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一、线性回归方程1.原理一般地,设有n个收集到的数据如下:当a,b能够满足使得Q(a,b)=(y1-a-bx1)2+(y2-a-bx2)2+(yn-a-bxn)2取得最小值时,称y=a+bx为拟合这n对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线.2.公式 名师点拨如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么我们称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线,从整体上看各点与此直线的“距离”平方之和最小,即最贴近已知的数据点,最能代表变量x与y之间的关系.一般情况下,在尚未断定两个变量之间是否具有线性相关关系的情况下,应先进行相关性检验,在确认具有线性相关关系后,再求线性回归方程.(1)线性回归方程y=a+bx经过样本点的中心 称为样本点的中心,回归直线一定过此点.(2)线性回归方程中的截距a和斜率b都是通过样本估计得来的,存在着误差.这种误差可能导致预报结果的偏差.(3)线性回归方程y=a+bx中的b表示x增加1个单位时y的变化量,而a表示y不随x的变化而变化的量.(4)可以利用线性回归方程y=a+bx预报在x取某一个值时,y的估计值.【做一做1】(1)设有一个回归方程为y=2-2.5x,当变量x增加1个单位时()A.y平均增加2.5个单位B.y平均增加2个单位C.y平均减少2.5个单位D.y平均减少2个单位(2)某医院用光电比色检验尿汞时,得到尿汞含量x(单位:毫克/升)与消化系数y的一组数据如下表:若x与y具有线性相关关系,则回归直线方程是.解析:(1)由回归方程的系数b=-2.5可知,x每增加1个单位,则y平均减少2.5个单位.(2)利用公式得b=26.95,从而回归直线方程为y=26.95x+28.7.答案:(1)C(2)y=26.95x+28.7二、相关系数1.相关系数2.正相关、负相关与线性不相关(1)正相关:当r0时,lxy0,从而 ,两个变量的值总体上呈现出同时增减的趋势,此时称两个变量正相关.(2)负相关:当r0时,b0,一个变量增加,另一个变量有减少的趋势,称两个变量负相关.(3)线性不相关:当r=0时,称两个变量线性不相关.特别提醒1.判断变量之间的线性相关关系,一般用散点图,但在作图中,由于存在误差,有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近,从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系,此时就必须利用线性相关系数来判断.2.|r|越接近1,它们的散点图越接近一条直线,这时用线性回归模型拟合这组数据的效果就越好.3.相关系数r只能描述两个变量之间的变化方向及密切程度,不能揭示二者之间的本质联系.4.相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程度,明确地给出有无必要建立两变量间的回归方程.【做一做2】(1)设两个变量x与y之间具有线性相关关系,相关系数是r,回归方程为y=a+bx,那么必有()A.b与r符号相同B.a与r符号相同C.b与r符号相反D.a与r符号相反(2)已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是()A.x与y正相关,x与z负相关B.x与y正相关,x与z正相关C.x与y负相关,x与z负相关D.x与y负相关,x与z正相关解析:(1)因为b与r的分母均为正,且分子相同,所以b与r同号.(2)因为变量x和y满足关系y=-0.1x+1,其中-0.10),则将y=-0.1x+1代入即可得到:z=k(-0.1x+1)+b=-0.1kx+(k+b),所以-0.1k0,所以x与z负相关,综上可知,应选C.答案:(1)A(2)C思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线,使之贴近这些样本点的数学方法.()(2)利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示.()(3)通过回归方程y=bx+a,可以估计和观测变量的取值和变化趋势.()(4)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程,所以没有必要进行相关性检验.()(5)回归分析是具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法.()答案:(1)(2)(3)(4)(5)探究一探究二探究三思维辨析求回归直线方程求回归直线方程【例1】已知某地区410岁女孩各自的平均身高数据如下:求y对x的线性回归方程.思路分析:根据求回归系数的公式求a,b,再写出回归直线方程.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟求回归直线方程的一般步骤:(1)作出散点图,依据问题所给的数据在平面直角坐标系中描点,观察点的分布是否呈条状分布,即是否在一条直线附近,从而判断两变量是否具有线性相关关系.(2)当两变量具有线性相关关系时,求回归系数a,b,写出回归直线方程.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练1某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,得下表数据:(1)请画出上表数据的散点图(要求:点要描粗);(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a.探究一探究二探究三思维辨析解:(1)探究一探究二探究三思维辨析相关系数的应用相关系数的应用【例2】已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量x(kg)与每单位面积蔬菜年平均产量y(t)之间的关系有如下数据:(1)求x与y之间的相关系数,并检验是否线性相关;(2)若线性相关,求蔬菜产量y与使用氮肥量x之间的线性回归方程,并估计每单位面积施氮肥150 kg时,每单位面积蔬菜的年平均产量.