515弦割法.pptx

湖南商学院15.1.5 弦割法 在牛顿迭代格式(5-14)中，将曲线y=f(x)上点(xk,f(xk)的切线斜率 ，改为其上两点连线(弦)的斜率则得双点或单点弦割法迭代格式 （5-19）湖南商学院2对于例5-1方程x3-2x-5=0，取x0=3,x1=2,则按双点弦割法(5-19)的迭代序列X0=3,x1=2,x2=2.058823529,x3=2.096558637X4=2.094510554,x5=2.094551435,x6=2.094551482=x7单点弦割法收敛较慢；同样取x0=3,x1=2,一直算到x23才有x23=2.094551482=x24（5-20）湖南商学院3弦割法迭代公式也可由函数的近似替代得出。按牛顿插值公式 (5-21)取两项近似替代 ，得近似线性方程令所得 的近似值为xk+1，则得式(5-19)。取三项近似替代 ，令所得 靠近xk的近似值为xk+1，则得米勒(Miller)迭代格式。另外，对y=f(x)的反函数 ,湖南商学院4按牛顿插值公式 (5-22)取两项作为xk+1，也可得式(5-19)；取三项作为xk+1，则得改进弦割法迭代格式(5-23)对于例5-1方程，取x0=3,x1=2,x2=2.058823529(由弦割法(5-19求得），则按式(5-23)得湖南商学院5X3=2.095658932,x4=2.094553689,x5=2.094551482=x6可以证明，双点弦割法(5-19)具有局部收敛性，且收敛阶数 。事实上，按牛顿 插值公式(5-22)，湖南商学院6故由此显然xk-1,xk充分靠近 时当 ，由上式得湖南商学院7故知1+p-p2=0，从而单点弦割法(5-20)实际上是一种简单迭代法，其迭代函数其中 在x0与 之间，可见一般线性收敛，但 变化不大时 ，收敛仍可能较快。弦割法收敛阶数虽然不如牛顿法高，但每迭代一步只需计算一次函数值f(xk)，不需计算导数值，因此效率较高，实际问题经常使用。湖南商学院8在几何上，弦割法求xk+1的过程，相当于过曲线y=f(x)上两点A(xk,f(xk)和B(f(xk-1,f(xk-1)或(x0,f(x0)作直线，用弦AB与x轴交点的横坐标作为根 的新近似值xk+1。