逻辑代数基础上课.pptx

1第3章 逻辑代数基础内容提要内容提要：（1）逻辑代数的基本概念。（2）逻辑代数的运算规则。（3）逻辑函数的代数化简法。（4）逻辑函数的标准形式。（5）最小项与最大项。（6）逻辑函数的卡诺图化简法。23.1 概述概述主要内容：主要内容：逻辑函数的基本概念 逻辑函数的4种表示方法 33.1.1逻辑函数的基本概念逻辑函数的基本概念 逻辑代数：英国数学家布尔于1854年提出了逻辑代数的基本思想，经过一百多年的发展，逻辑代数（也称“布尔代数”）已成为分析和设计数字电路不可缺少的数学工具。逻辑代数式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。在逻辑代数式中，等式右边的字母A、B、C、D等称为输入逻辑变量输入逻辑变量；等式左边的字母Y称为输出逻辑变量输出逻辑变量，字母上面没有非运算符的叫做原变量原变量，有非运算符的叫做反变量反变量。4逻辑函数：逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量如果对应于输入逻辑变量A、B、C、的每的每一组确定值，输出逻辑变量一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，就有唯一确定的值，则称则称Y是是A、B、C、的逻辑函数。的逻辑函数。注意注意注意注意：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变量还是函数，其取值都只能是不管是变量还是函数，其取值都只能是0或或1，并，并且这里的且这里的0和和1只表示两种不同的状态，没有数量只表示两种不同的状态，没有数量的含义。的含义。53.1.2逻辑函数的表示方法 （1）逻辑表达式）逻辑表达式 F=AB（2）真值表）真值表（3）逻辑电路图）逻辑电路图（4）波形图）波形图（5）卡诺图）卡诺图 63.2逻辑代数的运算规则 主要内容主要内容：l逻辑代数的交换律、结合律和分配律l逻辑代数的基本公式l摩根定理及其不同形式l逻辑代数的代入规则、反演规则和对偶规则73.2.1逻辑代数的基本定律 交换律交换律结合律结合律分配律分配律1.A+B=B+A2.A B=B A4.A+B+C=A+(B+C)=(A+B)+C3.ABC=(AB)C=A(BC)5.A(B+C)=AB+AC6.A+(BC)=(A+B)(A+C)8公式公式1 A0=0 A+1=1 公式公式2 A1=A A+0=A公式公式3 AA=A A+A=A公式公式4 公式公式5 公式公式6 3.2.2逻辑代数的基本公式 9公式公式7含义：含义：一项含一项含A，另一项含另一项含A非，这两项的其非，这两项的其余部分组成第三项，则该项多余。余部分组成第三项，则该项多余。证明方法：证明方法：103.2.3 摩根定理摩根定理 1.2.例例 应用摩根定理求：（1）输入变量“与”运算的取反等于各个输入变量取反的“或”运算。（2）输入变量“或”运算的取反等于各个输入变量取反的“与”运算。113.2.4逻辑代数的三个规则逻辑代数的三个规则 1代入规则代入规则任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则代入规则。2反演规则反演规则对于任何一个逻辑式F，若将其中所有的“”变成“+”，“+”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是。这个规则叫做反演规则反演规则。12使用反演规则时应注意遵守以下两个原则：l注意保持原函数中的运算符号的优先顺序不变。l不属于单个变量上的反号应保留不变。或不属于单个变量上的反号下面的函数当一个变量处理。例例 已知逻辑函数试求其反函数。13 对偶规则对偶规则 对于任何一个逻辑表达式对于任何一个逻辑表达式F F，如果将式中所有，如果将式中所有的的“”换成换成“+”+”，“+”+”换成换成“”，“0”0”换换成成“1”1”，“1”1”换成换成“0”0”，而变量保持不变，原，而变量保持不变，原表达式中的运算优先顺序不变。那么就可以得到表达式中的运算优先顺序不变。