--矩阵的基本运算.pptx

、定义、定义一、矩阵的一、矩阵的加法加法设设设设则则则则A A A A与与与与B B B B的的的的和和和和为为为为注意注意注意注意n n n n列列列列m m m m行行行行同型同型同型同型矩阵矩阵矩阵矩阵才能进行才能进行才能进行才能进行加法运算加法运算加法运算加法运算.只有只有只有只有两个两个两个两个同型矩阵同型矩阵同型矩阵同型矩阵,第1页/共19页2 2、矩阵矩阵加法加法的运算规律的运算规律称为矩阵称为矩阵称为矩阵称为矩阵(1)(1)(1)(1)交换律交换律交换律交换律(2)(2)(2)(2)结合律结合律结合律结合律A A A A的的的的负矩阵负矩阵第2页/共19页一个一个数数记为记为记为记为必须必须必须必须乘以乘以乘以乘以矩阵矩阵矩阵矩阵的每的每的每的每一个元素一个元素一个元素一个元素一个一个一个一个矩阵矩阵矩阵矩阵可以可以可以可以提到提到提到提到矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的前面前面前面前面的所有元素的的所有元素的的所有元素的的所有元素的公因子公因子公因子公因子乘以乘以 矩阵矩阵二、数乘二、数乘二、数乘二、数乘矩阵矩阵矩阵矩阵数量阵数量阵数量阵数量阵设设为为阶方阵，阶方阵，则则第3页/共19页数乘数乘数乘数乘矩阵矩阵矩阵矩阵为两个为两个数数矩阵，矩阵，设设为两个为两个的的的的运算运算运算运算规律规律规律规律第4页/共19页三三矩阵矩阵与与矩阵矩阵相乘相乘行行行行列列列列行行行行列列列列行行行行列列列列只有当只有当只有当只有当左边矩阵左边矩阵左边矩阵左边矩阵的的的的列数列数列数列数这两个矩阵这两个矩阵这两个矩阵这两个矩阵才能才能才能才能相乘相乘相乘相乘.等于等于等于等于右边矩阵的右边矩阵的右边矩阵的右边矩阵的行数行数行数行数时，时，时，时，第5页/共19页行行列列行行列列行行列列例例例例1 1 1 1第6页/共19页练习练习练习练习1 1 1 1即矩阵乘法即矩阵乘法即矩阵乘法即矩阵乘法一般情况下一般情况下一般情况下一般情况下不满足不满足交换律交换律交换律交换律可能出现可能出现可能出现可能出现可能出现可能出现可能出现可能出现或或或或或或或或第7页/共19页练习练习练习练习2 2 2 2设设为为n n 阶阶方阵方阵,则则为为n n 阶阶单位阵单位阵第8页/共19页行行行行矩阵矩阵矩阵矩阵列列列列矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵乘法乘法乘法乘法不满足不满足不满足不满足交换律交换律交换律交换律一般情况下一般情况下一般情况下一般情况下乘以乘以乘以乘以列列列列矩阵矩阵矩阵矩阵等于一等于一等于一等于一个数个数个数个数乘以乘以乘以乘以行行行行矩阵矩阵矩阵矩阵 等于一个等于一个等于一个等于一个矩阵矩阵矩阵矩阵第9页/共19页重要结论重要结论重要结论重要结论设设为为n n 阶阶方阵方阵则则证证同样可证同样可证第10页/共19页、矩阵乘法的、矩阵乘法的运算运算规律规律(3)(3)若若若若A A,B,B例如例如例如例如(1)(1)(1)(1)结合律结合律结合律结合律(2)(2)(2)(2)分配律分配律分配律分配律（4 4）E E 是单位阵是单位阵是单位阵是单位阵是一个数是一个数是一个数是一个数则则则则 A Ak k为为为为A A的的的的k k 次幂，次幂，次幂，次幂，即即即即是是是是n n 阶阶阶阶方阵方阵方阵方阵，证证证证即即即即第11页/共19页解解解解例例例例4 4 4 