第6章参数估计.pptx

第六章第六章 参数估计参数估计点估计问题概述点估计问题概述 点估计的常用点估计的常用方法方法置信区间置信区间正态总体的正态总体的置信置信区间区间6.1 点估计问题概述点估计问题概述(P131)一、点估计的概念一、点估计的概念问题的提出：已知总体问题的提出：已知总体X的分布函数的分布函数F(x;1,2,k)，其中其中1,2,k是未知参数。是未知参数。点估计：由总体的样本点估计：由总体的样本(X1,X2,Xn)对每一个未知参数对每一个未知参数i(i=1,2,k)构造统计量构造统计量作为参数作为参数i的估计，称的估计，称为为参数参数i的估计量的估计量。样本样本(X1,X2,Xn)的一组取值的一组取值(x1,x2,xn)称为称为样本观察样本观察值值，将其代入估计量，将其代入估计量，得到数值，得到数值称为称为参数参数i的估计值的估计值。在不致混淆的情况下，估计量、估计值统称在不致混淆的情况下，估计量、估计值统称点估计点估计，记为记为 。二、评价估计量的标准二、评价估计量的标准（P132）1、无偏性、无偏性估计量估计量的观察或试验的结果，估计值可能较真实的参数值偏大的观察或试验的结果，估计值可能较真实的参数值偏大或偏小，而一个好的估计量不应总是偏大或偏小，在多或偏小，而一个好的估计量不应总是偏大或偏小，在多次试验中所得的估计量的平均值应与真实参数吻合，这次试验中所得的估计量的平均值应与真实参数吻合，这就是无偏性所要求的。就是无偏性所要求的。是一个随机变量，对一次具体是一个随机变量，对一次具体定义定义是是 的一个估计量，如果的一个估计量，如果 有有则称则称是是 的一个无偏估计的一个无偏估计。如果如果不是无偏的，就称不是无偏的，就称该估计是有偏的该估计是有偏的。称称为用为用估计估计 而产生而产生的的系统偏差系统偏差。例例6.1 设总体设总体X的的k阶矩存在，则不论阶矩存在，则不论X的分布如何，样的分布如何，样本本k阶原点矩阶原点矩是总体是总体k阶原点矩的无偏估计阶原点矩的无偏估计。证明证明设设X的的k阶原点矩阶原点矩 k=E(Xk)，k1(X1,X2,Xn)是来自总体是来自总体X的一个样本，则的一个样本，则所以所以Ak是是k的无偏估计的无偏估计.（2）样本方差）样本方差S2 是总体方差是总体方差2的无偏估计量；的无偏估计量；定理定理1（P132）总体总体X的均值为的均值为，方差为方差为2，(X1,X2,Xn)是取自是取自X的一个样本，的一个样本，与与S2 分分别为该样本的样本均值与样本方差，则有别为该样本的样本均值与样本方差，则有（1）样本均值）样本均值 为总体均值为总体均值的无偏估计量；的无偏估计量；（3）样本二阶中心矩）样本二阶中心矩 是总体方差是总体方差2的有偏估计量；的有偏估计量；二、有效性二、有效性(P134)对于参数对于参数 的无偏估计量，其取值应在真值附近波动，的无偏估计量，其取值应在真值附近波动，我们希望它与真值之间的偏差越小越好。我们希望它与真值之间的偏差越小越好。定义定义 设设均为未知参数均为未知参数 的无偏估计量，若的无偏估计量，若则称则称比比有效。有效。在在 的所有无偏估计量中，若的所有无偏估计量中，若估计量，则称估计量，则称是具有最小方差的无偏是具有最小方差的无偏显然也是最有效的无偏估计量，简称显然也是最有效的无偏估计量，简称有效估计量有效估计量。阅读阅读P134/例例3为为一致最小方差无偏估计量。一致最小方差无偏估计量。由于由于现用它来估计未知参数现用它来估计未知参数，故称这种估计为故称这种估计为点估计点估计。是实数域上的一个点，是实数域上的一个点，点估计的经典方法是：点估计的经典方法是：(1)矩估计法矩估计法 (2)极大似然估计法极大似然估计法一、矩估计法一、矩估计法(简称简称“矩法矩法”)英国统计学家皮尔逊英国统计学家皮尔逊(K.pearson)提出提出1、矩法的基本思想：、矩法的基本思想：以样本矩作为相应的总体同阶矩的估计；以样本矩作为相应的总体同阶矩的估计；以样本矩的函数作为相应的总体矩的同一函数的估计。以样本矩的函数作为相应的总体矩的同一函数的估计。6.2 点估计的常用方法点估计的常用方法(P136)2、矩法的步骤：、矩法的步骤：设总体设总体X的分布为的分布为F(x;1,2,k)，其中，其中k个参数个参数1,2,k待估计，待估计，(X1,X2,Xn)是一个样本是一个样本。(1)计算总体分布的计算总体分布的i 阶原点矩阶原点矩E(Xi)=i(1,2,k)，i=1,2,k，(计算到计算到k阶矩为止，阶矩为止，k个参数个参数)；(2)列方程列方程从中解出方程组的解，记为从中解出方程组的解，记为则则分别为分别为参数参数1,2,k的矩估计。