结构力学图乘法市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

1.1.图乘法原理图乘法原理建立方程，逐杆积分，在杆件数量多情况下建立方程，逐杆积分，在杆件数量多情况下不方便。不方便。梁、梁、刚架等弯曲变形为主构件位移计算公式刚架等弯曲变形为主构件位移计算公式：称莫尔积分称莫尔积分 图乘法思想：利用图形静矩概念将图乘法思想：利用图形静矩概念将图形积图形积分分变为变为图形相乘图形相乘。4-4 4-4 图乘法图乘法第1页2 2、图乘法适用条件：、图乘法适用条件：（1 1）杆件轴线是直线；）杆件轴线是直线；（2 2）杆段弯曲刚度）杆段弯曲刚度EIEI为常数；为常数；（3 3）图）图 图图 中最少有一个是直线中最少有一个是直线图形。图形。第2页3 3、图乘法公式、图乘法公式杆轴为直线杆段EI为常数图乘法是Vereshagin于1925年提出，他当初为莫斯科铁路运输学院学生。xcxycxyCABMpdx第3页4 4、注意事项注意事项（1 1）必须符合图乘法适用条件；）必须符合图乘法适用条件；（3 3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；必须取自直线图形；必须取自直线图形；（2）还记得还记得吗？吗？（4 4）拱、曲杆结构和连续变截面结构只能经过积分拱、曲杆结构和连续变截面结构只能经过积分方式求解；方式求解；（5 5）应用图乘法首先熟练掌握惯用图形面积及形心）应用图乘法首先熟练掌握惯用图形面积及形心位置位置。第4页b几中常见图形面积和形心计算公式几中常见图形面积和形心计算公式几中常见图形面积和形心计算公式几中常见图形面积和形心计算公式alh三角形三角形CClh顶点顶点二次抛物线二次抛物线第5页lh顶点顶点cN 次抛物线次抛物线lh顶点顶点c二次抛物线二次抛物线3 3l l/4/4l l/4/4第6页3.图形相乘几个情况图形相乘几个情况（1）常见图形面积和形心：）常见图形面积和形心：矩矩 形形三角形三角形标准二次标准二次抛物线抛物线第7页（2）梯形相乘梯形相乘第8页ABCDabcd图图图图b c取负值取负值第9页（3）普通形式二次抛物线图形相乘普通形式二次抛物线图形相乘（4）曲线图形与折线图形相乘曲线图形与折线图形相乘（5）阶形杆件图形相乘阶形杆件图形相乘第10页M(x)xlxxcC对于等直杆有对于等直杆有对于等直杆有对于等直杆有即即即即 积分可用积分可用积分可用积分可用MM(x x)图面积图面积图面积图面积 和与和与和与和与MM(x x)图形心图形心图形心图形心C C对应对应对应对应 乘积来代替乘积来代替乘积来代替乘积来代替MMc c当当当当MM图为正弯矩时，图为正弯矩时，图为正弯矩时，图为正弯矩时，应代以正号应代以正号应代以正号应代以正号.当当当当MM图为负弯矩时，图为负弯矩时，图为负弯矩时，图为负弯矩时，应代以负号应代以负号应代以负号应代以负号.也应按弯矩符号给以正负号也应按弯矩符号给以正负号也应按弯矩符号给以正负号也应按弯矩符号给以正负号.MMc c第11页b几中常见图形面积和形心计算公式几中常见图形面积和形心计算公式几中常见图形面积和形心计算公式几中常见图形面积和形心计算公式alh三角形三角形CClh顶点顶点二次抛物线二次抛物线第12页lh顶点顶点cN 次抛物线次抛物线lh顶点顶点c二次抛物线二次抛物线3 3l l/4/4l l/4/4第13页注意注意注意注意折线转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，折线转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，折线转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，折线转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，有时有时有时有时MM(x x)图为连续光滑曲线，而图为连续光滑曲线，而图为连续光滑曲线，而图为连续光滑曲线，而为折线，则应以为折线，则应以为折线，则应以为折线，则应以MM(x x)然后求其和然后求其和然后求其和然后求其和.第14页例1 求 ,EI等于常数。解：作 图 图，如右图所表示。