那么就可以得到一个新的表达式，这个新的表达式称为一个新的表达式，这个新的表达式称为F F的对偶式的对偶式F F*。这个规则叫做。这个规则叫做对偶规则。对偶规则。143.3逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法主要内容主要内容：l并项化简法l吸收化简法l消去化简法l配项化简法l各种化简方法的综合运用 153.4 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 l最小项与最大项的定义和相互关系l把逻辑函数转换为标准与或表达式l把逻辑函数转换为标准或与表达式l两种标准形式的互相转换l标准形式与真值表的互相转换 主要内容主要内容：163.4.1最小项与最大项 n个变量的逻辑函数中，其每一个包含个变量的逻辑函数中，其每一个包含全部变量全部变量的与项称为的与项称为最小项最小项；其每一个包含其每一个包含全部变量全部变量的或项称为的或项称为最大项最大项。n变量逻辑函数的全部最小项、最大项均为变量逻辑函数的全部最小项、最大项均为2n个。个。最小项与最大项的关系：最小项与最大项的关系：下标下标i相同的最小项与最大项互补，即相同的最小项与最大项互补，即:如：如：即为即为:。173.4.2 标准与或表达式标准与或表达式 任何一个逻辑函数都可以表示成最小项之和的形式，称为标准与或表达式。例例 展开为最小项之和的形式。解：183.4.3 标准或与表达式 任何一个逻辑函数都可以表示成任何一个逻辑函数都可以表示成最大项之积最大项之积的的形式，称为标准或与表达式。形式，称为标准或与表达式。例例 将（1）展开为最大项之积的形式。（2）193.4.4 两种标准形式的相互转换两种标准形式的相互转换 对于一个对于一个n变量的逻辑函数变量的逻辑函数F，若，若F的标准与或式由的标准与或式由K个最小项相或构成，则个最小项相或构成，则F的标准或与式一定由的标准或与式一定由 个个最大项相与构成。若标准与或式中不含最大项相与构成。若标准与或式中不含mi，则标准，则标准或与式中一定含或与式中一定含Mi。例例3-18 将标准与或表达式表示为标准或与表达式。解：203.4.5 逻辑函数表达式与真值表逻辑函数表达式与真值表 的相互转换的相互转换 1 1由真值表求对应的逻辑函数表达式由真值表求对应的逻辑函数表达式 如果给出了函数的真值表，则只要将如果给出了函数的真值表，则只要将函数值为函数值为1的那些最小项相加，便是函数的那些最小项相加，便是函数的标准与或表达式；的标准与或表达式；将函数值为将函数值为0的那些最大项相乘，便的那些最大项相乘，便是是函数的标准或与表达式。函数的标准或与表达式。212 2由逻辑函数表达式求对应的真值表由逻辑函数表达式求对应的真值表首首先先在在真真值值表表中中列列出出输输入入变变量量二二进进制制值的所有可能取值组合；值的所有可能取值组合；其其次次将将逻逻辑辑函函数数的的与与或或（或或与与）表表达达式转换为式转换为标准与或标准与或（或与或与）形式；）形式；最最后后将将构构成成标标准准与与或或（或或与与）形形式式的的每每个个最最小小项项（最最大大项项）对对应应的的输输出出变变量处填上量处填上1 1（0 0），其它填上），其它填上0 0（1 1）。）。223.5逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法l2变量、3变量和4变量卡诺图l与或表达式的卡诺图表示l与或表达式的卡诺图化简l或与表达式的卡诺图化简l含无关项逻辑函数的卡诺图化简主要内容主要内容：233.5.1卡诺图l卡诺图是一种描述逻辑函数的卡诺图是一种描述逻辑函数的方格矩阵方格矩阵，l每个方格代表一个最小项或最大项。每个方格代表一个最小项或最大项。l它和真值表相似，包含了输入变量的所有可能取值它和真值表相似，包含了输入变量的所有可能取值组合以及每种取值组合下的输出结果。组合以及每种取值组合下的输出结果。l卡诺图中，方格的数目等于最小项或最大项的总数，卡诺图中，方格的数目等于最小项或最大项的总数，即等于即等于2n(n为输入变量数为输入变量数)。