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课时训练(二十九) 平移与旋转
(限时:40分钟)
|夯实基础|
1.[2019·海南] 如图K29-1,在平面直角坐标系中,已知点A(2,1),点B(3,-1),平移线段AB,使点A落在点A1(-2,2)处,则点B的对应点B1的坐标为 ( )
图K29-1
A.(-1,-1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(3,0)
2.[2017·泰安] 如图K29-2,在正方形网格中,线段A'B'是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的,点A'与A对应,则角α的大小为 ( )
图K29-2
A.30° B.60° C.90° D.120°
3.[2019·天津] 如图K29-3,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使点A的对应点D恰好落在边AB上,点B的对应点为E,连接BE,下列结论一定正确的是 ( )
图K29-3
A.AC=AD B.AB⊥EB
C.BC=DE D.∠A=∠EBC
4.[2019·宜宾] 如图K29-4,四边形ABCD是边长为5的正方形,E是DC上一点,DE=1,将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合,则EF= ( )
图K29-4
A.41 B.42 C.52 D.213
5.[2019·包头] 如图K29-5,在△ABC中,∠CAB=55°,∠ABC=25°,在同一平面内,将△ABC绕点A逆时针旋转70°得到△ADE,连接EC,BD,则tan∠DEC的值是 .
图K29-5
6.[2019·海南] 如图K29-6,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF,连接EF,若AB=3,AC=2,且α+β=∠B,则EF= .
图K29-6
7.[2018·广西] 如图K29-7,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,1),C(3,3).
(1)将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2;
(3)判断以O,A1,B为顶点的三角形的形状.(无须说明理由)
图K29-7
|能力提升|
8.[2019·张家界] 如图K29-8,在平面直角坐标系中,将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019,那么点A2019的坐标是 ( )
图K29-8
A.22,-22 B.(1,0) C.-22,-22 D.(0,-1)
9.[2018·临安] 如图K29-9,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3.将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED,连接AE,CE,则△ADE的面积是 ( )
图K29-9
A.1 B.2 C.3 D.不能确定
10.[2019·广元] 如图K29-10,△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC,连接BD,则BD2的值是 .
图K29-10
11.[2018·达州] 如图K29-11,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(-6,0),C(0,23).将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转,使点A恰好落在OB上的点A1处,则点B的对应点B1的坐标为 .
图K29-11
12.[2018·烟台] 【问题解决】
一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图K29-12①,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3,你能求出∠APB的度数吗?
小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP'A,连接PP',求出∠APB的度数;
思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP'B,连接PP',求出∠APB的度数.
请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.
【类比探究】
如图②,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=11,求∠APB的度数.
图K29-12
|思维拓展|
13.[2018·德州] 如图K29-13,等边三角形ABC的边长为4,点O是△ABC的中心,∠FOG=120°.绕点O旋转∠FOG,分别交线段AB,BC于D,E两点,连接DE.给出下列四个结论:①OD=OE;②S△ODE=S△BDE;③四边形ODBE的面积始终等于433;④△BDE周长的最小值为6.上述结论中,正确的个数是 ( )
图K29-13
A.1 B.2 C.3 D.4
14.[2019·十堰]如图K29-14,正方形ABCD和Rt△AEF,AB=5,AE=AF=4,连接BF,DE.若△AEF绕点A旋转,当∠ABF最大时,S△ADE= .
图K29-14
【参考答案】
1.C
2.C [解析] AA'和BB'的垂直平分线的交点即为旋转中心O,根据网格的特征可知∠AOA'=90°,所以旋转角α=90°.
3.D [解析] 由旋转的性质可知,AC=CD,但∠A不一定是60°,所以不能证明AC=AD,所以选项A错误;由于旋转角度不确定,所以选项B不能确定;因为AB=DE,不确定AB和BC的数量关系,所以BC和DE的数量关系不能确定;由旋转的性质可知∠ACD=∠BCE,AC=DC,BC=EC,所以2∠A=180°-∠ACD,2∠EBC=180°-∠BCE,从而可证选项D是正确的.
4.D [解析]由旋转变换的性质可知,△ADE≌△ABF,
∴BF=DE=1,∵BC=5,∴FC=6,CE=4,
∴EF=FC2+CE2=52=213.
故选D.
5.1 [解析] 根据旋转的性质得∠EAC=70°,EA=CA,∠AED=∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=100°,∴∠AEC=(180°-70°)÷2=55°,∴∠DEC=45°,∴tan∠DEC=tan45°=1.
6.13 [解析]∵α+β=∠B,∴∠EAF=∠BAC+∠B=90°,
∴△AEF是直角三角形,且AE=AB=3,AF=AC=2,
∴EF=AE2+AF2=13.
