则这个随机变量服从正态分布.pptx

第第四四周周2024/8/22 周四 2:39第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.1 2.1 随机变量随机变量2.2 2.2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律2.3 2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数2.4 2.4 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布2.5 2.5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 1第第四四周周2024/8/22 周四 2:39常用的连续型分布常用的连续型分布2.4 连续型随机变量的连续型随机变量的密度函数密度函数一、均匀分布一、均匀分布 均匀分布均匀分布是连续型分布中最简单的一种分布，是连续型分布中最简单的一种分布，它是用来它是用来描述一个随机变量在一个区间上等可描述一个随机变量在一个区间上等可能地取每一个值的分布规律能地取每一个值的分布规律。第第四四周周2024/8/22 周四 2:39向区间向区间a,b上均匀地投掷一随机点，上均匀地投掷一随机点，X为落点坐标为落点坐标aaabbb第第四四周周2024/8/22 周四 2:39a 0 b xf(x)1/(b a)a 0 b x 1F(x)向区间向区间a，b上均匀地投掷一随机点，以上均匀地投掷一随机点，以表示随机点的落点坐标，表示随机点的落点坐标，为均匀分布。为均匀分布。4定义定义 如果随机变量如果随机变量 X 的的密度函数密度函数为为则称随机变量则称随机变量 X 服从服从区间区间 a，b 上的均匀分布上的均匀分布，记作记作 XUa，b。其密度函数的图形为：其密度函数的图形为：如果如果 随机变量随机变量X Ua，b，则，则它的它的分布函数图形分布函数图形为：为：第第四四周周2024/8/22 周四 2:39 注：公共汽车的到达注：公共汽车的到达时刻不是随机变量时刻不是随机变量。5例例 设一个汽车站上，某路公共汽车每五分钟有一辆车到达，设一个汽车站上，某路公共汽车每五分钟有一辆车到达，设乘客在五分钟内的任意时刻到达都是设乘客在五分钟内的任意时刻到达都是等可能等可能的。计算在候车的。计算在候车的十位乘客中，只有一个的十位乘客中，只有一个等车等车时间时间超过超过 4 分钟的概率分钟的概率.解解 记记 X=每位乘客的到达时刻，每位乘客的到达时刻，记记Y=在候车的十位乘客中，在候车的十位乘客中，“等车时间超过等车时间超过 4 分钟分钟”的人数。的人数。则则 X U0，5，则则Y B(10，p)，于是，在候车的十位乘客中，只有一个于是，在候车的十位乘客中，只有一个等车时间超过等车时间超过 4 分钟分钟的概的概率为：率为：第第四四周周2024/8/22 周四 2:396另解：另解：第第四四周周2024/8/22 周四 2:39如果随机变量如果随机变量 X的密度函数为的密度函数为则称则称X服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布,的几何图形如图的几何图形如图:注：注：指数分布常用来描述对某指数分布常用来描述对某一事件发生的一事件发生的等待时间。等待时间。例如：例如：电子元件的寿命，生物的寿命，电话的通话时间，电子元件的寿命，生物的寿命，电话的通话时间，机器的修理时间等。机器的修理时间等。二、指数分布二、指数分布 7第第四四周周1xF(x)0 xf(x)02024/8/22 周四 2:398第第四四周周2024/8/22 周四 2:39例例 某元件的寿命某元件的寿命服从服从指数分布指数分布,已知其参数已知其参数求求 3 个这样的元件使用个这样的元件使用 1000 小时小时,至至少已有一个损坏的概率少已有一个损坏的概率.解解 由题设知由题设知,的的分布函数为分布函数为由此得到由此得到各元件的寿命是否超过各元件的寿命是否超过 1000 小时是独立的小时是独立的,用用表示三个元件中使用表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数小时损坏的元件数,9第第四四周周2024/8/22 周四 2:39例例 某元件的寿命某元件的寿命服从指数分布服从指数分布,已知其参数已知其参数求求 3 个这样的元件使用个这样的元件使用 1000 小时小时,至至少已有一个损坏的概率少已有一个损坏的概率.