大学物理圆周运动及其描述质点运动学的基本问题.pptx

1二、切向加速度与法向加速度二、切向加速度与法向加速度自然坐标系自然坐标系:运动轨迹正方向运动轨迹正方向切线方向单位矢切线方向单位矢法线方向单位矢（曲线凹侧）法线方向单位矢（曲线凹侧）该点曲率半径该点曲率半径向量式：向量式：说明：说明：对于一般曲线运动，对于一般曲线运动，但，但 理由：理由：微元代表取时间极限微元代表取时间极限(t t0 0)，而此时，而此时A、B两点必在同一圆周上。两点必在同一圆周上。(容易证明：容易证明：对于圆周运动，任意两点均有对于圆周运动，任意两点均有 .).)（很小时很小时）2法向加速度法向加速度切向加速度切向加速度速度速度加速度加速度3与与 方向的夹角：方向的夹角：讨论讨论4例：例：半径为半径为R的滑轮可绕中心轴转动。绕于滑轮上的无形的滑轮可绕中心轴转动。绕于滑轮上的无形变细绳其下端挂一重物。已知重物按变细绳其下端挂一重物。已知重物按 h=(1/2)a1t2 的规律的规律下降，求轮沿上任一点下降，求轮沿上任一点 P 的加速度（设绳与轮之间无相的加速度（设绳与轮之间无相对滑动）对滑动）。解：解：由于绳无伸长且无相对滑动，故由于绳无伸长且无相对滑动，故P点的运动方程点的运动方程速度速度加速度加速度总加速度总加速度5三、圆周运动中的角量和线量三、圆周运动中的角量和线量1.1.角位置（角坐标）角位置（角坐标）通常规定逆时针转动为正角位置。通常规定逆时针转动为正角位置。角位置的单位常用弧度角位置的单位常用弧度(rad(rad，无量纲无量纲)表示。表示。用角量描述的圆周运动方程：用角量描述的圆周运动方程：2.2.角位移角位移：3.3.角速度角速度平均角速度平均角速度大小：大小：瞬时角速度瞬时角速度方向方向:与运动方向成右手螺旋关系。与运动方向成右手螺旋关系。6方向沿角速度增量方向沿角速度增量 的方向。的方向。4.4.角加速度角加速度平均角加速度平均角加速度角加速度大小角加速度大小方向：方向：时时 的极限方向。的极限方向。角加速度角加速度与与 同向。同向。与与 反向。反向。7四、角量与线量之间的数量关系四、角量与线量之间的数量关系自然坐标与角坐标自然坐标与角坐标线速度与角速度线速度与角速度线加速度与角加速度线加速度与角加速度8角速度与线速度角速度与线速度五、角量与线量之间的向量关系五、角量与线量之间的向量关系角加速度与线加速度角加速度与线加速度9沿切线方向沿切线方向沿法线方向沿法线方向切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度10例：例：一刚体以恒定的角加速度一刚体以恒定的角加速度 转动，求其上某质元转动，求其上某质元 A的运动方程。设的运动方程。设 t=0时时，=0，=0。解：解：积分：积分：得得两式消去两式消去t 得另一关系式：得另一关系式：运动方程：运动方程：11匀变速圆周运动匀变速圆周运动与与匀变速直线运动匀变速直线运动公式对照公式对照（为常量）为常量）（a为常量）为常量）12解：解：设设 t=0 时质点位于时质点位于 s=0 的的P点处。点处。t 时刻质点的总加速度大小；时刻质点的总加速度大小；t 为何值时，总加速度大小为为何值时，总加速度大小为k；当总加速度大小为当总加速度大小为k 时，质点运行的圈数。时，质点运行的圈数。例：例：一质点沿半径为一质点沿半径为R的圆周按规律的圆周按规律 运动，其中运动，其中v0、k 为正数。为正数。