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阶段检测卷(三)
(测试范围:第四单元~第五单元 限时:90分钟 满分:100分)
题 号
一
二
三
总分
总分人
核分人
得 分
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.如图J3-1,已知AB∥DE,∠ABC=75°,∠CDE=145°,则∠BCD的值为 ( )
图J3-1
A.20° B.30° C.40° D.70°
2.下列命题为真命题的是 ( )
A.两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例
B.相似三角形面积之比等于相似比
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.顺次连接矩形各边的中点所得的四边形是正方形
3.一个正n边形的每一个外角都是36°,则n= ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
4.如图J3-2,△ABC中,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,∠BAC=50°,∠B=60°,则∠EAD+∠C= ( )
图J3-2
A.75° B.80° C.85° D.90°
5.如图J3-3,在△ABC中,点D是边AB上的一点,∠ADC=∠ACB,AD=2,BD=6,则边AC的长为 ( )
图J3-3
A.2 B.4 C.6 D.8
6.如图J3-4,在底边BC为23,腰AB为2的等腰三角形ABC中,DE垂直平分AB于点D,交BC于点E,则△ACE的周长为 ( )
图J3-4
A.2+3 B.2+23 C.4 D.33
7.如图J3-5,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED=3,则BC的长为 ( )
图J3-5
A.32 B.33 C.6 D.62
8.如图J3-6,正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G,若AE=3ED,DF=CF,则AGGF的值是 ( )
图J3-6
A.43 B.54 C.65 D.76
9.如图J3-7,▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为 ( )
图J3-7
A.20° B.25° C.30° D.35°
10.在▱ABCD中,CD=2AD,BE⊥AD于点E,F为DC的中点,连接EF,BF,下列结论:①∠ABC=2∠ABF; ②EF=BF;③S四边形DEBC=2S△EFB;④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有 ( )
图J3-8
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.已知a∥b,一块含30°角的直角三角板如图J3-9所示放置,∠2=45°,则∠1= 度.
图J3-9
12.如图J3-10,DE∥BC,AD∶DB=1∶2,则DEBC= ,S△ADES四边形DBCE= .
图J3-10
13.如图J3-11,△ABC中,D为AB的中点,BE⊥AC,垂足为E.若DE=5,AE=8,则BE的长度是 .
图J3-11
14.如图J3-12,D为△ABC中BC边上一点,AB=CB,AC=AD,∠BAD=27°,则∠C= .
图J3-12
15.如图J3-13,在平面直角坐标系中,矩形ABCO的边CO,OA分别在x轴,y轴上,点E在边BC上,将该矩形沿AE折叠,点B恰好落在边OC上的F处.若OA=8,CF=4,则点E的坐标是 .
图J3-13
16.如图J3-14,以AB为边作正方形ABCD,动点P,Q分别在AB和BC边上运动,且PQ=AB=8,若点Q从点B出发,沿BC向点C运动,则点P随之沿AB下滑,当Q到达C点时停止运动.点Q从B到C的运动过程中,PQ的中点O所经过的路径长为 .
图J3-14
三、解答题(共52分)
17.(10分)如图J3-15,∠1=∠2,AD=AE,∠B=∠ACE,且B,C,D三点在一条直线上.
(1)试说明△ABD与△ACE全等的理由;
(2)如果∠B=60°,试说明线段AC,CE,CD之间的数量关系,并说明理由.
图J3-15
18.(10分)如图J3-16,Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D,F分别是AC,AB的中点,CE∥DB,BE∥DC.
(1)求证:四边形DBEC是菱形;
(2)若AD=3,DF=1,求四边形DBEC的面积.
图J3-16
19.(10分)如图J3-17,AB是长为10 m,倾斜角为30°的自动扶梯,平台BD与大楼CE垂直,且与扶梯AB的长度相等,在B处测得大楼顶部C的仰角为65°,求大楼CE的高度(结果保留整数).【参考数据:sin65°≈0.91,tan65°≈2.14】
图J3-17
20.(10分)如图J3-18,四边形ABCD中,AB=AC=AD,AC平分∠BAD,点P是AC延长线上一点,且PD⊥AD.
(1)证明:∠BDC=∠PDC;
(2)若AC与BD相交于点E,AB=1,CE∶CP=2∶3,求AE的长.