4由此归纳出由此归纳出由此归纳出由此归纳出6060页页页页7 7三角阵三角阵三角阵三角阵乘以乘以乘以乘以三角阵，三角阵，三角阵，三角阵，结果还是三角阵结果还是三角阵结果还是三角阵结果还是三角阵第12页/共19页例例例例2.2.4 2.2.4 矩阵的矩阵的转置转置矩阵矩阵矩阵矩阵转置转置转置转置的的的的运算运算运算运算性质性质性质性质顺时针旋转顺时针旋转顺时针旋转顺时针旋转90909090度度度度 变成列变成列变成列变成列,定义定义定义定义叫做叫做叫做叫做A A A A将矩阵将矩阵将矩阵将矩阵A A A A 的每一行的每一行的每一行的每一行新矩阵新矩阵新矩阵新矩阵的的的的转置转置转置转置矩阵矩阵矩阵矩阵,记作记作记作记作A A A AT T T T.第13页/共19页例例例例5 5 5 5 已知已知已知已知解法解法解法解法1 1解法解法解法解法2 21414330 00 014143333141433第14页/共19页定义定义定义定义设设设设 A A 为为为为 n n阶阶阶阶方阵方阵方阵方阵，对称阵对称阵对称阵对称阵的的的的元素元素元素元素以以以以主对主对主对主对那末称那末称那末称那末称 A A 为为如果如果如果如果 A A=A AT T 角线角线角线角线为对称轴为对称轴为对称轴为对称轴对应对应对应对应相等相等相等相等.若若若若 A A=A AT T ，则称则称则称则称A A 为为为为反对称反对称反对称反对称阵阵阵阵.为为为为对称阵对称阵对称阵对称阵.对称阵对称阵.例例例例7 7 7 7证明证明证明证明 设设设设 所以所以所以所以C C为为为为对称对称对称对称矩阵矩阵矩阵矩阵.所以所以所以所以B B为为为为反对称反对称反对称反对称阵阵阵阵.命题得证命题得证命题得证命题得证.则则则则等于等于等于等于A A的转置的转置的转置的转置证明任一证明任一证明任一证明任一 n n 阶阶阶阶方阵方阵方阵方阵 A A对称对称对称对称阵阵阵阵加上加上加上加上反对称反对称反对称反对称阵阵阵阵.第15页/共19页若若若若 则则则则1 10 00 0正交正交阵阵0 01 10 00 00 01 1例例例例设设设设则则则则为为为为对称对称阵阵即即即即称为称为称为称为正交正交阵阵为为为为且且且且第16页/共19页两个同阶两个同阶两个同阶两个同阶的乘积的乘积的乘积的乘积证明证明证明证明答答答答设设设设 A A和和和和B B即即即即问题问题问题问题是否为是否为是否为是否为正交阵正交阵？正交阵正交阵是是是是 是正交阵是正交阵是正交阵是正交阵是是是是正交阵。正交阵。第17页/共19页五、小结矩矩矩矩阵阵阵阵运运运运算算算算加法加法加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵转置矩阵转置矩阵对称阵对称阵对称阵对称阵方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式只有只有只有只有两个两个两个两个同型同型同型同型矩阵矩阵矩阵矩阵，伴随矩阵伴随矩阵伴随矩阵伴随矩阵正交阵正交阵正交阵正交阵才能才能才能才能进行进行进行进行加法加法加法加法运算运算运算运算.矩阵相乘矩阵相乘矩阵相乘矩阵相乘不满足不满足不满足不满足 交换律交换律交换律交换律.第18页/共19页思考题是否成立是否成立是否成立是否成立?答答答答故故故故成立的成立的成立的成立的充要条件充要条件充要条件充要条件是什么是什么是什么是什么?成立的充要条件为成立的充要条件为成立的充要条件为成立的充要条件为不一定成立不一定成立不一定成立不一定成立例例例例第19页/共19页