-线性相关性的结论极大线性无关组.pptx

一、线性相关性的结论一、线性相关性的结论二、极大线性无关组二、极大线性无关组三、向量组的线性表示与等价三、向量组的线性表示与等价 2 2 线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组一一、线性相关性的结论、线性相关性的结论 定理定理1 若若向量组向量组 线性线性无关无关，而向量组而向量组线性线性相关相关，则，则 可由向量组可由向量组唯一线性唯一线性表示表示.证明：证明：于是有于是有 线性相关，线性相关，线性表示线性表示.向量向量 可由可由 2 2 线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组假设有两个不同的线性表示，即假设有两个不同的线性表示，即（再证唯一性）（再证唯一性）线性无关线性无关.两式相减，得两式相减，得.2 2 线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组 线性表示线性表示，则则推论推论1 若若向量向量 可由可由 表示式唯一的充要条件是表示式唯一的充要条件是 线性无关线性无关.证明：证明：（必要性）（必要性）（反证法）（反证法）线性相关线性相关.则存在不全为零的数则存在不全为零的数 使使 线性表示线性表示.向量向量 可由可由 2 2 线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组是不全为零的数是不全为零的数.这与已知相矛盾！这与已知相矛盾！所以假设不成立所以假设不成立.线性无关线性无关.2 2 线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组设有向量设有向量 与向量组与向量组 ，则，则推论推论2 1)当当 时，时，唯一线性表示唯一线性表示.向量向量 可由可由 2)当当 时，时，线性表示但不唯一线性表示但不唯一.向量向量 可由可由 3)当当 时，时，线性表示线性表示.向量向量 不能由不能由 2 2 线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组问当问当 取何值时，取何值时，例例1.设设 唯一线性表示唯一线性表示.i)i)向量向量 可由可由 线性表示，但不唯一线性表示，但不唯一.ii)ii)向量向量 可由可由 线性表示线性表示.iii)iii)向量向量 不可由不可由 2 2 线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组因为解：2 2 线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组所以 唯一线性表示唯一线性表示.向量向量 可由可由 线性表示，但不唯一线性表示，但不唯一.向量向量 可由可由 线性表示线性表示.向量向量 不可由不可由 2 2 线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组某一部分组线性相关某一部分组线性相关 原向量组线性相关原向量组线性相关.定理定理2 (部分相关，整体相关部分相关，整体相关)推论推论 (整体无关，部分无关整体无关，部分无关)设设 定义定义1.接长向量接长向量向量组线性无关向量组线性无关 任一部分组皆线性无关任一部分组皆线性无关.称称 是是 的接长向量的接长向量.2 2 线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组定理定理3 (无关组添加分量仍无关无关组添加分量仍无关)推论推论 (相关组减少分量仍相相关组减少分量仍相关关)无关向量组减少分量可能变成相关向量组；相无关向量组减少分量可能变成相关向量组；相关向量组增加分量可能变成无关向量组关向量组增加分量可能变成无关向量组.注注：若若k维向量组维向量组 线性无关，则接长向量组线性无关，则接长向量组 也线性无关也线性无关.若若k+l维向量组维向量组 线性相关，则缩短向量组线性相关，则缩短向量组 也线性相关也线性相关.2 2 线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组定理定理2、3的解析图的解析图 相关组相关组相关组相关组相关组相关组加加向向量量减减分分量量无关组无关组无关组无关组减减向向量量加加分分量量无关组无关组 2 2 线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组i)线性无关；线性无关；极大线性无关组极大线性无关组，简称，简称极大无关组极大无关组.一个部分组一个部分组若满足若满足 定义定义2为为一个向量组，它的一个向量组，它的设设线性表示线性表示；ii)对任意的对任意的 可由可由,二、极大线性无关组二、极大线性无关组则称则称 为向量组为向量组 的一个的一个（无关性）（无关性）（极大性）（极大性）2 2 线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关线性相关.1）定义中定义中ii)与下面的与下面的ii)是等价的是等价的2）对向量组的讨论归结为对其极大无关组的讨论）对向量组的讨论归结为对其极大无关组的讨论.4）n维单位坐标向量组是所有维单位坐标向量组是所有n维向量组成的向量维向量组成的向量组的一个极大无关组组的一个极大无关组.3）任何含有非零向量的向量组一定有极大无关组）任何含有非零向量的向量组一定有极大无关组.注：注：ii)对任意的对任意的,2 2 线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组例例3.设设 求向量组求向量组 的一个极大线性无关组的一个极大线性无关组.注：注：1）求极大无关组的方法）求极大无关组的方法.2）一个向量组的极大无关组不是唯一的）一个向量组的极大无关组不是唯一的.2 2 线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组例例4求向量组求向量组的极大无关组的极大无关组.解：解：作矩阵作矩阵 对矩阵对矩阵A作初等行变换化行阶梯形（或行最作初等行变换化行阶梯形（或行最简形）简形）2 2 线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组由矩阵由矩阵 B 知线性无关且为极大无关组知线性无关且为极大无关组.2 2 线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组定义定义3三、向量组的线性表示与等价三、向量组的线性表示与等价向量组等价向量组等价.若向量组若向量组 中每一个向量中每一个向量 若两个向量组可以互相线性表示，则称这两个若两个向量组可以互相线性表示，则称这两个可由向量组可由向量组 线性表示；线性表示；皆可由向量组皆可由向量组 线性表示，则称向量组线性表示，则称向量组 2 2 线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组1）向量组和它的任一极大无关组等价）向量组和它的任一极大无关组等价.2）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身.3）一个向量组的任意两个极大无关组都等价）一个向量组的任意两个极大无关组都等价.注注4）向量组之间的等价关系具有：向量组之间的等价关系具有：反身性反身性 对称性对称性 传递性传递性 2 2 线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组 推论推论1 若向量组若向量组 可由可由 线性表示，则线性表示，则 可由可由 线性表示线性表示 的充要条件是矩阵的充要条件是矩阵 的秩等于的秩等于矩阵矩阵的秩的秩.判别定理判别定理 定理定理4 推论推论2 与与 等价的充要条件是等价的充要条件是 2 2 线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组 推论推论3 若向量组若向量组 可由可由 推论推论5 若若 与与 等价，且它们等价，且它们 线性表示，且线性表示，且 则则 线性相关线性相关.推论推论4 若向量组若向量组 可由可由 线性表示，且线性表示，且 线性无关，则线性无关，则 都线性无关，则都线性无关，则 推论推论6一个向量组的任意两个极大无关组所含一个向量组的任意两个极大无关组所含的向量的个数相同的向量的个数相同.2 2 线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组例例4 判断判断与与是否等价是否等价.例例 5 与与 等价的充要条件是等价的充要条件是 2 2 线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组线性相关性的结论、极大线性无关组作业作业P105 习题习题3 6、15