专升本辅导第讲二重积分省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第第11讲讲 重积分重积分第一节第一节 二重积分概念与性质二重积分概念与性质第二节第二节 二重积分计算法二重积分计算法复习要求复习要求（1）了解二重积分概念及其性质）了解二重积分概念及其性质.（2）掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下计算）掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下计算方法方法.（3）会用二重积分处理简单应用问题（限于空间封）会用二重积分处理简单应用问题（限于空间封闭曲面所围成有界区域体积、平面薄板质量）闭曲面所围成有界区域体积、平面薄板质量）.复习内容复习内容第1页三、二重积分性质三、二重积分性质二、二重积分概念二、二重积分概念一、问题提出一、问题提出第一节第一节 二重积分概念和性质二重积分概念和性质第2页一、问题提出一、问题提出曲顶柱体体积曲顶柱体体积柱体体积柱体体积=底面积底面积*高高特点：平顶特点：平顶.柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶.第3页求曲顶柱体体积采取求曲顶柱体体积采取“分割、作近似、求和、取极分割、作近似、求和、取极限限”方法方法第4页步骤以下：步骤以下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体体积，顶柱体体积，先分割曲顶柱体底，并取先分割曲顶柱体底，并取经典小区域，经典小区域，曲顶柱体体积曲顶柱体体积第5页求平面薄片质量求平面薄片质量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取经典小块，将其近似取经典小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，全部小块质量之和全部小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量第6页二、二重积分概念二、二重积分概念第7页假如当各小闭区域直径中最大值假如当各小闭区域直径中最大值l l趋近于零趋近于零时，这和式极限存在，则称此极限为函数时，这和式极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域D D 上上二重积分二重积分，记为记为 Ddyxfs s),(，即即 Ddyxfs s),(iiniifs sh hx xl lD D=),(lim10.第8页对二重积分定义说明对二重积分定义说明：二重积分几何意义二重积分几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值第9页在直角坐标系下用平行于坐标在直角坐标系下用平行于坐标轴直线网来划分区域轴直线网来划分区域D D，则面积元素为则面积元素为故二重积分可写为故二重积分可写为D D第10页（二重积分与定积分有类似性质）（二重积分与定积分有类似性质）性质性质设设 为常数，则为常数，则 性质性质对区域含有可加性对区域含有可加性三、二重积分性质三、二重积分性质第11页性质性质假如假如 在上，在上，为为 面积，则面积，则 性质性质若在若在D上上则有则有特殊地特殊地第12页（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）第13页例例1预计积分预计积分 值，其中值，其中 是矩形域是矩形域解：在区域解：在区域 上，因为上，因为 ,所以所以即即（确定被积函数在上最大值和最小值）（确定被积函数在上最大值和最小值）,.,第14页例例2 判断判断 符号符号.解：解：当当 时时，故故又当又当于是于是时时，第15页例例3 比较积分比较积分 所围成所围成解：解：因为积分域因为积分域 在直线在直线 下方，所以对任意点下方，所以对任意点从而有从而有而而由二重积分性质得由二重积分性质得（在（在 上比较被积函数大小）上比较被积函数大小）其中其中 是由直线是由直线 和和。都有都有，第16页四、小结四、小结二重积分定义二重积分定义（和式极限）（和式极限）二重积分几何意义二重积分几何意义（曲顶柱体体积）（曲顶柱体体积）二重积分性质二重积分性质第17页第二节第二节 二重积分计算法二重积分计算法一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分第18页一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分假如积分区域为：假如积分区域为：X型型其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.第19页应用计算应用计算“平行截面面积平行截面面积为已知立体求体积为已知立体求体积”方法方法得得第20页假如积分区域为：假如积分区域为：Y Y型型第21页X X型区域特点：型区域特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y y轴直线与区域边界轴直线与区域边界相交不多于两个交点相交不多于两个交点.Y Y型区域特点：型区域特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x x轴直线与区域边界相轴直线与区域边界相交不多于两个交点交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，则必须分割则必须分割.在分割后三个区域上分别使用积分公式在分割后三个区域上分别使用积分公式第22页解解积分区域如图积分区域如图例例1 1 改变积分改变积分 -xdyyxfdx1010),(次序次序.原式原式 -=ydxyxfdy1010),(.第23页解解积分区域如图积分区域如图例例2 2 改变积分改变积分 -+xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2次序次序.第24页例例3 3计算计算其中其中 是由直线是由直线 解法一解法一积分区域是积分区域是X型型解法二解法二积分区域是积分区域是Y型型，及及所围成闭区域。所围成闭区域。第25页例例4 4计算计算其中其中 是由直线是由直线所围成闭区域。所围成闭区域。解解既是既是X型，型，及及是是Y Y型型（计算比较麻烦）（计算比较麻烦）第26页例例5 5计算计算其中其中 是抛物线是抛物线及直线及直线所围成区域。所围成区域。，解：解：为为Y型型为为X型型（计算比较麻烦）（计算比较麻烦）第27页例例6 6 求两个底圆半径都是求两个底圆半径都是R直交圆柱面所围成立体体直交圆柱面所围成立体体积。积。解：解：设这两个圆柱面方程分别为设这两个圆柱面方程分别为由对称性算第一卦限部分由对称性算第一卦限部分从而所得立体体积从而所得立体体积及及第28页二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分第29页二重积分化为二次积分公式（）二重积分化为二次积分公式（）区域特征如图区域特征如图第30页区域特征如图区域特征如图第31页二重积分化为二次积分公式（）二重积分化为二次积分公式（）区域特征如图区域特征如图第32页二重积分化为二次积分公式（）二重积分化为二次积分公式（）区域特征如图区域特征如图极坐标系下区域面积极坐标系下区域面积第33页解解例例1 1 写出积分写出积分 Ddxdyyxf),(极坐标二次积分形极坐标二次积分形式，其中积分区域式，其中积分区域,11|),(2xyxyxD-=10 x.在极坐标系下在极坐标系下所以圆方程为所以圆方程为 1=r,直线方程为直线方程为q qq qcossin1+=r,第34页解解例例2 2 计算计算dxdyeDyx-22，其中，其中D 是由中心在是由中心在原点，半径为原点，半径为圆周所围成闭区域圆周所围成闭区域.在极坐标系下在极坐标系下第35页例例3 3求球体求球体被圆柱面被圆柱面所截得（含在圆柱面内部分）立体体积。所截得（含在圆柱面内部分）立体体积。解解由对称性由对称性第36页