逻辑代数与硬件描述语言基础五.pptx

第第第第2 2章章章章 逻辑代数与硬件描逻辑代数与硬件描逻辑代数与硬件描逻辑代数与硬件描述语言基础述语言基础述语言基础述语言基础学习要点：学习要点：逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法 2.1 2.1 逻辑代数逻辑代数逻辑代数逻辑代数 2.2 2.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法退出退出退出退出第第第第2 2章章章章 逻辑代数与硬件描逻辑代数与硬件描逻辑代数与硬件描逻辑代数与硬件描述语言基础述语言基础述语言基础述语言基础2.1 逻辑代数逻辑代数 2.1.1 2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式 2.1.2 2.1.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则 2.1.3 2.1.3 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法 退出退出退出退出2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式1 1、逻辑代数的定律、定理逻辑代数的定律、定理（1）常量之间的关系）常量之间的关系（2）基本公式）基本公式分别令分别令A=0及及A=1代入这些代入这些公式，即可证公式，即可证明它们的正确明它们的正确性。性。（3）基本定理）基本定理利用真值表很容易证利用真值表很容易证明这些公式的正确性。明这些公式的正确性。如证明如证明AB=BA：(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配律分配律A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC等幂律等幂律AA=AAA=A=A(1+B+C)+BC分配律分配律A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC=A+BC0-10-1律律A+1=1A+1=1证明分配律：证明分配律：A+BC=(A+B)(A+C)证明：证明：分配律分配律A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)互补律互补律A+A=1A+A=10-10-1律律A A1=11=1互补律互补律A+A=1A+A=1分配律分配律A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC0-10-1律律A+1=1A+1=12 2、常用恒等式、常用恒等式例如，已知等式例如，已知等式 ，用函数，用函数Y=AC代替等式中代替等式中的的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：，根据代入规则，等式仍然成立，即有：（1）代代入入规规则则：任任何何一一个个含含有有变变量量A的的等等式式，如如果果将将所所有有出出现现A的的位位置置都都用用同同一一个个逻逻辑辑函函数数代代替替，则则等等式式仍仍然然成成立立。这这个个规规则称为代入规则。则称为代入规则。（2）反反演演规规则则：对对于于任任何何一一个个逻逻辑辑表表达达式式Y，如如果果将将表表达达式式中中的的所所有有“”换换成成“”，“”换换成成“”，“0”换换成成“1”，“1”换换成成“0”，原原原原变变变变量量量量换换换换成成成成反反反反变变变变量量量量，反反反反变变变变量量量量换换换换成成成成原原原原变变变变量量量量，那那么么所所得得到到的的表表达达式式就就是是函函数数Y的的反反函函数数Y（或或称称补补函函数数）。这个规则称为反演规则。例如：这个规则称为反演规则。例如：2.1.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则（3）对对偶偶规规则则：对对于于任任何何一一个个逻逻辑辑表表达达式式Y，如如果果将将表表达达式式中中的的所所有有“”换换成成“”，“”换换成成“”，“0”换换成成“1”，“1”换换成成“0”，而而变变变变量量量量保保保保持持持持不不不不变变变变，则则可可得得到到的的一一个个新新的的函函数数表表达达式式Y，Y称称为为函函数数Y的的对对偶偶函函数数。这这个个规规则则称称为为对对偶偶规规则则。例如：例如：对对对对偶偶偶偶规规规规则则则则的的的的意意意意义义义义在在在在于于于于：如如果果两两个个函函数数相相等等，则则它它们们的的对对偶偶函函数数也也相相等等。利利用用对对偶偶规规则则,可可以以使使要要证证明明及及要要记记忆忆的的公公式式数数目目减减少少一半。例如：一半。例如：注意注意注意注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。算，否则容易出错。一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非与非-与非表达式、或非与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式或非表达式、与或非表达式5种表示种表示形式。形式。一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。2.1.3 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法1 1、逻辑函数的表达形式、逻辑函数的表达形式逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。的电路越简单，电路工作越稳定可靠。1)1)、最简与或表达式最简与或表达式乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与或的与或表达式。表达式。最简与或表达式最简与或表达式2)2)、最简与非最简与非-与非表达式与非表达式非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非的与非-与非表达式。与非表达式。在最简与或表达式的基础上两次取反在最简与或表达式的基础上两次取反用摩根定律去用摩根定律去掉下面的非号掉下面的非号3)3)、最简或与表达式最简或与表达式括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。的或与表达式。求出反函数的求出反函数的最简与或表达式最简与或表达式利用反演规则写出函利用反演规则写出函数的最简或与表达式数的最简或与表达式4)4)、最简或非最简或非-或非表达式或非表达式非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非的或非-或或非表达式。