大学物理下10概要.pptx

2013-2014 2013-2014 第一学期第一学期 张福俊张福俊Flash tracking the key points of last lecture简谐振动的特征简谐振动的特征：某个物理量存在空间的重复性和某个物理量存在空间的重复性和时间的周期性。时间的周期性。简谐振动方程的推导：简谐振动方程的推导：胡克定律和牛顿第二定律胡克定律和牛顿第二定律简谐振动的特征参量：简谐振动的特征参量：振幅振幅 周期周期 相位相位简谐振动的简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法要点要点:1：矢量逆时针旋转：矢量逆时针旋转2：矢量：矢量 与与X轴正向夹角为简谐振动的初相位轴正向夹角为简谐振动的初相位3：矢量：矢量 转动角速度转动角速度 为简谐振动的角速度为简谐振动的角速度4：1.弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且等于总弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且等于总机械能的一半。机械能的一半。2.任一简谐振动总能量与任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比振幅的平方成正比。3.振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还反映振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。了振动系统总能量的大小及振动的强度。简谐运动的能量简谐运动的能量例例1:设杆的质量可忽略不计，杆的一端用铰链连接，设杆的质量可忽略不计，杆的一端用铰链连接，使杆可绕垂直纸面的轴在铅垂面内摆动，杆的另一端固使杆可绕垂直纸面的轴在铅垂面内摆动，杆的另一端固定有质量为定有质量为m的摆球。当摆在铅垂位置时，与摆连接的两的摆球。当摆在铅垂位置时，与摆连接的两根水平放置的轻弹簧都处于没有变形的状态，假定摆在根水平放置的轻弹簧都处于没有变形的状态，假定摆在小角度摆动时，小角度摆动时，角按余弦函数规律随时间变化。试求角按余弦函数规律随时间变化。试求摆在小摆角摆动时的摆在小摆角摆动时的固有频率固有频率。两根弹簧的劲度系数均。两根弹簧的劲度系数均为为k。mgMNkkal 解：用机械能守恒定律解：用机械能守恒定律 取水平面取水平面MN为重力零势能面，为重力零势能面，摆在最低位置时摆在最低位置时:摆在最大偏离位置时摆在最大偏离位置时按题意设小角度摆动为谐振动，以按题意设小角度摆动为谐振动，以 表示其振动频率。表示其振动频率。(2)式代入式代入(1)式式kkal 或写出系统任意时刻的能量或写出系统任意时刻的能量对此式求导对此式求导例题例题2：一个做简谐振动的物体，振幅为一个做简谐振动的物体，振幅为A，弹簧的劲度，弹簧的劲度系数为系数为k，当物体偏离平衡位置的位移为，当物体偏离平衡位置的位移为A，并向，并向平衡位置运动平衡位置运动 时，物体的动能是多少？时，物体的动能是多少？根据机械能守恒定律：根据机械能守恒定律：EEkEp解：解：首先计算此时的势能：首先计算此时的势能：系统总能量：系统总能量：此时动能：此时动能：14-2 谐振动的合成谐振动的合成14-2-1 同方向同频率简谐振动的合成同方向同频率简谐振动的合成14-2-2 同方向不同频率同方向不同频率简谐简谐振动的合成振动的合成 拍拍 14-2-3 两个垂直方向上的简谐振动的合成两个垂直方向上的简谐振动的合成本节内容：本节内容：14-2-1 14-2-1 同方向同频率简谐振动的合成同方向同频率简谐振动的合成合成振动仍为合成振动仍为简谐振动。