解解 各元件的寿命是否超过各元件的寿命是否超过1000小时是独立的小时是独立的,用用表示三个元件中使用表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数小时损坏的元件数,所求概率为所求概率为则则10第第四四周周2024/8/22 周四 2:39 指数分布的一个重要性质就是指数分布的一个重要性质就是“无后效性无后效性”或或“无记忆性无记忆性”.具体叙述如下：具体叙述如下：证证值得指出的是值得指出的是,我们可以证明我们可以证明,指数分布是唯一具有指数分布是唯一具有“无无记忆性记忆性”的的 连续型分布连续型分布.11第第四四周周2.5 正态分布正态分布若若X 的的 密度密度 函数为函数为则称则称 X 服从参数为服从参数为 ,2 的的正态分布正态分布记作记作 X N(,2)为常数，为常数，亦称高斯亦称高斯(Gauss)分布分布2024/8/22 周四 2:3912第第四四周周q f(x)的两个参数：的两个参数：位置参数位置参数即固定即固定 ,对于不同的对于不同的 ,对应的对应的 f(x)的形状不变化，只是位置不同的形状不变化，只是位置不同 2024/8/22 周四 2:3913第第四四周周几何意义几何意义 大小与曲线陡峭程度成反比大小与曲线陡峭程度成反比数据意义数据意义 大小与数据分散程度成正比大小与数据分散程度成正比 形状参数形状参数若若 1 2 则则2024/8/22 周四 2:3914第第四四周周2024/8/22 周四 2:3915第第四四周周2024/8/22 周四 2:39 设设 X ,X 的分布函数的分布函数是是正态分布正态分布 的的分布函数分布函数16第第四四周周2024/8/22 周四 2:39标准正态分布标准正态分布 标准正态分布的分布函数值表（标准正态分布的分布函数值表（标准正态分布的分布函数值表（标准正态分布的分布函数值表（P311P311）17第第四四周周2024/8/22 周四 2:39证：证：Z Z 的分布函数为的分布函数为定理定理 118第第四四周周2024/8/22 周四 2:40（）若（）若N(0,1)（）若（）若 XN(0,1),则则19第第四四周周 正态分布是概率分布中最重要的一种分布，这有正态分布是概率分布中最重要的一种分布，这有实践与理论两方面的原因。实践与理论两方面的原因。实践方面的原因是实践方面的原因是，正态分布是自然界，正态分布是自然界最最常见常见的的一种分布，例如测量的误差、炮弹的落点、人的身高一种分布，例如测量的误差、炮弹的落点、人的身高与体重等等都近似服从正态分布。与体重等等都近似服从正态分布。一般来说，一般来说，如果影响某一随机变量的因素很多如果影响某一随机变量的因素很多，而而每一个因素都不起决定性作用每一个因素都不起决定性作用，且且这些影响是这些影响是可以叠加的可以叠加的，则这个随机变量服从正态分布，则这个随机变量服从正态分布。从理论方面来说从理论方面来说，正态分布有许多良好的性质，正态分布有许多良好的性质，如正态分布可以如正态分布可以导出一些其它分布，一些其它分布，而某些分布（如而某些分布（如二项分布、泊松分布等）在一定的条件下可用正态分二项分布、泊松分布等）在一定的条件下可用正态分布来布来近似。第第四四周周2024/8/22 周四 2:40.21第第四四周周2024/8/22 周四 2:40类似计算可得，类似计算可得，=0.9974 例例7解：解：求求 P(|(|X-|k )k=1,2,3.P(|(|X-|3 )=P(-3 X 0 时，时，2024/8/22 周四 2:4028第第四四周周（2）当）当a 0 时，时，一般地，有下列定理：一般地，有下列定理：2024/8/22 周四 2:4029第第四四周周定理定理.证明证明:2024/8/22 周四 2:4030第第四四周周2024/8/22 周四 2:4031第第四四周周2024/8/22 周四 2:40解：解：例例4 设随机变量设随机变量 服从正态分布，证明服从正态分布，证明 也也服从正态分布。服从正态分布。32第第四四周周2024/8/22 周四 2:40此例说明：正态变量的线性函数仍是正态变量。此例说明：正态变量的线性函数仍是正态变量。33第第四四周周2024/8/22 周四 2:40例例534第第四四周周2024/8/22 周四 2:40例例635第第四四周周例例9 9 已知已知 X N(0,1),Y=X 2,求求 f Y(y)解：解：Y=X 2 不是单调函数，从分布出发：不是单调函数，从分布出发：当当 y 0 时，时，2024/8/22 周四 2:4036第第四四周周X N(0,1)结论：结论：若若 X N(0,1),则则Y=X 2称称Y服从参数为服从参数为1的卡方分布的卡方分布2024/8/22 周四 2:4037