非表达式。求最简或与表达式求最简或与表达式两次取反两次取反5)5)、最简与或非表达式最简与或非表达式非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少也最少的与或非表达式。的与或非表达式。求最简或非求最简或非-或非表达式或非表达式用摩根定律去用摩根定律去掉下面的非号掉下面的非号用用摩摩根根定定律律去去掉掉大大非非号号下下面面的的非非号号1)1)、并项法、并项法逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。理和规则来化简逻辑函数。利用公式利用公式1，将两项合并为一项，并消去一个变量。，将两项合并为一项，并消去一个变量。若两个乘积项若两个乘积项中分别包含同一个中分别包含同一个因子的原变量和反因子的原变量和反变量，而其他因子变量，而其他因子都相同时，则这两都相同时，则这两项可以合并成一项，项可以合并成一项，并消去互为反变量并消去互为反变量的因子。的因子。运用摩根定律运用摩根定律运用分配律运用分配律运用分配律运用分配律2 2、逻辑函数的化简方法、逻辑函数的化简方法2)2)、吸收法、吸收法 如果乘积项如果乘积项是另外一个乘积是另外一个乘积项的因子，则这项的因子，则这另外一个乘积项另外一个乘积项是多余的。是多余的。运用摩根定律运用摩根定律（）利用公式，消去多余的项。（）利用公式，消去多余的项。（）利用公式，消去多余的变量。（）利用公式，消去多余的变量。如果一个如果一个乘积项的反是乘积项的反是另一个乘积项另一个乘积项的因子，则这的因子，则这个因子是多余个因子是多余的。的。3)3)、配项法、配项法（）利用公式（），为某一项配上其所缺的变（）利用公式（），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。量，以便用其它方法进行化简。（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。（）利用公式，为某项配上其所能合并的项。4)4)、消去冗余项法、消去冗余项法利用冗余律，利用冗余律，将冗余项消去。将冗余项消去。例例：化简函数：化简函数解解：先求出先求出Y的对偶函数的对偶函数Y，并对其进行化简。，并对其进行化简。求求Y的对偶函数，便得的最简或与表达式。的对偶函数，便得的最简或与表达式。本节小结本节小结 逻辑代数是分析和设计数字电路的重要逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻辑问题工具。利用逻辑代数，可以把实际逻辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可以用逻辑运抽象为逻辑函数来描述，并且可以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的分析和设计问题。算的方法，解决逻辑电路的分析和设计问题。逻逻辑辑代代数数的的公公式式和和定定理理是是推推演演、变变换换及及化简逻辑函数的依据。化简逻辑函数的依据。逻逻辑辑函函数数的的化化简简有有公公式式法法和和图图形形法法等等。公公式式法法是是利利用用逻逻辑辑代代数数的的公公式式、定定理理和和规规则则来来对对逻逻辑辑函函数数化化简简，这这种种方方法法适适用用于于各各种种复复杂杂的的逻逻辑辑函函数数，但但需需要要熟熟练练地地运运用用公公式式和和定定理，且具有一定的运算技巧。理，且具有一定的运算技巧。2.2 2.2 逻辑函数的卡诺逻辑函数的卡诺图化简法图化简法 2.2.2 2.2.2 逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式退出退出退出退出 2.2.1 2.2.1 最小项的定义及其性质最小项的定义及其性质最小项的定义及其性质最小项的定义及其性质 2.2.4 2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数 2.2.3 2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。称为最小项。3个变量个变量A、B、C可组成可组成8个最小项：个最小项：（2）最小项的表示方法：通常用符号）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项。下来表示最小项。下标标i的确定：把最小项中的原变量记为的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为，反变量记为0，当变量，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。3个变量个变量A、B、C的的8个最小项可以分别表示为：个最小项可以分别表示为：2.2.1 最小项的定义及其性质最小项的定义及其性质（3）最小项的性质：）最小项的性质：任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。全部最小项的和必为全部最小项的和必为1。ABCABC任意两个不同的最小项的乘积必为任意两个不同的最小项的乘积必为0。任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和的形任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和的形式，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式式，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式AA1 和和A(B+C)ABAC来配项展开成最小项表达式。来配项展开成最小项表达式。2.2.2 逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。项相加，便是函数的最小项表达式。m1ABCm5ABCm3ABCm1ABC将真值表中函数值为将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。反函数的最小项表达式。2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数1 1、卡诺图的构成、卡诺图的构成逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。用卡诺图来化简逻辑函数。将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。这样构成的图形就是卡诺图。卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项），即逻辑相邻变为几何相邻相同，又称为逻辑相邻项），即逻辑相邻变为几何相邻。