图J3-18
21.(12分)(1)如图J3-19①,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求证:CE=CF;
(2)如图②,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,请你利用(1)的结论证明:GE=BE+GD;
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图③,在四边形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,DE=10,求四边形ABCD的面积.
图J3-19
【参考答案】
1.C [解析]延长ED交BC于F,如图所示.
∵AB∥DE,∠ABC=75°,∴∠MFC=∠B=75°,
∵∠CDE=145°,∴∠FDC=180°-145°=35°,
∴∠C=∠MFC-∠MDC=75°-35°=40°,
故选C.
2.A 3.D
4.A [解析]∵AD是BC边上的高,∠B=60°,
∴∠BAD=30°,∵∠BAC=50°,AE平分∠BAC,
∴∠BAE=25°,∴∠DAE=30°-25°=5°,∵△ABC中,∠C=180°-∠B-∠BAC=70°,∴∠EAD+∠C=5°+70°=75°,故选:A.
5.B [解析]∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,
∴△ADC∽△ACB,∴ACAB=ADAC,
∴AC2=AD·AB=2×8=16,
∵AC>0,∴AC=4,故选:B.
6.B [解析]∵DE垂直平分AB,∴BE=AE,
∴AE+CE=BC=23,∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+23,故选:B.
7.D [解析]∵AD=ED=3,AD⊥BC,∴△ADE为等腰直角三角形,根据勾股定理得:AE=32+32=32,
∵Rt△ABC中,E为BC的中点,∴AE=12BC,则BC=2AE=62,故选:D.
8.C [解析]如图,作FN∥AD,交AB于N,交BE于M.
∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,
∵FN∥AD,
∴四边形ANFD是平行四边形,
∵∠D=90°,
∴四边形ANFD是矩形,
∵AE=3DE,∴设DE=a,则AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a,∵AN=BN,MN∥AE,
∴BM=ME,∴MN=32a,∴FM=52a,∵AE∥FM,
∴AGGF=AEFM=3a52a=65,故选:C.
9.B [解析]∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且CD=CD,∴AD=DE,
∴∠DAE=∠DEA,∵∠BAD=60°,∠F=110°,
∴∠ADC=120°,∠CDE=∠F=110°,
∴∠ADE=360°-120°-110°=130°,
∴∠DAE=180°-130°2=25°,故选:B.
10.D [解析]如图,延长EF交BC的延长线于G,取AB的中点H,连接FH.
∵CD=2AD,DF=FC,∴CF=CB,
∴∠CFB=∠CBF,
∵CD∥AB,∴∠CFB=∠FBH,
∴∠CBF=∠FBH,
∴∠ABC=2∠ABF.故①正确.
∵DE∥CG,∴∠D=∠FCG,
∵DF=FC,∠DFE=∠CFG,
∴△DFE≌△CFG(ASA),∴FE=FG,
∵BE⊥AD,∴∠AEB=90°,
∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBG=90°,
∴BF=EF=FG,
故②正确;
∵S△DFE=S△CFG,∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF,
故③正确;
∵AH=HB,DF=CF,AB=CD,∴CF=BH,
∵CF∥BH,∴四边形BCFH是平行四边形,
∵CF=BC,∴四边形BCFH是菱形,
∴∠BFC=∠BFH,
∵FH∥AD,BE⊥AD,∴FH⊥BE,
∵FE=FB,∴∠BFH=∠EFH=∠DEF,
∴∠EFC=3∠DEF,故④正确,故选:D.
11.165 [解析]如图,过P作PQ∥a,
∵a∥b,∴PQ∥b,∴∠BPQ=∠2=45°,
∵∠APB=60°,∴∠APQ=15°,
∴∠3=180°-∠APQ=165°,
∴∠1=165°,故答案为:165.
12.13 18
13.6 [解析]∵BE⊥AC,D为AB的中点,
∴AB=2DE=10,由勾股定理得,
BE=AB2-AE2=6,故答案为:6.
14.69° [解析]设∠C=α,∵AB=CB,AC=AD,
∴∠BAC=∠C=α,∠ADC=∠C=α,
又∵∠BAD=27°,∴∠CAD=α-27°,
∵△ACD中,∠DAC+∠ADC+∠C=180°,
∴α-27°+α+α=180°,∴α=69°,∴∠C=69°,故答案为:69°.