l所有方格按照所有方格按照格雷码顺序格雷码顺序进行行和列的排列，使得进行行和列的排列，使得每行和每列的相邻方格之间仅有一位变量发生变化。每行和每列的相邻方格之间仅有一位变量发生变化。l2 2变量、变量、3 3变量和变量和4 4变量卡诺图变量卡诺图 2425BCA000111100m0m1m3m21m4m5m7m6CAB0100m0m101m2m311m6m710m4m5 3变量卡诺图CDAB0001111000m0m1m3m201m4m5m7m611m12m13m15m1410m8m9m11m104变量卡诺图263.5.2 与或表达式的卡诺图表示与或表达式的卡诺图表示 对于标准形式的与或表达式，卡诺图的表示方法是：对于标准形式的与或表达式，卡诺图的表示方法是：把表达式中的每一个最小项所对应的方格中填把表达式中的每一个最小项所对应的方格中填入入1，其余方格填入，其余方格填入0，就得到了该逻辑函数的卡诺，就得到了该逻辑函数的卡诺图。图。例例 用卡诺图表示下面的标准与或表达式。用卡诺图表示下面的标准与或表达式。对于非标准形式的与或表达式，卡诺图的表示对于非标准形式的与或表达式，卡诺图的表示方法是方法是：（1）转换为）转换为标准形式；标准形式；（2）直接画出。）直接画出。27方法一：方法一：将一般形式的逻辑函数化为标准与或表达式；将一般形式的逻辑函数化为标准与或表达式；BCA000111100011111101答 案28CDAB00011110000000011100111111100110答 案方法二方法二：首先化为一般的与或表达式，然后在卡诺图上对：首先化为一般的与或表达式，然后在卡诺图上对每一个与项所每一个与项所包含的那些最小项包含的那些最小项（该与项就是这些最小项（该与项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入的公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入，其余的方格内填入0。29变换为与或表达式所包含的那些最小项所包含的那些最小项303.5.3 与或表达式的卡诺图化简与或表达式的卡诺图化简卡诺图化简的步骤卡诺图化简的步骤l第一步：对卡诺图中的第一步：对卡诺图中的“1”进行分组，并将每组进行分组，并将每组用用“圈圈”围起来。根据以下规则分组：围起来。根据以下规则分组：（1）每个圈内只能含有）每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3,.）个最小项。）个最小项。（2）圈内的每一个最小项必须和该圈中的一个或多）圈内的每一个最小项必须和该圈中的一个或多个最小项逻辑相邻，但该圈中的所有最小项并不一个最小项逻辑相邻，但该圈中的所有最小项并不一定必须相互逻辑相邻。定必须相互逻辑相邻。（3）所有取值为）所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取的方格均要被圈过，即不能漏下取值为值为1的方格。但它们可以多次被圈。的方格。但它们可以多次被圈。（4）圈的个数尽量少，圈内方格的个数尽可能多。）圈的个数尽量少，圈内方格的个数尽可能多。3132333435l第二步：由每个圈得到一个合并的第二步：由每个圈得到一个合并的与项与项：该与项由该圈中仅仅以一种形式（原变量该与项由该圈中仅仅以一种形式（原变量或者反变量）出现的所有变量构成。即消去或者反变量）出现的所有变量构成。即消去同时以原变量和反变量形式出现的变量。同时以原变量和反变量形式出现的变量。留留“同同”去去“变变”。l第三步：将上一步各合并与项相加，即得第三步：将上一步各合并与项相加，即得所求的最简所求的最简“与或与或”表达式。表达式。第二步及第三步见前面各例子。第二步及第三步见前面各例子。36例子：例子：逻辑表达式逻辑表达式或真值表或真值表卡诺图卡诺图 1 1 37合并逻辑相邻最小项合并逻辑相邻最小项最简与或表达式最简与或表达式冗余项 2 2 3 3 将每个圈对应的与项相加38两点说明：两点说明：(a)在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。