每个每个3变量的最小项有变量的最小项有3个最小个最小项与它相邻，两个相邻最小项可以项与它相邻，两个相邻最小项可以合并消去一个变量：合并消去一个变量：每个每个4变量的最小项有变量的最小项有4个最小项与它相邻个最小项与它相邻最最左左列列的的最最小小项项与与最最右右列列的的相相应应最最小小项项也也是是相相邻邻的的最最上上面面一一行行的的最最小小项项与与最最下下面面一一行行的的相相应应最最小小项项也也是是相相邻邻的的两个相邻最小项可以合并消去一个变量两个相邻最小项可以合并消去一个变量逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并4个对角的最小项个对角的最小项 ，也是相邻的，也是相邻的2 2、逻辑函数在卡诺图中的表示、逻辑函数在卡诺图中的表示（1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余，其余的方格内填入的方格内填入0。m1m3m4m7m6m11m14m15（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入，其余的方格内填入0。变变换换为为与与或或表表达达式式说明说明说明说明：如果求得：如果求得了函数的反函数，了函数的反函数，则对中所包含的各则对中所包含的各个最小项，在卡诺图个最小项，在卡诺图相应方格内填入相应方格内填入0，其，其余方格内填入余方格内填入13 3、卡诺图的性质、卡诺图的性质（1）任何两个（）任何两个（21个）标个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。（2）任何）任何4个（个（22个）标个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，的相邻最小项，可以合并为一项，并消去并消去2个变量。个变量。（3）任何）任何8个（个（23个）标个）标1的相邻最小的相邻最小项，可以合并为一项，并消去项，可以合并为一项，并消去3个变量。个变量。小小小小结结结结：相相相相邻邻邻邻最最最最小小小小项项项项的的的的数数数数目目目目必必必必须须须须为为为为 个个个个才才才才能能能能合合合合并并并并为为为为一一一一项项项项，并并并并消消消消去去去去几几几几个个个个变变变变量量量量。包包包包含含含含的的的的最最最最小小小小项项项项数数数数目目目目越越越越多多多多，即即即即由由由由这这这这些些些些最最最最小小小小项项项项所所所所形形形形成成成成的的的的圈圈圈圈越越越越大大大大，消消消消去去去去的的的的变变变变量量量量也也也也就就就就越越越越多多多多，从从从从而而而而所所所所得得得得到到到到的的的的逻逻逻逻辑辑辑辑表表表表达达达达式式式式就就就就越越越越简简简简单单单单。这这这这就就就就是是是是利利利利用用用用卡卡卡卡诺诺诺诺图图图图化化化化简简简简逻逻逻逻辑辑辑辑函函函函数数数数的的的的基基基基本本本本原原原原理理理理。1 1、图形法化简的基本步骤、图形法化简的基本步骤逻辑表达式逻辑表达式或真值表或真值表卡诺图卡诺图 1 1 2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数合并最小项合并最小项圈圈越越大大越越好好，但但每每个个圈圈中中标标的的方方格格数数目目必必须须为为个个。同同一一个个方方格格可可同同时时画画在在几几个个圈圈内内，但但每每个个圈圈都都要要有有新新的的方方格格，否否则则它它就就是是多多余余的的。不不能能漏漏掉掉任任何何一一个个标标的的方方格格。最简与或表达式最简与或表达式冗余项冗余项 2 2 3 3 将代表每个圈将代表每个圈的乘积项相加的乘积项相加两点说明：两点说明：在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。简的，要经过比较、检查才能确定。不是最简不是最简最简最简 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。不是唯一的。无关项无关项无关项无关项：函数可以随意取值（可以为：函数可以随意取值（可以为0，也可以为，也可以为1）或不会出现）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为无关项，也叫做任意项，用符号的变量取值所对应的最小项称为无关项，也叫做任意项，用符号“”表示。表示。2 2、具有、具有无关项的化简无关项的化简例如：判断一位十进制数是否为偶数。例如：判断一位十进制数是否为偶数。不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现 说 明 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 0 1 1 0 10 0 1 0 1 1 1 0 01 0 1 0 0 1 0 1 10 0 0 1 1 1 0 1 01 0 0 1 00 1 0 0 10 0 0 0 11 1 0 0 01 0 0 0 0Y A B C DY A B C D输入变量输入变量A，B，C，D取值为取值为00001001时，逻辑函数时，逻辑函数Y有有确定的值，根据题意，偶数时为确定的值，根据题意，偶数时为1，奇数时为，奇数时为0。A，B，C，D取值为取值为1010 1111的情况不会出现或不允许出的情况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于无关项，在逻辑函数表达式中用现，对应的最小项属于无关项，在逻辑函数表达式中用“di”表表示。示。含有无关项的逻辑函数可以表示成如下形式：含有无关项的逻辑函数可以表示成如下形式：在逻辑函数的化简中，充分利用无关项可以得到更加简单的在逻辑函数的化简中，充分利用无关项可以得到更加简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中，逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中，无关项的取值可视具体情况取无关项的取值可视具体情况取0或取或取1。具体地讲，如果无关项对。具体地讲，如果无关项对化简有利，则取化简有利，则取1；如果无关项对化简不利，则取；如果无关项对化简不利，则取0。不利用无关项的不利用无关项的化简结果为：化简结果为：利用无关项的化利用无关项的化简结果为：简结果为：本节小结本节小结逻逻辑辑函函数数的的化化简简有有公公式式法法和和图图形形法法等等。图图形形法法就就是是利利用用函函数数的的卡卡诺诺图图来来对对逻逻辑辑函函数数化化简简，这这种种方方法法简简单单直直观观，容容易易掌掌握握，但但变变量量太太多多时时卡卡诺诺图图太太复复杂杂，图图形形法法已已不不适适用用。在在对对逻逻辑辑函函数数化化简简时时，充充分分利利用用无无关关项项可可以以得得到到十十分简单的结果。分简单的结果。