专升本多元积分学2省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

高等数学高等数学高等数学高等数学第五章第五章多元函数微积分学多元函数微积分学 序言第一节多元函数、极限与连续第二节偏导数与全微分第三节二元函数极值第四节二重积分概念与性质第五节直角坐标系下二重积分计算第六节极坐标下二重积分计算第七节*二重积分应用第1页高等数学高等数学高等数学高等数学直角坐标系下二重积分计算直角坐标系下二重积分计算复习二重积分计算步骤复习二重积分计算步骤:画出积分区域图形画出积分区域图形,判断积分类型判断积分类型求边界曲线交点坐标，确定积分限求边界曲线交点坐标，确定积分限化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分计算两次定积分，即可得出结果计算两次定积分，即可得出结果第2页高等数学高等数学高等数学高等数学极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算怎样计算二重积分，其中怎样计算二重积分，其中D为圆环域：为圆环域：假如在直角坐标系下计算，显然非常麻烦，因为此时假如在直角坐标系下计算，显然非常麻烦，因为此时D既不是既不是x型，也非型，也非y型，需要分割成几个区域进行型，需要分割成几个区域进行计算。计算。第3页高等数学高等数学高等数学高等数学极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算第4页高等数学高等数学高等数学高等数学极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算以江南大道为以江南大道为X轴轴以中河路为以中河路为Y轴轴.请问：请问：去火车站怎么走？去火车站怎么走？第5页高等数学高等数学高等数学高等数学极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算以江南大道为以江南大道为X轴轴以中河路为以中河路为Y轴轴.精神病！精神病！第6页高等数学高等数学高等数学高等数学极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算以江南大道为以江南大道为X轴轴以中河路为以中河路为Y轴轴.精神病！精神病！第7页高等数学高等数学高等数学高等数学极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算从这向北从这向北5000米。米。请问：请问：去火车怎么走？去火车怎么走？第8页高等数学高等数学高等数学高等数学极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算请分析下面这句话，告诉了人家什么？请分析下面这句话，告诉了人家什么？从从这这向向南南走走5000米米！出发点出发点方向方向距离距离在生活中我们经惯用距离和方向来表示一点位在生活中我们经惯用距离和方向来表示一点位置。用距离和方向表示平面上一点位置，就是置。用距离和方向表示平面上一点位置，就是极坐标。极坐标。第9页高等数学高等数学高等数学高等数学极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算一、极坐标系建立一、极坐标系建立在平面内取一个定点在平面内取一个定点O O，叫做极点。，叫做极点。引一条射线引一条射线OXOX，叫做极轴。，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度正再选定一个长度单位和角度正方向（通常取逆时针方向）。方向（通常取逆时针方向）。这么就建立了一个极坐标系。这么就建立了一个极坐标系。XO第10页高等数学高等数学高等数学高等数学极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算二、极坐标系内一点极坐标要求二、极坐标系内一点极坐标要求X XO OM M 对于平面上任意一点对于平面上任意一点M M，用，用 表示线段表示线段OMOM长度，用长度，用 表表示从示从OXOX到到OM OM 角度，角度，叫做叫做M M极径，极径，叫做点叫做点M M极角，有序极角，有序数对（数对（，）就叫做）就叫做M M极坐标。极坐标。尤其强调：尤其强调：表示线段表示线段OMOM长度，既点长度，既点M M到极点到极点O O距离；距离；表示从表示从OXOX到到OMOM角度，既以角度，既以OXOX（极轴）为始边，（极轴）为始边，OM OM 为为终边角。终边角。第11页高等数学高等数学高等数学高等数学极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算尤其要求：尤其要求：当当M M在极点时，它极坐标在极点时，它极坐标=0=0，能够取任意值。能够取任意值。思：思：1.1.直角坐标系下点坐标与极坐标关系直角坐标系下点坐标与极坐标关系?2.2.直角坐标系下方程曲线在极坐标系下范围直角坐标系下方程曲线在极坐标系下范围 怎样确定怎样确定?如如 则则第12页高等数学高等数学高等数学高等数学极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算 1.在直角坐标系下用平行于坐在直角坐标系下用平行于坐标轴直线网来划分区域标轴直线网来划分区域D，D D则面积元素为则面积元素为故二重积分可写为故二重积分可写为第13页高等数学高等数学高等数学高等数学极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算于是：于是：2.