的矩估计。例例6.2 设总体设总体X的均值为的均值为，方差为方差为2，均未知。，均未知。(X1,X2,Xn)是总体的一个样本，求是总体的一个样本，求和和2的矩估计。的矩估计。解解解得矩法估计量为解得矩法估计量为注注：例例6.3 设总体设总体XP()，求求的矩估计。的矩估计。解解:例例6.4 设设(X1,X2,Xn)来自来自X的一个样本，且的一个样本，且求求a,b的矩估计。的矩估计。解：解：XU(a,b)，解得矩估计为解得矩估计为矩估计法的优点矩估计法的优点：计算简单；：计算简单；矩估计法的缺点矩估计法的缺点：(1)矩法估计有时会得到不合理的矩法估计有时会得到不合理的解；解；(2)求矩法估计时，不同的做法会得到不同的解；求矩法估计时，不同的做法会得到不同的解；(故通常规定：在求矩法估计时，要尽量使用低阶矩故通常规定：在求矩法估计时，要尽量使用低阶矩)如例如例6.2中，不是用中，不是用1阶矩，而是用阶矩，而是用2阶矩阶矩与与不同不同(3)总体分布的矩不一定存在，所以矩法估计不一定总体分布的矩不一定存在，所以矩法估计不一定有解。有解。例例二、极大似然估计法二、极大似然估计法(R.A.Fisher费歇费歇)(p138)(p138)例例6.5 设总体设总体X服从服从01分布，即分布律为分布，即分布律为x=0,1，其中其中00未知，未知，求求的极大似然估计量。的极大似然估计量。解解 总体总体X的分布律为的分布律为x=0,1,2,设设(x1,x2,xn)为样本为样本(X1,X2,Xn)的一个观察值，的一个观察值，似然函数似然函数对数似然函数对数似然函数是是的极大似然估计值，的极大似然估计值，故故的极大似然估计量为的极大似然估计量为所以所以例例6.7 设设(X1,X2,Xn)是来自正态总体是来自正态总体XN(,2)的一个的一个样本，样本，,2未知，求未知，求,2的极大似然估计。的极大似然估计。解解 设设(x1,x2,xn)为样本为样本(X1,X2,Xn)的一个观察值，则的一个观察值，则似然函数为似然函数为解得解得所以所以,2的极大似然估计量分别为的极大似然估计量分别为思考思考：当：当已知已知时，时，例例6.8 设设XN(,2)，其中其中,2未知，问未知，问,2的极大似的极大似然估计是否为然估计是否为,2的无偏估计？若不是，请修正使它的无偏估计？若不是，请修正使它成为无偏估计。成为无偏估计。解解 设设(X1,X2,Xn)是取自总体是取自总体X的一个样本，由例的一个样本，由例6.6知知是是的无偏估计的无偏估计不是不是2的无偏估计，而的无偏估计，而为为2的无偏估计。的无偏估计。6.3 置信区间置信区间(P141)上一节中，我们讨论了参数的点估计，只要给定上一节中，我们讨论了参数的点估计，只要给定样本观察值，就能算出参数的估计值。但用点估计的样本观察值，就能算出参数的估计值。但用点估计的方法得到的估计值不一定是参数的真值，即使与真值方法得到的估计值不一定是参数的真值，即使与真值相等也无法肯定这种相等（因为总体参数本身是未知相等也无法肯定这种相等（因为总体参数本身是未知的），也就是说，由的），也就是说，由点估计得到的参数估计值没有给点估计得到的参数估计值没有给出它与真值之间的可靠程度，在实际应用中往往还需出它与真值之间的可靠程度，在实际应用中往往还需要知道参数的估计值落在其真值附近的一个范围。要知道参数的估计值落在其真值附近的一个范围。为为此我们要求由样本构造一个以较大的概率包含真实参此我们要求由样本构造一个以较大的概率包含真实参数的一个范围或区间，这种带有概率的区间称为数的一个范围或区间，这种带有概率的区间称为置信置信区间区间，通过构造一个置信区间对未知参数进行估计的，通过构造一个置信区间对未知参数进行估计的方法称为方法称为区间估计区间估计。一、置信区间的概念一、置信区间的概念（P141）定义定义 设总体设总体X的分布函数族为的分布函数族为F(x;),，对对于给定的于给定的(01)，如果有两个统计量如果有两个统计量使得使得对一切对一切成立，则称随机区间成立，则称随机区间是是的置信度为的置信度为1-双侧置信区间，双侧置信区间，1-称为称为置信度（置信置信度（置信水平）水平），称为称为双侧置信下限双侧置信下限；称为称为双侧置信下限双侧置信下限。由定义可知，置信区间是以统计量为端点的随机区间，对于给定由定义可知，置信区间是以统计量为端点的随机区间，对于给定的样本观察值的样本观察值(x1,x2,xn)，由统计量，由统计量构成的置信区间构成的置信区间可能包含真值可能包含真值，也可能不包含真值，也可能不包含真值，但在多次观察或试验中，但在多次观察或试验中，每一个样本皆得到一个置信区间，在这些区间中包含真值每一个样本皆得到一个置信区间，在这些区间中包含真值的区的区间占间占100(1-)%，不包含不包含的仅占的仅占100%。