44Romberg积分法.pptx

一、一、Richadson外推加速法外推加速法二、二、Romberg公式公式三、梯形法的递推化三、梯形法的递推化4-4 Romberg算法算法复化梯形法的误差公式当复化梯形法的误差公式当h 0时为：时为：即即积积分分值值Tn的的截截断断误误差差大大致致为为O(h2)，事事实实上上有有一、李查逊一、李查逊(Richardson)外推加速法外推加速法定理定理设设 ，则成立则成立式中系数式中系数 与与h无关无关.李查逊外推加速法基于上述原理。李查逊外推加速法基于上述原理。李查逊外推加速法的处理过程：李查逊外推加速法的处理过程：由由那么那么可知可知T(h)I 是二阶收敛的是二阶收敛的4减减则得则得这样构造的这样构造的T1(h)I 是四阶收敛的是四阶收敛的这里的这里的均与均与h无关无关这里的这里的就是辛甫生公式。就是辛甫生公式。又根据又根据有有若构造若构造则又可以进一步消去展开式中的则又可以进一步消去展开式中的 h4 项，而有项，而有这这样样构构造造出出的的 T2(h)，其其实实就就是是柯柯特特斯斯公公式式，它与积分值它与积分值I的逼近阶为六阶。的逼近阶为六阶。如如此此继继续续下下去去，每每加加速速一一次次，误误差差的的量量级级便提高便提高2阶，这就是阶，这就是李查逊外推加速法李查逊外推加速法。定义：定义：利用李查逊（利用李查逊（Richardson）外推加速法将低阶）外推加速法将低阶求积公式通过加密节点，再加工成高阶的求积公式，求积公式通过加密节点，再加工成高阶的求积公式，统称为统称为龙贝格（龙贝格（Romberg）公式）公式。若记若记T0(h)=T(h)，则，则Richardson加速法可表示为加速法可表示为书书p112表表4-4 T 表表注：这里应要求注：这里应要求0h1.二、龙贝格（二、龙贝格（Romberg）公式浅析）公式浅析复化梯形法的误差公式当复化梯形法的误差公式当h 0时为：时为：即积分值即积分值Tn的截断误差大致与的截断误差大致与h2成正比，因成正比，因此当步长二分后，截断误差将减至原有误差此当步长二分后，截断误差将减至原有误差的的1/4，有，有整理得整理得即即上式说明上式说明T2n的误差大致等于的误差大致等于 如果如果用这个误差用这个误差作为作为T2n的一种补偿，可以的一种补偿，可以期望所得到的期望所得到的可能是比可能是比T2n更好的结果。更好的结果。事实上，当事实上，当n=1时时那么那么 其实质究竟是什么呢？其实质究竟是什么呢？在在一一个个区区间间上上这这样样做做就就获获得得了了Simpson公公式式；这这又又表表明明若若用用复复化化梯梯形形法法二二分分前前后后的的两两个个积积分分值值Tn与与T2n组合成组合成 该就是复化辛甫生公式该就是复化辛甫生公式Sn。即。即*再考察复化辛甫生公式的补偿法再考察复化辛甫生公式的补偿法复化辛甫生公式的误差公式当复化辛甫生公式的误差公式当h 0时为：时为：即积分值即积分值Sn的截断误差大致与的截断误差大致与h4成正比，因成正比，因此当步长二分后，截断误差将减至原有误差此当步长二分后，截断误差将减至原有误差的的1/16，有，有整理得整理得可可以以验验证证这这样样的的组组合合就就是柯特斯公式是柯特斯公式这就是说用辛甫生法二分前后的两个积分值这就是说用辛甫生法二分前后的两个积分值Sn与与S2n组合成柯特斯公式组合成柯特斯公式Cn。即。即重复同样的手续，依据柯特斯公式的误差阶重复同样的手续，依据柯特斯公式的误差阶为为h6，可进一步导出下列，可进一步导出下列龙贝格龙贝格(Romberg)公式公式：综合上面的加工过程，有综合上面的加工过程，有实质：实质：将粗糙的梯形公式值逐步加工成精度较将粗糙的梯形公式值逐步加工成精度较 高的公式。高的公式。对梯形公式加工：对梯形公式加工：对辛甫生公式加工：对辛甫生公式加工：对柯特斯公式加工：对柯特斯公式加工：结论：结论：来源于：李查逊（来源于：李查逊（RichardsonRichardson）外推加速法外推加速法对基本求积公式再加工对基本求积公式再加工取得较高精度的龙贝格公式取得较高精度的龙贝格公式 前前面面介介绍绍的的复复化化求求积积公公式式对对提提高高精精度度是是行行之之有有效效的的，但但使使用用时时必必须须给给出出步步长长h（先先验验估估计计）。为为了了尽尽量量减减少少计计算算量量，可可通通过过逐逐次次加加密密节节点点，即即减减小小步步长长继继续续进进行行计计算算以以便便达达到到要要求求的的精精度度（后后验验估估计计）。此此时时在在计计算算中中如如何何减减少少逐逐次次加加密密节节点点后后的的计计算算量量就就很很有有意意义义。特特别别是是实实施施Romberg算算法过程中。法过程中。三、梯形法的递推化三、梯形法的递推化1.定义：变步长求积法定义：变步长求积法 变步长求积法就是在步长逐次分半（即变步长求积法就是在步长逐次分半（即步长二分）的过程中，反复利用复化求积公式步长二分）的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求或其他目的（如或其他目的（如Romberg算法算法）。）。下面讨论下面讨论变步长的梯形法变步长的梯形法的的计算规律计算规律。2.变步长的梯形法变步长的梯形法设将区间设将区间a,b分为分为n等份，共有等份，共有 n+1 个分点个分点其步长其步长，在每个小区间，在每个小区间xk，xk+1上上用梯形公式计算为用梯形公式计算为如果再二分一次，则步长减半，即如果再二分一次，则步长减半，即h/2，分点，分点增至增至2n+1个，记区间个，记区间xk，xk+1上上经过二分后新增分点为经过二分后新增分点为用复化梯形公式求得该区间上的积分值为用复化梯形公式求得该区间上的积分值为故在整个区间上的积分值为故在整个区间上的积分值为即即只只需需计计算算新新增增分分点点的的函数值：承袭性函数值：承袭性这这里里的的h是是二二分前的步长分前的步长已算出已算出举例举例计计算算积积分分值值 至至具具有有7位位有有效数字。效数字。详见详见书上书上p110例例5,计算时要注意公式中步长的含义计算时要注意公式中步长的含义.请观察：请观察：本例最后结果二分多少次？本例最后结果二分多少次？共有多少个分点？共有多少个分点？答：答：二分二分10次次,共有共有210+1=1025个分点个分点,将区间等分将区间等分1024份。份。注：注：本例提供了本例提供了精确值供作比较精确值供作比较；事后估计法事后估计法；事先估计法事先估计法变步长梯形法的优缺点：变步长梯形法的优缺点：优点优点算法简单，便于编程算法简单，便于编程缺点缺点收敛速度缓慢收敛速度缓慢可用于龙贝格公式可用于龙贝格公式作业：作业：P136 P136 习题习题 8 8（2 2）