在极坐标系下用同心圆来划分区域在极坐标系下用同心圆来划分区域D，面积微元面积微元:第14页高等数学高等数学高等数学高等数学极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算区域特征如图区域特征如图二重积分化为二次积分公式（）二重积分化为二次积分公式（）即：极点在区域即：极点在区域D D之外之外第15页高等数学高等数学高等数学高等数学极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算二重积分化为二次积分公式（）二重积分化为二次积分公式（）区域特征如图区域特征如图即：极点在区域即：极点在区域D D之边界上。之边界上。第16页高等数学高等数学高等数学高等数学极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算二重积分化为二次积分公式（）二重积分化为二次积分公式（）区域特征如图区域特征如图即：极点在区域即：极点在区域D D之内之内第17页高等数学高等数学高等数学高等数学极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算将直角坐标系下二重积分转化为极坐标系下二重积分步骤：将直角坐标系下二重积分转化为极坐标系下二重积分步骤：（1 1）将，代入被积函数；）将，代入被积函数；（2 2）将区域）将区域D D边界曲线换为极坐标系下表示式，确定对应积分限；边界曲线换为极坐标系下表示式，确定对应积分限；将极坐标系下二重积分转化为直角坐标系下二重积分步骤将极坐标系下二重积分转化为直角坐标系下二重积分步骤与上述相同，只需依反方向进行。与上述相同，只需依反方向进行。（3 3）将面积元换为。）将面积元换为。第18页高等数学高等数学高等数学高等数学极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算例例1计算二重积分其中计算二重积分其中D：解解第19页高等数学高等数学高等数学高等数学极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算例例2计算二重积分其中计算二重积分其中D为圆环域：为圆环域：解解第20页高等数学高等数学高等数学高等数学极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算解解例例3计算二重积分其中区域计算二重积分其中区域D为由为由围成第一象限内区域。围成第一象限内区域。第21页高等数学高等数学高等数学高等数学极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算例例4设设 在极坐标系下二重在极坐标系下二重积分积分 能够表示为能够表示为 ()第22页高等数学高等数学高等数学高等数学极坐标系下二重积分计算极坐标系下二重积分计算练习与巩固练习与巩固.计算二重积分其中计算二重积分其中D：.计算二重积分其中计算二重积分其中D：与：与x轴所围成上半圆。轴所围成上半圆。（提醒：）（提醒：）（答案：）（答案：）第23页高等数学高等数学高等数学高等数学二重积分计算二重积分计算二重积分化为二次积分时应注意问题：二重积分化为二次积分时应注意问题：.依据积分区域类型选择坐标系依据积分区域类型选择坐标系.依据被积函数类型选择积分次序依据被积函数类型选择积分次序.依据积分区域类型选择积分次序依据积分区域类型选择积分次序 第24页高等数学高等数学高等数学高等数学二重积分应用二重积分应用.能否利用二重积分计算平面图形面积？能否利用二重积分计算平面图形面积？.怎样利用二重积分计算空间几何体体积？怎样利用二重积分计算空间几何体体积？第25页高等数学高等数学高等数学高等数学二重积分应用平面图形面积二重积分应用平面图形面积依据二重积分定义可知，当被积函数等于依据二重积分定义可知，当被积函数等于1时，二时，二重积分就是底重积分就是底D面积即：面积即：已知平面封闭图形面积可经过定积分计算。已知平面封闭图形面积可经过定积分计算。第26页高等数学高等数学高等数学高等数学二重积分应用平面图形面积二重积分应用平面图形面积解解 D=2D1第27页高等数学高等数学高等数学高等数学二重积分应用空间几何体体积二重积分应用空间几何体体积Dozyx例例6 6 求四个平面求四个平面x+y+z=1x+y+z=1，x=0,y=0,z=0 x=0,y=0,z=0所围成四面体所围成四面体体积。体积。y0 x1x1第28页高等数学高等数学高等数学高等数学二重积分应用空间几何体体积二重积分应用空间几何体体积y0 x1x1交点为（交点为（0，1）（）（1，0）第29页高等数学高等数学高等数学高等数学二重积分应用空间几何体体积二重积分应用空间几何体体积例例7 7解解所求立体能够看成是一个曲所求立体能够看成是一个曲顶柱体，它曲顶为顶柱体，它曲顶为底为底为于是，于是，第30页高等数学高等数学高等数学高等数学二重积分应用平面薄片质量二重积分应用平面薄片质量解解第31页高等数学高等数学高等数学高等数学二重积分练习题二重积分练习题第32页高等数学高等数学高等数学高等数学二重积分练习题（一）二重积分练习题（一）第33页高等数学高等数学高等数学高等数学二重积分练习题（二）二重积分练习题（二）第34页高等数学高等数学高等数学高等数学作业：作业：教材教材P156 P156 同时练习五同时练习五 三、三、9,109,10 (要求画出积分区域图要求画出积分区域图)同时练习六同时练习六 1,2(1)(3)(5)*1,2(1)(3)(5)*同时练习七同时练习七 1,3,51,3,5 第35页