探究一探究二探究三思维辨析思路分析:本题为探索两个变量之间是否具有线性相关关系的问题,可以通过计算线性相关系数来判断.解:列出下表,并用科学计算器进行相关计算:探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟线性回归分析的简要步骤1.随机抽取样本,确定样本数据.2.判断两变量是否具有线性相关关系,可画出散点图用散点图判断;也可计算相关系数r,用相关系数作出判断.3.若两变量线性相关,用最小二乘法求出回归直线方程.4.分析模型的拟合效果,看有无特殊点,不合适时,分析错因,加以纠正.5.依据回归方程作出预报.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练2测得某国10对父子的身高(单位:英寸)如下表:(1)对变量y与x进行相关性检验;(2)如果y与x之间具有线性相关关系,求线性回归方程;(3)如果父亲的身高为73英寸,估计儿子的身高.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析(2)设线性回归方程为y=bx+a.所以y=bx+a=0.464 6x+35.974 7.故所求的线性回归方程为y=0.464 6x+35.974 7.(3)当x=73时,儿子的身高的估计值为0.464 673+35.974 769.9(英寸).所以当父亲身高为73英寸时,估计儿子的身高约为69.9英寸.探究一探究二探究三思维辨析利用回归直线方程进行预测利用回归直线方程进行预测【例3】某商场经营一批进价是30元/台的小商品,在市场试验中发现,此商品的销售单价x(x取整数)(元)与日销售量y(台)之间有如下关系:(1)画出散点图,并判断y与x是否具有线性相关关系;(2)求日销售量y对销售单价x的线性回归方程;(3)设经营此商品的日销售利润为P元,根据(2)写出P关于x的函数关系式,并预测当销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润.思路分析:先由散点图确定y与x具有相关关系,再用求回归直线方程的方法求出回归直线方程,最后,进行相应的预测.探究一探究二探究三思维辨析解:(1)散点图如图所示,从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近,因此两个变量线性相关.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟根据已给的数据,寻找规律,求出回归直线方程不是最终目的,最终目的应是当一个变量取某个值时,预测另一个变量的取值.当然,预测的值是一个估计值,与实际真正的值有一定误差.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练3某电脑公司有5名产品推销员,其工作年限与年推销金额数据如下表:(1)求年推销金额y对工作年限x的线性回归方程;(2)若第5名推销员的工作年限为11年,试估计他的年推销金额.探究一探究二探究三思维辨析解:设所求的线性回归方程为y=a+bx,所以年推销金额y对工作年限x的线性回归方程为y=0.4+0.5x.当x=11时,y=0.4+0.511=5.9(万元),故可以估计第5名推销员的年推销金额为5.9万元.探究一探究二探究三思维辨析因对回归直线理解不清致误【典例】已知x,y的取值如下表所示,由散点图分析可知y与x线性相关,且线性回归方程为y=0.95x+2.6,那么表格中的数据m的值为.易错分析:本题易出现直接将m所对应的x值4代入回归直线方程,而求出m=6.4作为结果.实质上,回归直线方程并不是x与y的函数关系,因此必须利用样本中心点坐标求解.答案:6.7纠错心得平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻.探究一探究二探究三思维辨析跟踪训练跟踪训练某研究所研究耕种深度x(单位:cm)与水稻产量y(单位:t)的关系,所得的数据如下表:试求每公顷水稻产量和耕种深度的线性相关系数与线性回归方程.探究一探究二探究三思维辨析解:将数据列成下表:123451.对于相关系数r,下列说法正确的是()A.|r|越大,相关程度越小B.|r|越小,相关程度越大C.|r|越大,相关程度越小,|r|越小,相关程度越大D.|r|1且|r|越接近于1,相关程度越大,|r|越接近于0,相关程度越小解析:|r|1,当|r|越接近于1,误差越小,变量之间的线性相关程度越高;|r|越接近于0,误差越大,变量之间的线性相关程度越低,故选D.答案:D123452.已知某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关,则其线性回归方程可能是()A.y=-10 x+200 B.y=10 x+200C.y=-10 x-200D.y=10 x-200解析:由于销售量y与销售价格x成负相关,故排除B,D.又当x=10时,A中y=100,而C中y=-300,C不符合题意,故选A.答案:A123453.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,n),用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71,则下列结论不正确的是()A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kgD.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg解析:本题考查线性回归方程.D项中身高为170 cm时,体重“约为”58.79,而不是“确定”,回归方程只能作出“估计”,而非确定“线性”关系.答案:D123454.已知x,y的取值如下表:若x,y具有线性相关关系,且回归直线方程为y=0.95x+a,则a的值为.123455.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:(1)求线性回归方程y=bx+a,其中b=-20,(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)12345
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