15.(-10,3) [解析]设CE=a,则BE=8-a,由题意可得,EF=BE=8-a,
∵∠ECF=90°,CF=4,∴a2+42=(8-a)2,解得a=3,
设OF=b,∵△ECF∽△FOA,∴CEOF=CFOA,
即3b=48,得b=6,即CO=CF+OF=10,∴点E的坐标为(-10,3),
故答案为(-10,3).
16.2π [解析]如图所示,连接OB.
∵O是PQ的中点,∴OB=12PQ=4.
又∵当点P与点A重合时,点O在AB上,当点P与点B重合时,点O在BC上,∴点O在以B为圆心,以BO为半径的圆弧上,且圆弧所对的圆心角为90°,∴点O运动的路线长=90π×4180=2π.故答案为2π.
17.解:(1)∵∠1=∠2,∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,
在△ABD与△ACE中,∠B=∠ACE,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(AAS).
(2)由(1)△ABD≌△ACE可得:BD=CE,AB=AC,
∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,∴BD=CE=BC+CD=AC+CD,即CE=AC+CD.
18.解:(1)证明:∵CE∥DB,BE∥DC,
∴四边形DBEC为平行四边形.
又∵Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC的中点,
∴CD=BD=12AC,
∴平行四边形DBEC是菱形.
(2)∵点D,F分别是AC,AB的中点,AD=3,DF=1,
∴DF是△ABC的中位线,AC=2AD=6,BC=2DF=2.
∴S△BCD=12S△ABC,
又∵∠ABC=90°,
∴AB=AC2-BC2=62-22=42.
∵平行四边形DBEC是菱形,
∴S四边形DBEC=2S△BCD=S△ABC=12AB·BC=12×42×2=42.
19.解:作BF⊥AE于点F,则BF=DE.
在直角三角形ABF中,sin∠BAF=BFAB,则BF=AB·sin∠BAF=10×12=5(m).
在直角三角形CDB中,tan∠CBD=CDBD,则CD=BD·tan65°≈10×2.14=21.4(m).
∴CE=DE+CD=BF+CD=5+21.4≈26(m).
答:大楼CE的高度是26 m.
20.解:(1)证明:∵AB=AD,AC平分∠BAD,
∴AC⊥BD,∴∠ACD+∠BDC=90°,
∵AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC,∴∠ADC+∠BDC=90°,
∵PD⊥AD,∴∠ADC+∠PDC=90°,
∴∠BDC=∠PDC.
(2)过点C作CM⊥PD于点M,
∵∠BDC=∠PDC,∴CE=CM,
∵∠CMP=∠ADP=90°,∠P=∠P,
∴△CPM∽△APD,∴CMAD=PCPA,
设CM=CE=x,
∵CE∶CP=2∶3,∴PC=32x,
∵AB=AD=AC=1,
∴x1=32x32x+1,解得x=13或x=0(舍去),
故AE=1-13=23.
21.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=DC,∠B=∠ADC=90°,
∴∠FDC=90°,∴∠B=∠FDC.
又∵BE=DF,∴△CBE≌△CDF,∴CE=CF.
(2)证明:如图①,延长AD至点F,使DF=BE,连接CF.
由(1)知△CBE≌△CDF,
∴∠BCE=∠DCF,CE=CF,
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,
即∠BCD=∠ECF=90°.
又∵∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°.
又∵CE=CF,GC=GC,
∴△ECG≌△FCG,∴GE=GF,
∴GE=GF=DF+GD=BE+GD.
(3)如图②,过点C作CG⊥AD,交AD的延长线于点G.在四边形ABCD中,
∵AD∥BC,∠B=90°,
∴∠A=∠B=90°.
又∵∠CGA=90°,AB=BC,
∴四边形ABCG是正方形,∴AG=BC.
∵∠DCE=45°,根据(1)(2)可知,DE=BE+DG,
∴10=4+DG,即DG=6.
设AB=x,则AE=x-4,AD=x-6.
在Rt△AED中,
∵DE2=AD2+AE2,∴102=(x-6)2+(x-4)2.
解得x=12或x=-2(舍去),∴AB=12.
∵四边形ABCD是梯形,
∴S四边形ABCD=12(AD+BC)·AB=12×(6+12)×12=108,即四边形ABCD的面积为108.
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