酉正交变换.pptx

Department of Mathematics 内内内内 积积积积 空空空空 间间间间第第第第 二二二二 章章章章Department of Mathematics教教 学学 内内 容容 和和 基基 本本 要要 求求1.理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系.3.理解酋空间的概念，会判定空间是否酋空间的方法，理解酋空间的概念，会判定空间是否酋空间的方法，2.了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的判定了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的判定 方法方法.4.掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质 重点重点:内积空间的概念；内积空间的概念；正交基及子空间的正交关系正交基及子空间的正交关系难点难点:正交变换的判定方法正交变换的判定方法Department of Mathematics定义定义6：设设 为一个为一个 阶复矩阵，如果其满足阶复矩阵，如果其满足则称则称 是是酉矩阵酉矩阵，一般记为，一般记为定义定义7：设设 为一个为一个 阶实矩阵，如果其满足阶实矩阵，如果其满足则称则称 是是正交矩阵正交矩阵，一般记为，一般记为 酉矩阵正交矩阵酉矩阵正交矩阵Department of Mathematics酉矩阵与正交矩阵的性质：酉矩阵与正交矩阵的性质：设设 ，那么，那么Department of Mathematics这里这里(ii)(i)设设有有 定理定理1 设设V是是 维欧氏维欧氏(酉酉)空间空间 为为V的一组标准正交基，则的一组标准正交基，则定理定理2:维欧氏维欧氏(酉酉)空间空间V中的一组基中的一组基 为标准正交为标准正交基基当且仅当其度量矩阵当且仅当其度量矩阵 Department of Mathematics(定理定理1)维欧氏维欧氏(酉酉)空间中任一个正交向量组空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基都能扩充成一组正交基.标准正交基的构造标准正交基的构造 施密特施密特(Schmidt)正交化过程正交化过程 (定理定理2)设设 欧氏欧氏(酉酉)空间空间 的线性无关的线性无关组组,则在则在 中存在正交向量组中存在正交向量组 ,且且其中其中:为单位上三角阵为单位上三角阵.Department of MathematicsSchmidt正交化过程正交化过程:化成正交向量组化成正交向量组先把线性无关的向量组先把线性无关的向量组Department of Mathematics再单位化得标准正交向量组再单位化得标准正交向量组不难证明不难证明:是是V中正交向量中正交向量Department of Mathematics子空间的正交子空间的正交1,定义定义:2)与与 是欧氏是欧氏(酉酉)空间空间V中的两个子空间，如果对中的两个子空间，如果对则称子空间则称子空间 与与 为为正交的正交的，记作，记作恒有恒有1)设设 是欧氏是欧氏(酉酉)空间空间V中的子空间中的子空间,如果对如果对 恒有恒有则称向量与子空间则称向量与子空间 正交正交，记作，记作Department of Mathematics 当且仅当当且仅当 中每个向量都与中每个向量都与 正交正交 当当 且且 时，必有时，必有 说明说明:若若 ,则则:Department of Mathematics2,定理定理:(1),设酉设酉(欧氏欧氏)空间空间 ,为标准正交基为标准正交基,则则:(2),设设 ,则则:1.正交补的定义：正交补的定义：如果欧氏空间如果欧氏空间V的子空间的子空间 满足并满足并且且则称则称 为为 的的正交补正交补.Department of Mathematics2 维欧氏空间维欧氏空间V的每个子空间的每个子空间 都有都有 唯一正交补唯一正交补.3.两两正交的子空间的和必是直和两两正交的子空间的和必是直和4.子空间子空间W的正交补记为即的正交补记为即 5,维欧氏空间维欧氏空间V的子空间的子空间W满足满足:i)ii)iii)W的正交补的正交补 必是必是W的余子空间的余子空间.Department of Mathematics定义：定义：设设 是一个是一个 维酉空间，维酉空间，是是 的一个的一个变换，如果对任意的变换，如果对任意的 都有都有则称则称 是是 的一个的一个酉变换。酉变换。1.酉变换的定义酉变换的定义2.4 酉酉(正交正交)变换、正交投影变换、正交投影一一,酉变换与正交变换酉变换与正交变换Department of Mathematics定理定理1：酉（正交）变换是线性变换酉（正交）变换是线性变换定理定理2：设设 是一个是一个 维酉（正交）空间，维酉（正交）空间，是是 的一个的一个 线性变换，那么下列陈述等价：线性变换，那么下列陈述等价：（1）是酉（正交）变换；是酉（正交）变换；(2)（3）将）将 的标准正交基底变成标准正交基底；的标准正交基底变成标准正交基底；（4）酉（正交）变换在标准正交基下的矩阵表示为）酉（正交）变换在标准正交基下的矩阵表示为 酉（正交）矩阵。酉（正交）矩阵。推论：推论：设设 为为 阶酉（正交）矩阵，则阶酉（正交）矩阵，则 为为 上的酉（正交）变换上的酉（正交）变换Department of Mathematics二二.正交投影正交投影定义定义:设酉（欧氏）空间设酉（欧氏）空间 为为 的线性变换，的线性变换，有：有：则称则称 为为 到到 的的正交投影正交投影,记为记为性质性质1 正交投影是线性变换正交投影是线性变换 性质性质2 设设 是酉（欧氏）空间是酉（欧氏）空间 到到 的正交的正交 投影，则：投影，则：Department of Mathematics