简谐振动。利用三角函数公式利用三角函数公式 当当A A1 1、A A2 2同时以同时以的角速度转的角速度转动时，动时，A A同样以同样以的角速度转动。的角速度转动。合矢量与合矢量与x x轴正反向的夹角为合振轴正反向的夹角为合振动的初相。动的初相。合矢量的模为振幅。合矢量的模为振幅。用旋转矢量法描述合振动用旋转矢量法描述合振动思思 考考 题：题：多个同方向、同频率谐振动合成多个同方向、同频率谐振动合成多个同方向、同频率谐振动合成多个同方向、同频率谐振动合成做法做法：将多个旋转矢量：将多个旋转矢量合成，求得合矢量。合成，求得合矢量。讨论两个特例讨论两个特例 (1)两个振动同相两个振动同相由由xtoT2T合成振动合成振动由由(2)两个振动反相两个振动反相如果如果 则则 A=0toT2T合成振动合成振动一般情况一般情况为其他任意值，为其他任意值，上述结果说明两个振动的相位差对合振动的振幅上述结果说明两个振动的相位差对合振动的振幅起着重要作用。起着重要作用。合成振动合成振动tT2To例例1：求求两同方向、同频率谐振动两同方向、同频率谐振动X2=2cos(3t+/3)、X1=4cos(3t)的合的合成谐振动方程成谐振动方程。解：合成后解：合成后不变，不变，X=Acos(3t+)A1=4、A2=2、1=0、2=/3合振动方程合振动方程O O例例2:2:两个沿同一直线且具有相同振幅和周期的谐振两个沿同一直线且具有相同振幅和周期的谐振动合成后，产生一个具有相同振幅的谐振动，求原来动合成后，产生一个具有相同振幅的谐振动，求原来两个振动的相位差。两个振动的相位差。解：解：着重研究着重研究相近且很大相近且很大14-2-2 14-2-2 14-2-2 14-2-2 同方向不同频率同方向不同频率同方向不同频率同方向不同频率简谐简谐简谐简谐振动的合成振动的合成振动的合成振动的合成 拍拍拍拍 可以近似地将合振动看成按可以近似地将合振动看成按蓝色项蓝色项为振幅缓慢变为振幅缓慢变化，角频率为化，角频率为 的准简谐振动，称为拍。的准简谐振动，称为拍。如图如图拍现象拍现象to 合振幅在单位时间内加强或减弱的次数称为合振幅在单位时间内加强或减弱的次数称为拍频。拍频。其周期是合振幅变化周期的一半。其周期是合振幅变化周期的一半。（beat）重要的应用：已知频率的音叉测出其它音叉的频率。重要的应用：已知频率的音叉测出其它音叉的频率。手风琴的中音簧：手风琴的中音簧：键键键键盘盘盘盘式式式式手手手手风风风风琴琴琴琴（Accordion)Accordion)的的两两排排中中音音簧簧的的频频率率大大概概相相差差6到到8个个赫赫兹兹，其其作作用用就就是是产产生生“拍拍”频频。而而俄俄罗罗斯斯的的“巴巴扬扬”-纽纽纽纽扣扣扣扣式式式式手手手手风风风风琴琴琴琴则则是是单单簧簧片片的的，因因此没有拍频造成的颤音效果。此没有拍频造成的颤音效果。利用拍频测速利用拍频测速 从从运运动动物物体体反反射射回回来来的的波波的的频频率率由由于于多多普普勒勒效效应应要要发发生生微微小小的的变变化化，通通过过测测量量反反射射波波与与入入射射波波所所形形成成的的拍拍频频，可可以以算算出出物物体体的的运运动动速速度度。这这种种方方法法广广泛泛应应用用于对卫星、各种交通工具的雷达测速装置中。于对卫星、各种交通工具的雷达测速装置中。&拍现象是一种很重要的物理现象。拍现象是一种很重要的物理现象。消去消去t 得到轨道方程得到轨道方程(椭圆方程椭圆方程)14-2-3 14-2-3 14-2-3 14-2-3 两个垂直方向上的简谐振动的合成两个垂直方向上的简谐振动的合成两个垂直方向上的简谐振动的合成两个垂直方向上的简谐振动的合成&两个互相垂直同频率两个互相垂直同频率简谐简谐振动的合成振动的合成x轨迹为圆轨迹为圆y Y方向的振动方向的振动超前方向，得超前方向，得到的是顺时针方到的是顺时针方向的圆。