重积分94.pptx

1重积分在几何上的应用重积分在几何上的应用重积分在物理上的应用重积分在物理上的应用小结小结 思考题思考题 作业作业 第四节第四节 重积分的应用重积分的应用第九章第九章 重积分重积分2一、重积分在几何上的应用一、重积分在几何上的应用1.平面区域的面积平面区域的面积设有平面区域设有平面区域D,2.体积体积 设曲面方程为设曲面方程为则则D上的曲顶柱体体积为上的曲顶柱体体积为:则其面积为则其面积为:重积分的应用重积分的应用 把定积分的元素法推广到重积分的应用中把定积分的元素法推广到重积分的应用中.占有占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为的立体的体积为:3(1)设曲面设曲面S的方程为：的方程为：如图如图,3.曲面的面积曲面的面积设小区域设小区域则有则有母线平行于母线平行于z轴的小柱面轴的小柱面,在在xOy面上的投影区域为面上的投影区域为D,重积分的应用重积分的应用4曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面曲面S的面积公式的面积公式重积分的应用重积分的应用5(3)设曲面的方程为设曲面的方程为曲面面积公式曲面面积公式曲面面积公式曲面面积公式(2)设曲面的方程为设曲面的方程为曲面面积公式曲面面积公式(1)设曲面设曲面S的方程为的方程为重积分的应用重积分的应用6解解求球面求球面含在圆柱体含在圆柱体内部的那部分面积内部的那部分面积.例例由对称性知由对称性知 第一挂限图形第一挂限图形 曲面方程曲面方程D1重积分的应用重积分的应用于是于是,曲面面积元素为曲面面积元素为7D1极极坐坐标标重积分的应用重积分的应用8例例因曲面方程为因曲面方程为所以所以,oxzyD解解截下的截下的有限曲面片有限曲面片的面积的面积.被柱面被柱面求曲面求曲面a重积分的应用重积分的应用13 1989年研究生考题年研究生考题,计算计算,9分分例例解解 由于球为中心对称图形由于球为中心对称图形,解得解得问问:R取何值取何值,重积分的应用重积分的应用设半径为设半径为R的球面的球面的球心在定球面的球心在定球面球面球面 在定球面内部的那部分面积最大在定球面内部的那部分面积最大?不妨设球面不妨设球面 的方程为的方程为:因为是求球面因为是求球面 在定球面内部在定球面内部的面积的面积,故由方程故由方程14面积元素是面积元素是又由又由令令重积分的应用重积分的应用即得出球面即得出球面 在定球面内部的在定球面内部的那部分在那部分在xOy面上的投影区域面上的投影区域15 所以所以极极坐坐标标所以所以,重积分的应用重积分的应用球面球面 在定球面内部的面积设为在定球面内部的面积设为A,则则16二、重积分在物理上的应用重积分在物理上的应用1、质心、质心质点系的总质量质点系的总质量对对x轴的静矩轴的静矩则该质点系的质心的坐标为则该质点系的质心的坐标为它们分别位于它们分别位于质量分别为质量分别为重积分的应用重积分的应用(1)平面薄片的质心平面薄片的质心对对y轴的静矩轴的静矩设设xOy平面上有平面上有n个质点个质点,17由元素法由元素法:所以所以,设有一平面薄片设有一平面薄片,占有占有xOy面上的闭区域面上的闭区域D,在点在点(x,y)处处的面密度为的面密度为假定假定在在D上连续上连续,平面薄片的质心平面薄片的质心薄片中相应于薄片中相应于的部分的质量近似等于的部分的质量近似等于这部分质量可近似看作集中在点这部分质量可近似看作集中在点(x,y)上上,于是可写出静矩元素于是可写出静矩元素:重积分的应用重积分的应用18注注所以所以,薄片的质心坐标为薄片的质心坐标为当薄片是当薄片是均匀均匀的的,质心称为质心称为重积分的应用重积分的应用形心形心.平面的面积平面的面积.19设物体占有空间域设物体占有空间域 ,有连续密度函数有连续密度函数则其质心坐标为则其质心坐标为常数常数时时,则得则得形心形心坐标坐标物体的体积物体的体积.