7.解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求.
(3)三角形的形状为等腰直角三角形.提示:OB=OA1=16+1=17,A1B=25+9=34,所以OB2+OA12=A1B2.所以△OA1B为等腰直角三角形.
8.A [解析]∵四边形OABC是正方形,且OA=1,∴A(0,1),
∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,
∴A122,22,A2(1,0),A322,-22,…,
发现8次一循环,∵2019÷8=252……3,
∴点A2019的坐标为22,-22.
故选A.
9.A [解析] 如图,过点E作EF⊥AD,交AD延长线于点F,过点D作DG⊥BC于点G.易知四边形ABGD是矩形.
∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED,
∴∠EDF+∠CDF=90°,DE=CD.
又∵∠CDF+∠CDG=90°,∴∠CDG=∠EDF.
在△DCG与△DEF中,∠CDG=∠EDF,∠CGD=∠EFD=90°,CD=DE,
∴△DCG≌△DEF(AAS).∴EF=CG.
∵AD=BG=2,BC=3,∴CG=BC-BG=3-2=1.
∴EF=1.
∴△ADE的面积是12AD·EF=12×2×1=1.
故选A.
10.8+43 [解析]如图,连接AD,设AC与BD交于点O,
由题意得:CA=CD,∠ACD=60°,
∴△ACD为等边三角形,
∴AD=CD,∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°.
∵∠ABC=90°,AB=BC=2,∴AC=CD=22,
∵AB=BC,CD=AD,∴BD垂直平分AC,
∴BO=12AC=2,OD=CD·sin60°=6,
∴BD=2+6,∴BD2=(2+6)2=8+43,
故答案为8+43.
11.(-23,6) [解析] 如图,过点B1作B1E⊥y轴于点E.
∵矩形OABC的顶点A(-6,0),C(0,23),
∴OA=6,AB=OC=23.
∵tan∠AOB=236=33,∴∠AOB=30°.
在Rt△DOC1中,∵∠DOC1=30°,OC1=23,
∴OD=4,DC1=2.
∵B1C1=6,∴B1D=4.
在Rt△DEB1中,∵∠DB1E=30°,
∴DE=2,B1E=23.∴B1(-23,6).
故答案为(-23,6).
12.解:【问题解决】如图①,将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连接PP'.
①
∵P'B=PB=2,∠P'BP=90°,
∴PP'=22,∠BPP'=45°.
又AP'=CP=3,AP=1,
∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2.
∴∠APP'=90°.
∴∠APB=45°+90°=135°.
【类比探究】如图②,将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△P'BA,连接PP'.
②
∵P'B=PB=1,
∠P'BP=90°,
∴PP'=2,∠BPP'=45°.
又AP'=PC=11,AP=3,
∴AP2+P'P2=9+2=11=P'A2.
∴∠APP'=90°.
∴∠APB=90°-45°=45°.
13.C [解析] 如图①,连接OA,OB,OC.因为点O是△ABC的中心,所以∠AOB=∠BOC=120°,OA=OB=OC.所以∠BOC=∠FOG=120°,∠ABO=∠BCO=30°.所以∠BOD=∠COE.所以△BOD≌△COE(ASA),所以OD=OE,结论①正确.
通过画图确定结论②错误,如当点E为BC的中点时,S△ODE<S△BDE.
因为△BOD≌△COE,所以S△BOD=S△COE.
所以S四边形ODBE=S△BOC=13S△ABC=433,结论③正确.
因为△BOD≌△COE,
所以BD=CE.所以BE+BD=BC=4.
因为∠FOG=120°,OD=OE,所以DE=3OD.
如图②,当OD⊥AB时,OD最小=BD·tan∠OBD=233,
所以DE最小=2.
所以△BDE周长的最小值为6,结论④正确.故选C.
14.6 [解析]作DH⊥AE交EA延长线于H,如图,
∵AF=4,∴当△AEF绕点A旋转时,点F在以A为圆心,4为半径的圆上,
∴当BF为此圆的切线,即BF⊥AF时,∠ABF最大,
在Rt△ABF中,BF=52-42=3,
∵∠EAF=90°,
∴∠BAF+∠BAH=90°,
∵∠DAH+∠BAH=90°,
∴∠DAH=∠BAF,
在△ADH和△ABF中,∠AHD=∠AFB,∠DAH=∠BAF,AD=AB,
∴△ADH≌△ABF(AAS),
∴DH=BF=3,
∴S△ADE=12AE·DH=12×4×3=6.
故答案为6.
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