三节函数极限市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第三节第三节 函数极限函数极限一、一、函数极限定义函数极限定义二、二、函数极限性质函数极限性质返回返回第1页1 1、自变量趋于有限值时函数极限、自变量趋于有限值时函数极限 或或定义定义1 1 设函数设函数f(x)在点在点x0 0某一去心邻域内有定义，假如存在常某一去心邻域内有定义，假如存在常数数A,对于任意给定正数对于任意给定正数（不论它多么小），总存在正数（不论它多么小），总存在正数,使得当使得当x 满足不等式满足不等式0|0|xx0 0|时，对应函数值时，对应函数值f(x)都都满足不等式，满足不等式，|f(x)A|X时时，对对应应函函数数值值f(x)都都满满足足不不等等式式|f(x)A|,|,那么常数那么常数A就叫做函数就叫做函数f(x)当当x时极限，记作时极限，记作或或注注1）语言表述语言表述 当当 时有时有 则则第11页2）方式有两种可能：方式有两种可能：（且无限增大）且无限增大）当当 时有时有 则则（且无限增大）且无限增大）则则当当 时有时有 3）且且若若 或或 不存在不存在,则则 不存在不存在.若若 ,则则 不存在不存在.第12页假假如如函函数数f(x)当当x时时极极限限为为A，以以任任意意给给定定一一正正数数,作作两两条条平平行行于于x轴轴直直线线y=A-和和y=A+,则则总总存存在在一一个个正正数数X，使使得当得当x X时，函数时，函数y=f(x)图形图形位于位于这两条直线之间这两条直线之间.几何意义几何意义第13页例例6 证实证实因这个不等式相当于因这个不等式相当于 或或由此可知由此可知,假如取假如取那么当那么当 时时,不等式不等式成立成立,证毕证毕.直线直线 y=0是函数是函数 图形水平渐近线图形水平渐近线.证证 要证要证当当 时时,不等式不等式成立成立.第14页普通地说普通地说,假如假如 ,则直线则直线y=c 是函数是函数图形水平渐近线图形水平渐近线.返回返回第15页二、函数极限性质二、函数极限性质定理定理1 1 （函数极限函数极限唯一性）唯一性）函数函数f(x)当当xx0 0时极限存在，则极限必唯一时极限存在，则极限必唯一.定定理理2 2 （函函数数极极限限局局部部有有界界性性）假假如如 则则存存常数常数M 0和和0,使得当使得当 时时,有有|f(x)|)|M.证证 因为因为所以取所以取则则当当 时时,有有记记则定理则定理2取得证实取得证实.第16页定理定理3 3(函数极限局部保号性函数极限局部保号性)定理定理33某一去心邻域某一去心邻域 ，当，当x 时，就有时，就有假如假如，那末就存在着，那末就存在着x0假如假如,而且而且A0(0(或或A0),0)0（或（或f(x)0)00情形证实情形证实.取取则则当当 时时,有有第17页推论推论:假如在假如在x0某一去心邻域内某一去心邻域内f(x)0（或（或f(x)0），），而且而且，那么，那么A00（或（或A 0 0）定理定理4(函数极限与数列极限关系函数极限与数列极限关系)假如极限假如极限 存在存在,为函数为函数f(x)定义域内任一收敛于定义域内任一收敛于 数列数列,且满足且满足:,那么对应函数值数列那么对应函数值数列 必收敛必收敛,且且 证证 设设,则则当当 时时,有有故对故对又因又因当当 时时,有有由假设由假设,故当故当 时时,从而从而即即返回返回第18页