分段：，分为AC、CB两段。分块：图AC段分为两块。ACB2m2m2kN/m16A4CBA1CB21MP2y2y1第15页 假如将AC段 图以下列图那样分块，就比较麻烦。16A4C84图例2 求 ,EI等于常数。作 图 图，以下页图所表示。4kN5kN2kN/m12kN.m4kN.m7kN4m4mACB解：4kN.m4kN2kN/m2mAC第16页1/21y12y381244MP图13y2图1ACBBAC（kN.m)第17页例3 求 ,EI等于常数。解：作 图及 图，如右所表示。分段：，分为AB、BC两段。分块：图BC段分为两块。6kN/m7kN6kN.m17kN2m4mABC1/61/62/31/312y3y1图图1412613（kN.m)第18页1/61/62/31/312y3y1图图1412613（kN.m)第19页例5-5 求CH，EI等于常数。解：ABC2kN/mEIEI2kN/m4m2m作MP图和 图见下页图。分块：MP图AB段分为两块。第20页42y3=4121MP图(kN.m)2m2y22y1图13ABC4第21页作业作业：4-3(a)4-3(a)；(c)(c)第22页4-5 4-5 互等定理互等定理 互等定理适合用于线性变形体系，即体系产生是小变形，且杆件材料服从虎克定律。一、功互等定理功互等本质上是虚功互等。下列图给出状态I和状态II。状态IIAB12abAB12ab状态I第23页令状态I平衡力系在状态II位移上做虚功，得到：状态IIAB12abAB12ab状态I第24页 一样，令状态II平衡力系在状态I位移上做虚功，得到：所以即第25页 在任一线性变形体系中，第一状态外力在第二状态位移上所做虚功W12等于第二状态外力在第一状态位移上所做虚功W21。二、位移互等定理 在任一线性变形体系中，由荷载FP1引发与荷载FP2对应位移影响系数21等于由荷载FP2引发与荷载FP1对应位移影响系数12。即 12=21第26页由功互等定理可得：在线性变形体系中，位移ij与力FPj比值是一个常数，记作ij，即：或状态II12状态I12第27页1212说明：1）ij也称为柔度系数，即单位力产生位移。I 产生位移方位；j 产生位移原因。2）FP1和FP2能够是集中力也能够是集中力偶，则对应12和21就是线位移影响系数或角位移影响系数。即荷载能够是广义荷载，而位移则是广义位移。两个广义位移量纲可能不等，但它们影响系数在数值和量纲 上依然保持相等。第28页例1 验证位移互等定理。解：a/2a/21EIFP1=F212a/2a/21EIFP2=M122FFa/4M11a/41/2M/2第29页例2 验证位移互等定理。4m1m1EIFP1=5kN.m2124m1m1EIFP2=3kN212第30页解：153111第31页三、反力互等定理三、反力互等定理 反力互等定理只适合用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。12C1FR21FR11状态I12C2FR22FR12状态II依据功互等定理有：第32页 在线性变形体系中，反力FRij与Cj比值为一常数，记作rij，即或所以得说明：rij 也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加力。其量纲为 。i 产生支座反力方位；j 产生支座移动支座。第33页例6-3 验证反力互等定理。可见：r12=r21在任一线性变形体系中，位移C1引发与位移C2对应反力影响系数r21等于由位移C2引发与位移C1对应反力影响系数r12。12EI lC2=112EI lC1=1r21r12r21=3EI/l23EI/l3EI/l3r12=3EI/l2第34页四、位移反力互等定理依据功互等定理有：令状态I1FP12FR21状态II1122C2 上述支座能够是其它种类支座，则支座位移、支座反力应与支座种类对应。第35页位移反力互等定理在混正当中得到应用。上式中力能够是广义力，位移能够是广义位移。符号相反表明：虚功方程中必有一项，其力和位移方向相反。系数 、量纲都是 。在任一线性变形体系中，由位移C2引发与荷载FP1对应位移影响系数 在绝对值上等于由荷载FP1引发与位移C2对应反力影响系数 ，但二者符号相反。第36页例4 验证位移反力互等定理。FP1C2a/2a/21221第37页