对重重影影点点ii、jj，然然后后求求出出侧侧面面投投影影ii、jj，进进而而求求出出水水平平投投影影i i、j j。依依次次次次连连接接f f、i i、h h、j j、g g即即得得该该段段截截交交线线的的水水平平投影。投影。注注意意圆圆锥锥与与圆圆柱柱之之间间以以及及大大、小小圆圆柱柱之之间间的的交交线线的的下下半半部部分分的水平投影为虚线。的水平投影为虚线。(c)图图5-22 5-22 平面与组合回转体相交平面与组合回转体相交(d)图图5-22 5-22 平面与组合回转体相交平面与组合回转体相交5.4 5.4 立体表面相交线的投影立体表面相交线的投影两立体相交称为相贯，其表面的交线称为两立体相交称为相贯，其表面的交线称为相贯线相贯线。5.4.1 5.4.1 相贯线的主要性质相贯线的主要性质:1 1）共有性：）共有性：相贯线是两立体表面的共有线；相贯线是两立体表面的共有线；2 2）分界性：）分界性：相贯线两立体表面的分界线；相贯线两立体表面的分界线；3)3)封闭性：封闭性：相贯线一般是封闭的相贯线一般是封闭的空间空间曲线，特曲线，特殊情况下为平面曲线或直线；殊情况下为平面曲线或直线；其作图实质：其作图实质：是找出相贯的两立体表面的若干是找出相贯的两立体表面的若干共有点共有点的投影的投影5.4.2 5.4.2 立体相贯的形式立体相贯的形式1.1.两平面立体相贯两平面立体相贯实质是实质是平面与平面立体相交；平面与平面立体相交；2.2.平面立体与曲面立体相贯平面立体与曲面立体相贯实质是实质是平面与曲面立平面与曲面立 体相交；体相交；3.3.两曲面立体相交：？两曲面立体相交：？两回转体相贯，其两回转体相贯，其相贯线的形状取决于两相贯线的形状取决于两回转体各自的形状、大小和相对位置回转体各自的形状、大小和相对位置。一般。一般情况下，相贯线是封闭的空间曲线，在特殊情况下，相贯线是封闭的空间曲线，在特殊情况下，可能不封闭，也可能是平面曲线或情况下，可能不封闭，也可能是平面曲线或直线。直线。5.4.3 5.4.3 两回转体表面相交两回转体表面相交5.4.4 5.4.4 相贯线产生形式相贯线产生形式相贯线有三种产生形式：相贯线有三种产生形式：(1)(1)外表面相贯，如图外表面相贯，如图5-23(a)5-23(a)所示。所示。(2)(2)表面与外表面相贯，如图表面与外表面相贯，如图5-23(b)5-23(b)所示。所示。(3)(3)两内表面相贯，如图两内表面相贯，如图5-23(c)5-23(c)所示。所示。从图中可以看出，虽然它们的形式不同，但相贯从图中可以看出，虽然它们的形式不同，但相贯线是一样的线是一样的。曲面立体相贯的三种基本形式曲面立体相贯的三种基本形式1.1.两外表面两外表面相交相交图图5-23 5-23 两正交圆柱相贯线的形式两正交圆柱相贯线的形式2.2.外表面外表面与与内表面内表面相交相交观看动画观看动画3.3.两内表面两内表面相交相交5.4.5 5.4.5 相贯线的变化相贯线的变化两两相相贯贯立立体体相相对对大大小小的的变变化化将将影影响响相相贯贯线线的的形形状状(见见下下页页。图图5-245-24），表表明明了了两两正正交交圆圆柱柱的的直直径径大大小小的的变变化化对对相相贯贯线线的影响。的影响。从从相相贯贯线线非非积积聚聚性性的的投投影影图图中中可可以以看看出出，相相贯贯线线的的弯弯曲曲方方向向总总是是朝朝向向较较大大直直径径的的圆圆柱柱的的轴轴线线，如如图图5-24(a)5-24(a)、(e)(e)所所示示；当当两两圆圆柱柱的的直直径径相相等等时时(即即共共切切于于一一个个圆圆球球时时)，相相贯贯线变为两椭圆线变为两椭圆(投影为交叉直线投影为交叉直线)，如图如图5-24(c)5-24(c)所示。所示。(a)(b)(c)(d)(e)图图5-24 5-24 两正交圆柱相贯线的变化规律两正交圆柱相贯线的变化规律 单击此处观看动画单击此处观看动画两正交圆柱相贯线的变化规律两正交圆柱相贯线的变化规律 求相贯线的步骤：求相贯线的步骤：1.1.先先求求出出能能确确定定相相贯贯线线形形状状和和范范围围的的特特殊殊点点，如如最最高高、最最低低、最最左左、最最右右、最最前前、最最后后点点，可可见见与不可见的分界点与不可见的分界点等等;2.2.再再求求出出若若干干中中间间点点，最最后后将将这这些些点点连连成成光光滑滑曲曲线线;3.3.判别可见性。判别可见性。求共有点的方法有：求共有点的方法有：利用积聚性法利用积聚性法和和辅助平面法辅助平面法。如如果果相相贯贯的的回回转转体体是是轴轴线线垂垂直直于于投投影影面面的的圆圆柱柱面面，则则圆圆柱柱面面的的一一个个投投影影具具有有积积聚聚性性，即即相相贯贯线线的的投投影影在在这这个个有有积积聚聚性性的的投投影影上上。利利用用两两个个积积聚聚性性的的投投影影，可可以以确确定定第第三三个个投投影影，从从而而作作出相贯线的投影。出相贯线的投影。