最简的，要经过比较、检查才能确定。不是最简不是最简最简最简39(b)在有些情况下，不同圈法得到的与或表在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。式不是唯一的。403.5.4 或与表达式的卡诺图化简或与表达式的卡诺图化简1 1或与表达式的卡诺图表示或与表达式的卡诺图表示 把表达式中的每一个最大项所对应的方格中填入把表达式中的每一个最大项所对应的方格中填入0，其余方格填入其余方格填入1，就得到了该逻辑函数的卡诺图。，就得到了该逻辑函数的卡诺图。41CDAB00011110000111010111111111100111答 案422 2或与表达式的卡诺图化简或与表达式的卡诺图化简（1）若要求出最简）若要求出最简“与或与或”表达式表达式 方法与前面相同。方法与前面相同。（2）若要求出最简）若要求出最简“或与或与”表达式表达式对对卡卡诺诺图图中中的的“0”进进行行分分组组而而产产生生合合并并的的或或项项，将将各各合合并并的的或或项项相相与与，即即得得所所求求的的最最简简“或或与与”表表达式。达式。43CDAB0001111000111101011111011110111144综合例题综合例题思路：分别画出X、Y的卡诺图，然后由它们得出Z的 卡诺图。45CDAB00011110000010010010110011100010CDAB00011110001101011110110110100111CDAB00011110000000010010110010100010X的卡诺图Y的卡诺图Z的卡诺图46 有时，在真值表内对应于变量的某些取值组合有时，在真值表内对应于变量的某些取值组合下，函数的值可以是下，函数的值可以是任意的任意的，或者这些变量的取，或者这些变量的取值组合值组合根本不会出现根本不会出现。这些变量的取值组合所对应的最小项或最大项这些变量的取值组合所对应的最小项或最大项称为称为“无关项无关项”或或“任意项任意项”。用符号。用符号“d”、“”或或“”表示。表示。3.5.5 含无关项逻辑函数的卡诺图化简含无关项逻辑函数的卡诺图化简含无关项的逻辑函数有如下几种表示方法：含无关项的逻辑函数有如下几种表示方法：（1）最小项表达式：）最小项表达式：（2 2）最大项表达式：最大项表达式：47不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现 说说 明明 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 0 1 1 0 10 0 1 0 1 1 1 0 01 0 1 0 0 1 0 1 10 0 0 1 1 1 0 1 01 0 0 1 00 1 0 0 10 0 0 0 11 1 0 0 01 0 0 0 0Y A B C DY A B C D例如：判断一位十进制数（8421BCD码）是否为偶数：4849在化简过程中，无关项的取值可视具体情况取在化简过程中，无关项的取值可视具体情况取0或取或取1。具体地讲，如果无关项对化简有利，则取具体地讲，如果无关项对化简有利，则取1；如果无关；如果无关项对化简不利，则取项对化简不利，则取0。不利用无关项不利用无关项的化简结果为：的化简结果为：利用无关项的化利用无关项的化简结果为：简结果为：50例题：化简：例题：化简：约束条件：约束条件：答案：答案：51一、逻辑函数的五种非标准形式一、逻辑函数的五种非标准形式及相互转换及相互转换小结小结52二、逻辑函数的两种标准形式及相互转换二、逻辑函数的两种标准形式及相互转换三、逻辑函数的两种化简方法三、逻辑函数的两种化简方法 代数法：掌握代数法：掌握5种基本方法种基本方法 卡诺图法：卡诺图法：由任意一种逻辑函数形式由任意一种逻辑函数形式化简得到化简得到“与或与或”表达表达式和式和“或与或与”表达式。表达式。四、逻辑函数的五种等效表示方法四、逻辑函数的五种等效表示方法 逻辑表达式、真值表、逻辑电路图、逻辑表达式、真值表、逻辑电路图、卡诺图、卡诺图、波形图波形图