基本不等式的应用PPT精选文档.ppt

3.4 基本不等式基本不等式120022002年第年第2424届国际数学家大会届国际数学家大会在北京举行在北京举行220022002年第年第2424届国际数学家大会届国际数学家大会在北京举行在北京举行 会标的设计源中国会标的设计源中国古代数学家古代数学家赵爽赵爽为了证为了证明发明于中国周代的勾明发明于中国周代的勾股定理而绘制的弦图。股定理而绘制的弦图。它既标志着中国古代的它既标志着中国古代的数学成就，又象一只转数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世动的风车，欢迎来自世界各地的数学精英们。界各地的数学精英们。3思考：这会标中含有怎思考：这会标中含有怎样的几何图形？样的几何图形？思考：你能否在这个图思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系案中找出一些相等关系或不等关系？或不等关系？探究探究1 14ab问问2 2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADERtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角是全等三角形，它们的面积和是形，它们的面积和是S S=问问1 1：在正方形在正方形ABCDABCD中中,设设AF=a,BF=b,AF=a,BF=b,则正方形的面积则正方形的面积为为S=S=，问问3 3：S S与与S S有什么样的关系有什么样的关系？从图形中易得，从图形中易得，s ss s,即即探究探究1 15探究探究2 2问题问题1 1：s,s,S有相等的情况吗？有相等的情况吗？何时相等？何时相等？图片说明：当直角三角形图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即变为等腰直角三角形，即a=ba=b时，正方形时，正方形EFGHEFGH缩为一个点，缩为一个点，这时有这时有 u形的角度形的角度6结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立此不等式称为此不等式称为重要不等式重要不等式探究探究2 2问题问题2 2：当当 a,ba,b为任意实数时，为任意实数时，成成 立吗？立吗？7 类类 比比 联联 想想 推推 理理 论论 证证（特别的）如果（特别的）如果 也可写成也可写成 a0 ,b0,当且仅当当且仅当 a=b a=b 时时“”号成号成立立 此不等式称为此不等式称为基本不等式基本不等式探究探究3 38ABEDCab?由由“半径不小于半弦半径不小于半弦”得：得：几何解释几何解释R Rt tACDACDR Rt tDCBDCBCDCD2 2=AC=AC BC BCCD=CD=即即9算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数a0 ,b0,当且仅当当且仅当 a=b a=b 时时“”号成立号成立 此不等式称为此不等式称为基本不等式基本不等式概念：概念：10（1）把）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ab=36当a=b=6时，和a+b最小为12a+b=18当a=b=9时，积ab最大为81不等式不等式是一个基本不等式，它在解决实际问题中由广泛的应用，是一个基本不等式，它在解决实际问题中由广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具。是解决最大（小）值问题的有力工具。【应用练习】11（1）如果）如果a，b0，且，且abP（定值定值），那么），那么a+b有最有最_值值_(当且仅当当且仅当_时取时取“=”）.（2）如果）如果a，b0，且，且abS（定值定值），那么），那么ab有最有最_值值_(当且仅当当且仅当_时取时取“=”）.利用基本不等式求最值问题：利用基本不等式求最值问题：小小大大利用基本不等式求最值的条件：利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。一正、二定、三相等。a=ba=b12应用基本不等式求最值的条件：应用基本不等式求最值的条件：a a与与b b为正实数为正实数若等号成立，若等号成立，a a与与b b必须能必须能够相等够相等一正一正二定二定三相等三相等积定和最小积定和最小和定积最大和定积最大（a0，b0）13一、利用基本不等式求函数的最值一、利用基本不等式求函数的最值14练习：练习：15例例2 2、（、（1 1）求函数）求函数 的最的最小值小值.当当x x4 4时，时，y y取最小值取最小值8.8.1617练习求下列函数的最小值 1819202122变式：求2x+y的最小值为_23练习：已知a，b为正实数，2baba30求函数y 的最小值.2425拓展提高：拓展提高：26拓展提高：拓展提高：27拓展提高：拓展提高：28 例例1 1、设计一副宣传画，要求画面面积为、设计一副宣传画，要求画面面积为4840cm4840cm2 2，画面的宽与高的比为画面的宽与高的比为a(a1)a(a1)，画面的上下各留出，画面的上下各留出8cm8cm的空白，左右各留的空白，左右各留5cm5cm的空白，怎样确定画面的的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？设宣传画的宽为设宣传画的宽为xcm，面积为，面积为S二、利用基本不等式解实际应用题二、利用基本不等式解实际应用题29 例例2 2、某种生产设备购买时费用为、某种生产设备购买时费用为1010万元，每年的设万元，每年的设备管理费共计备管理费共计9 9千元，这种生产设备的维修费各年为：千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年第一年2 2千元，第二年千元，第二年4 4千元，第三年千元，第三年6 6千元，依每年千元，依每年2 2千元的增量递增。问这种生产设备最多使用多少年报千元的增量递增。问这种生产设备最多使用多少年报废最合算废最合算(即使用多少年的平均费用最少？即使用多少年的平均费用最少？)设使用设使用x年报废最合算年报废最合算30三、利用基本不等式证明不等式三、利用基本不等式证明不等式3132