5.4.6 5.4.6 利用两个积聚性投影作相贯线利用两个积聚性投影作相贯线例例5-115-11已已知知两两圆圆柱柱正正交交，求求作作它它们们相相贯贯线线的的投投影影，如图如图5-25(a)5-25(a)所示所示YYYY12121(2)343(4)78655(7)6(8)7(8)5(6)436 65 53 34 48 87 71 12 2交线的投影分析结论交线的投影分析结论：交线在水平交线在水平面和侧面上有积面和侧面上有积聚性且已知，在聚性且已知，在正面上未知。正面上未知。已知交线的两已知交线的两面投影求第三面投面投影求第三面投影，可利用交线的影，可利用交线的积聚性求得。积聚性求得。(a)(b)作图步骤：作图步骤：投影及交线分析投影及交线分析求特殊位置点求特殊位置点求一般位置点求一般位置点判断可见性并光滑判断可见性并光滑连接各点连接各点5.4.7 5.4.7 辅助平面法辅助平面法辅辅助助平平面面法法就就是是利利用用三三面面共共点点的的原原理理求求相相贯贯线线上上的的一一系系列列的的点点，即即假假想想用用一一个个辅辅助助平平面面截截切切两两相相贯贯回回转转体体，得得两两条条截截交交线线，两两截截交交线线的的交交点点，即即为为两两相相贯贯立立体体表表面面共共有有的的点点，也是辅助平面上的点。也是辅助平面上的点。为了能方便地作出相贯线上的点，为了能方便地作出相贯线上的点，选用特殊位置平面选用特殊位置平面(一般为投影面的一般为投影面的平行面平行面)作为辅助平面，并使辅助平作为辅助平面，并使辅助平面与两回转体交线为面与两回转体交线为直线或圆直线或圆。P例例5-12 5-12 求圆柱与半球的相贯线，立体如图所示。求圆柱与半球的相贯线，立体如图所示。1投影及交线分析投影及交线分析作图步骤：作图步骤：(求一般位置点求一般位置点)判断可见性并光判断可见性并光 滑滑 连接各点连接各点求特殊位置点求特殊位置点PV2R1YYYYYYYY1投影及交线分析投影及交线分析作图步骤：作图步骤：求一般位置点求一般位置点判断可见性并判断可见性并光光 滑连接各点滑连接各点求特殊位置点求特殊位置点交线的投影分析结论：交线的投影分析结论：交线的投影在三个投影面上都没有积聚性且都未知。解题方法：解题方法：辅助平面法22112PV13443R26565123 3465r25(6)3(4)1(b)(c)图5-26 求作圆柱与圆台的相贯线求圆台与半球的相贯线求圆台与半球的相贯线【例例5-135-13】求轴线正交的圆柱与圆台的相贯线，求轴线正交的圆柱与圆台的相贯线，如图如图5-27(a)5-27(a)所示。所示。(a)(b)(c)(d)图5-27求圆柱和圆锥的相贯线 5.4.8 5.4.8 相贯线的特殊情况相贯线的特殊情况在在一一般般情情况况下下，两两回回转转体体的的相相贯贯线线是是封封闭闭空空间间曲曲线线，但但在在特特殊殊情情况况下下，也也可可能能是是平平面面曲曲线线或或直线或不封闭。下面介绍几种相贯线特殊情况：直线或不封闭。下面介绍几种相贯线特殊情况：(a)(1)两轴线平行两轴线平行共底共底的圆柱相交，其相贯线是两条的圆柱相交，其相贯线是两条平行于轴线的直线和一条圆弧，不封闭，如图所平行于轴线的直线和一条圆弧，不封闭，如图所示。示。5-28(a)5-28(a)动画动画(2)(2)两两共锥顶共底共锥顶共底的圆锥相交，其相贯线为两相的圆锥相交，其相贯线为两相交直线，不封闭，如图所交直线，不封闭，如图所示。示。5-5-28(b)28(b)(3)同轴回转体相交，其相贯线为垂直于轴同轴回转体相交，其相贯线为垂直于轴线的圆，如图所示。线的圆，如图所示。5-295-29动画动画（类似）（类似）(a)(b)图5-30 相贯线为两相交椭圆(4)两两相相交交回回转转体体共共内内切切球球时时，其其相相贯贯线线为为两两相相交交椭圆，如图椭圆，如图5-305-30所示。所示。观看动画观看动画观看动画观看动画5.4.9 5.4.9 多个立体的相贯线多个立体的相贯线 除除了了上上述述两两个个立立体体相相贯贯外外，有有些些机机件件由由多多个个基基本本立立体体构构成成，它它们们的的每每段段相相贯贯线线都都是是两两个个基基本本立立体体表表面面的的交交线线，而而两两条条相相贯贯线线的的连连接接点点是是三三个个立立体表面的共有点体表面的共有点。n画图时必须注意画图时必须注意分析各个基本立体分析各个基本立体的形状、相对位置的形状、相对位置及它们之间的相交及它们之间的相交情况，应用相贯线情况，应用相贯线的基本作图方法，的基本作图方法，逐一作出各相贯线逐一作出各相贯线的投影。的投影。(a)(b)【例例5-14】完完成成组组合合相相贯贯线线的的正正面面投投影影及及水水平平投投影影，如如图图5-31(a)所示。所示。(c)(d)图图5-31 5-31 完成组合相贯线的正面投影及水平投影完成组合相贯线的正面投影及水平投影5.4.10 5.4.10 相贯线的简化画法相贯线的简化画法当当两两个个正正交交圆圆柱柱的的直直径径相相差差较较大大时时，其其相相贯贯线线可可用用圆圆弧弧代代替替。计计算算机机绘绘图图:过过三三点点画画圆圆弧弧)，并向大圆柱的轴线方向弯曲，如图并向大圆柱的轴线方向弯曲，如图5-325-32所示。所示。图图5-32 5-32 相贯线的近似画法相贯线的近似画法