例例6.9（P143/例1）设设(X1,X2,Xn)是取自总体是取自总体XN(,2)的一个的一个样本，其中样本，其中2已知，已知，未知。试求出未知。试求出的置信度为的置信度为1-的置信区间。的置信区间。解解 由于样本均值由于样本均值是总体均值是总体均值的无偏估计，且的无偏估计，且故统计量故统计量由标准正态分布的双侧由标准正态分布的双侧 分位数的定义可知分位数的定义可知即即落在区间落在区间内的概率为内的概率为1-。此区间称为此区间称为的置信度为的置信度为1-的置信区间的置信区间。-u/2 O u/2 x(x)/2/21-二、求置信区间的解题步骤二、求置信区间的解题步骤（P142）从此例我们发现随机变量从此例我们发现随机变量U在区间的构造中起着关键的在区间的构造中起着关键的作用，它具有下述特点：作用，它具有下述特点：(1)U是待估参数是待估参数和统计量和统计量(2)不含其它未知参数；不含其它未知参数；(3)服从与未知参数无关的已知分布。服从与未知参数无关的已知分布。求置信区间的一般步骤（见求置信区间的一般步骤（见P142）的函数；的函数；6.4 正态总体参数置信区间正态总体参数置信区间(P146)求正态总体参数置信区间的解题步骤：求正态总体参数置信区间的解题步骤：(1)根据实际问题构造样本的函数，根据实际问题构造样本的函数，要求仅含待估参要求仅含待估参数且分布已知数且分布已知；(2)令该令该函数落在由分位点确定函数落在由分位点确定的区间里的概率为的区间里的概率为给给定的置信度定的置信度1，要求要求区间按几何对称或概率对称区间按几何对称或概率对称；(3)解不等式得随机的置信解不等式得随机的置信区间；区间；(4)由观测值及由观测值及 值查表计算得所求值查表计算得所求置信置信区间。区间。一、单正态总体一、单正态总体N(,2)的均值的均值的置信区间的置信区间1、方差、方差2已知已知（P143)由例由例6.9可知可知则则置信度为置信度为1-的的的置信区间为的置信区间为(见见P121/定理定理1(2)2、方差、方差2未知未知（P144）由于由于方差方差2未知，不能使用未知，不能使用作为统计量作为统计量用用的无偏估计量的无偏估计量代替代替,则有则有(见见P121/定理定理3(2)则则的置信度为的置信度为1-的置信区间的置信区间为为例例6.10 已知某批灯泡的寿命已知某批灯泡的寿命X(单位单位:小时小时)N(,2)，现从这现从这批灯泡中抽取批灯泡中抽取10个，测得寿命分别为个，测得寿命分别为1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200若若=0.05，求求的置信区间。的置信区间。(1)2=8，(2)未知。未知。解解(1)由于由于2=8，由样本观察值计算得，由样本观察值计算得n=10，=0.05查查标准正态分布表标准正态分布表得得的置信度为的置信度为0.95的置信区间为（的置信区间为（1145.25，1148.75）。）。(2)由于由于2未知，由样本观察值计算得未知，由样本观察值计算得S=87.0568,n=10,=0.05，查查t分布表得分布表得的置信度为的置信度为0.95的置信区间为（的置信区间为（1084.72，1209.28）。）。（只考虑均值（只考虑均值未知情况下）（未知情况下）（p146)此时此时2的无偏估计为样本方差的无偏估计为样本方差且且二、单正态总体二、单正态总体N(,2)的方差的方差2的置信区间的置信区间则则2的置信度为的置信度为1-的置信区间为的置信区间为(见见P121/定理定理2(1)并且并且的置信度为的置信度为1-的置信区间的置信区间为为例例6.11 为测定某家具中的甲醛含量，取得为测定某家具中的甲醛含量，取得4个独立的测量值的个独立的测量值的样本，并算得样本均值为样本，并算得样本均值为8.34%，样本标准差为，样本标准差为0.03%，设被测，设被测总体近似服从正态分布，总体近似服从正态分布，=0.05，求求,2的置信区间的置信区间。解解 由题意：由题意：n=4，S=0.03%，对于对于，由于，由于2未知，查未知，查t分布表得分布表得的置信度为的置信度为0.95的置信区间为（的置信区间为（8.2923%，8.3877%）。）。对于对于2，由于，由于未知，未知，查查2分布表分布表则则2的置信度为的置信度为0.95的置信区间为（的置信区间为（0.0002910-4，.012510-4）。）。