求求:13 令令 a=k，即，即 当当a=k 时，时，t=v0/k，由此可求得质点历经的路，由此可求得质点历经的路 程长度为程长度为 此时它已运行的圈数：此时它已运行的圈数：解得解得1401-301-301-301-3例：例：在离水面高度为在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸。的岸边，有人用绳子拉船靠岸。若人以匀速率若人以匀速率v0收绳，求船在离岸边收绳，求船在离岸边 x 远处时的速率。远处时的速率。解：解：由图中几何关系得（忽略船高和滑轮高）由图中几何关系得（忽略船高和滑轮高）设设 ，则，则15负号表示沿负负号表示沿负x 轴方向。轴方向。（三角形任意两边之差小于第三边）（三角形任意两边之差小于第三边）比较船速比较船速v与绳速与绳速v0的大小？的大小？由图知：由图知：而而船速大于绳速船速大于绳速16第一类：第一类：第二类：第二类：1-5 1-5 质点运动学中的两类基本问题质点运动学中的两类基本问题已知已知 求求 用微分。用微分。已知已知 及初始条件及初始条件 求求 用积分。用积分。微分微分微分微分积分积分积分积分17对一维运动的第二类问题对一维运动的第二类问题当当当当18如果如果则则19课堂练习课堂练习1.1.质点作任意曲线运动，试判断下列各式的对错：质点作任意曲线运动，试判断下列各式的对错：解答：解答：202.2.一质点作在平面上作曲线运动，其运动方程为一质点作在平面上作曲线运动，其运动方程为求：求：质点的位置矢量与速度矢量相互垂直的时刻质点的位置矢量与速度矢量相互垂直的时刻;质点离原点最近的时刻；质点离原点最近的时刻；质点的轨迹方程。质点的轨迹方程。解：解：根据两矢量相互垂直的条件根据两矢量相互垂直的条件解得解得由由21求导，并令求导，并令解得解得由运动方程由运动方程得分量方程得分量方程消去时间得轨迹方程消去时间得轨迹方程22例：例：动物动物A以匀速以匀速v1沿竖直方向运动。在沿竖直方向运动。在A的左端离的左端离A运动起点相运动起点相距距L处的处的o点，有一动物点，有一动物B开始追赶动物开始追赶动物A。动物。动物B的速率的速率v2为常为常值，值，v2v1，且每一瞬时，且每一瞬时B的速度方向均指向动物的速度方向均指向动物A。1.求动物求动物B的运动轨迹？的运动轨迹？2.问动物问动物B经多长时间能追上动物经多长时间能追上动物A？解：解：1.取取B出发点为坐标原点出发点为坐标原点O，A的出发点为的出发点为(L,0)。时刻时刻t，B位于位于P点，其坐标为点，其坐标为x(t)、y(t)，A的位置为的位置为y1(t)。t时刻时刻B与与A的连线与的连线与B轨迹在轨迹在P点相切，点相切，即即ds是是B从从t到到(t+dt)时刻行经的路程。时刻行经的路程。式中式中dx和和dy是是ds在在x轴和轴和y轴的投影。轴的投影。23由图中几何关系得由图中几何关系得上式对上式对x求导，得求导，得在在dt时间内时间内A向上运动的竖直距离为向上运动的竖直距离为同时同时B运动的路程为运动的路程为且且24结合以上三式，得结合以上三式，得代入第一个式子，得运动微分方程：代入第一个式子，得运动微分方程：求解上式即可得到求解上式即可得到B的运动轨迹方程。的运动轨迹方程。将上式化为将上式化为 25分离变量，得分离变量，得解得：解得：积分，并代入初始条件：积分，并代入初始条件：积分，并代入初始条件：积分，并代入初始条件：解出解出B的轨迹方程：的轨迹方程：262.2.B追上追上 A时，时，x=L，代入，代入B的轨迹方程，得出的轨迹方程，得出B追上追上A时两者时两者的竖直坐标距离为的竖直坐标距离为 A到达该位置所需时间为到达该位置所需时间为这也就是这也就是B追上追上A所需的运动时间。所需的运动时间。若若 则：则：