重积分的应用重积分的应用(2)物体的质心物体的质心 当物体是当物体是均匀均匀的的,其中其中1、质心、质心20例例 求位于两圆求位于两圆之间的之间的均匀均匀薄片的质心薄片的质心.解解 薄片关于薄片关于x轴对称轴对称.则则质心质心重积分的应用重积分的应用21一个炼钢炉为旋转体形一个炼钢炉为旋转体形,剖面剖面壁线的方程为壁线的方程为若炉内储有高为若炉内储有高为h的均质钢液的均质钢液,不计不计由由对称性对称性知质心在知质心在 z 轴上，轴上，炉壁方程为炉壁方程为故故炉体的自重炉体的自重,求它的质心求它的质心.重积分的应用重积分的应用例例解解22重积分的应用重积分的应用质心为质心为23(1)平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量重积分的应用重积分的应用2、转动惯量转动惯量设平面薄片占有平面区域设平面薄片占有平面区域D,则转动惯量为则转动惯量为有连续密度函数有连续密度函数24设物体占有空间区域设物体占有空间区域 ,重积分的应用重积分的应用(2)物体的转动惯量物体的转动惯量2、转动惯量转动惯量则转动惯量为则转动惯量为有连续的密度函数有连续的密度函数25重积分的应用重积分的应用例例解解设一设一均匀均匀的直角三角形薄板的直角三角形薄板,两直角边长分别两直角边长分别求这三角形对任一直角边的转动惯量求这三角形对任一直角边的转动惯量.为为a、b,设三角形的两直角边分别设三角形的两直角边分别在在x轴和轴和y轴上轴上(如图如图)对对y轴轴的转动惯量为的转动惯量为对对x轴轴的转动惯量为的转动惯量为26用用元素法元素法求求薄片对薄片对z轴上的单位质点的引力轴上的单位质点的引力引力在三个坐标轴上的投影引力在三个坐标轴上的投影 重积分的应用重积分的应用3 3、引力、引力(1)平面薄片对质点的引力平面薄片对质点的引力设有一平面薄片设有一平面薄片,占有占有xOy面上的闭区域面上的闭区域D,在点在点(x,y)处处的面密度为的面密度为假定假定在在D上连续上连续,计算该平面薄片对位于计算该平面薄片对位于z轴上的点轴上的点处的处的单位质点单位质点的引力的引力.元素元素.薄片中薄片中 的大小近似地为的大小近似地为的部分对该质点的引力的部分对该质点的引力27引力的引力的方向方向方向余弦方向余弦 薄片中薄片中 上的投影上的投影 的元素的元素:重积分的应用重积分的应用 薄片中薄片中 的的大小大小近似地为近似地为的部分对该质点的引力的部分对该质点的引力 的对该质点的引力在三个坐标轴的对该质点的引力在三个坐标轴28k为引力常数为引力常数.重积分的应用重积分的应用29重积分的应用重积分的应用3、引力、引力(2)物体对质点的引力物体对质点的引力设物体占有空间区域设物体占有空间区域,物体对于物体外一点物体对于物体外一点利用利用元素法元素法,有连续有连续分布分布的密度的密度引力元素在三坐标轴上的投影分别引力元素在三坐标轴上的投影分别空间一物体对于物体外一点空间一物体对于物体外一点处的处的单位质量单位质量的质点的引力的质点的引力.函数函数的单位质量的质点的引力的单位质量的质点的引力为为30重积分的应用重积分的应用在在 上分别积分上分别积分,得得31重积分的应用重积分的应用设有面密度为常量设有面密度为常量,半径为半径为R的均匀圆的薄片的均匀圆的薄片求它对位于点求它对位于点 由由对称性对称性知知处的单位质量质点的引力处的单位质量质点的引力.例例解解引力为引力为极坐标极坐标32求密度求密度 为常数的半圆环为常数的半圆环:对原点一单位质点的引力对原点一单位质点的引力.答案答案:重积分的应用重积分的应用引力引力为为33几何应用几何应用平面薄片、空间物体的平面薄片、空间物体的质心质心平面薄片、空间物体平面薄片、空间物体对质点的对质点的引力引力 平面的面积平面的面积物理应用物理应用三、小结三、小结重积分的应用重积分的应用曲面的面积曲面的面积体积体积平面薄片、空间物体的平面薄片、空间物体的转动惯量转动惯量 34作业作业习题习题9-49-4(116(116页页)2.3.4.(1)(3)6.7.(1)8.重积分的应用重积分的应用9.(3)11.13.