向的圆。当两个振动的频率差异很小时当两个振动的频率差异很小时 1 2:&两两个互相垂直不个互相垂直不同频率同频率简谐简谐振动的合成振动的合成当两个振动的频率差异很大但有简单的整数比当两个振动的频率差异很大但有简单的整数比利利萨萨如如图图形形14-3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动与共振受迫振动与共振14-3-1 阻尼振动阻尼振动14-3-2 受迫振动与共振受迫振动与共振本节内容：本节内容：无阻尼自由振动无阻尼自由振动阻尼振动阻尼振动(摩擦阻尼，辐射阻尼摩擦阻尼，辐射阻尼)由由牛顿第二定律牛顿第二定律令令 (称为阻尼因子称为阻尼因子)(称为阻尼系数称为阻尼系数)对于摩擦阻尼对于摩擦阻尼,当当 不太大时不太大时14-3-1 阻尼振动阻尼振动称为阻尼振动振幅称为阻尼振动振幅Otx此常系数线性齐次微分方程的解为此常系数线性齐次微分方程的解为在阻尼较小时，在阻尼较小时，0，曲线曲线3为为过阻尼过阻尼振动振动曲线曲线2为为临界阻尼临界阻尼图中曲线图中曲线1为为阻尼振动阻尼振动设设 为物体相继两次通过极大为物体相继两次通过极大(或极小或极小)位置所经时间位置所经时间123 在生产实际中根据不同要求，控制阻尼大小。在生产实际中根据不同要求，控制阻尼大小。生产技术中通常用改变阻尼大小的方法来控制系统生产技术中通常用改变阻尼大小的方法来控制系统的振动情况：的振动情况：1、在机床上安装阻尼装置，作为减震器使机床运转、在机床上安装阻尼装置，作为减震器使机床运转时冲击引起的振动迅速衰减，保护机件。时冲击引起的振动迅速衰减，保护机件。2、精密天平和灵敏电流计也配备了阻尼装置，使指、精密天平和灵敏电流计也配备了阻尼装置，使指针尽快停止摆动，以便及时读数。针尽快停止摆动，以便及时读数。这种加大阻尼使振动尽快停下来的最好办法是这种加大阻尼使振动尽快停下来的最好办法是将将阻尼加大到临界阻尼阻尼加大到临界阻尼。驱动力驱动力运动方程运动方程稳态振动稳态振动后，后，方程的解为方程的解为对于一定的对于一定的振动系统，当一定时，位移振幅振动系统，当一定时，位移振幅A随频率随频率而改变。而改变。注意注意:稳态时的稳态时的受迫振动与无阻尼自由振动实质受迫振动与无阻尼自由振动实质有所不有所不同同。令令14-3-2 受迫振动与共振受迫振动与共振共振现象极为普遍，有其有利的一面，也共振现象极为普遍，有其有利的一面，也 可引起损害。可引起损害。稳定受迫振动的频率相应曲线稳定受迫振动的频率相应曲线 共振时，振动速度与驱动共振时，振动速度与驱动力同相位，从而驱动力作正力同相位，从而驱动力作正功，使振幅急剧增大。最后功，使振幅急剧增大。最后当阻力功率与驱动力功率相当阻力功率与驱动力功率相抵时，振幅急剧增大。抵时，振幅急剧增大。长长 850米米、宽宽 12米米 的的 美美 国国 华华 盛盛 顿顿 州州 Tacoma Narrows 桥桥，于于1940年年，在在通通车车几几个个月月后后，由由凌凌晨晨的的风引起大幅摆动因共振而垮塌风引起大幅摆动因共振而垮塌.小号发出的声波足以使酒杯破碎小号发出的声波足以使酒杯破碎我国古代对我国古代对“共振共振”的认识：的认识：蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，公元五世纪公元五世纪天中记天中记：问张华。问张华。张华曰：此盘与宫中钟张华曰：此盘与宫中钟相谐相谐，故声故声相应，相应，可改变其薄厚。可改变其薄厚。14.14.1414，14.14.1717，14.14.1919第4次交作业情况应交作业人数实交作业人数未交作业人数交作业率148136120.92