人大版微积分习题课市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

微积分莫兴德莫兴德广西大学广西大学数信学院数信学院Email:微微 积积 分分第1页微积分链接目录第一章第一章 函数函数第二章第二章 极限与连续极限与连续第三章第三章 导数与微分导数与微分第四章 中值定理,导数应用第五章第五章 不定积分不定积分第六章第六章 定积分定积分第七章第七章 无穷级数无穷级数(不要求不要求)第八章第八章 多元函数多元函数第九章第九章 微分方程微分方程复习第2页微积分参考书参考书1赵树嫄赵树嫄.微积分微积分.中国人民出版社中国人民出版社2同济大学同济大学.高等数学高等数学.高等教育出版高等教育出版社社第3页微积分第四章第四章习题课习题课第4页微积分洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理惯用惯用泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理单调性单调性,极值与最值极值与最值,凹凸性凹凸性,拐点拐点,函数函数图形描绘图形描绘;曲率曲率;求根方法求根方法.导数应用导数应用一、主要内容一、主要内容第5页微积分1 1、罗尔中值定理、罗尔中值定理2 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理3 3、柯西中值定理、柯西中值定理4 4、洛必达法则、洛必达法则关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则将其它类型未定式化为洛必达法则 可处理类型可处理类型.注意：注意：洛必达法则使用条件洛必达法则使用条件.第6页微积分5 5、泰勒中值定理、泰勒中值定理 惯用函数麦克劳林公式惯用函数麦克劳林公式Fermat 定理定理 中值定理揭示了导数与函数之间关中值定理揭示了导数与函数之间关系，是导数应用理论基础，是利用导数系，是导数应用理论基础，是利用导数研究函数性质有效工具。是沟通导数局研究函数性质有效工具。是沟通导数局部性质与函数在区间上整体性质主要桥部性质与函数在区间上整体性质主要桥梁。梁。第7页微积分6 6、导数应用、导数应用(1)函数单调性判定法函数单调性判定法(2)函数极值及其求法函数极值及其求法极值必要条件、第一、第二充分条件极值必要条件、第一、第二充分条件求极值步骤求极值步骤:(3)最大值、最小值问题最大值、最小值问题(4)曲线凹凸与拐点曲线凹凸与拐点(5)函数图形描绘函数图形描绘(6)弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圆曲率圆 第8页微积分例例1 1解解二、经典例题第9页微积分这就验证了命题正确性这就验证了命题正确性.第10页微积分*例例2DarbouxDarboux定理定理:证证首先假定首先假定不妨设不妨设如右图所表示如右图所表示oyxab由假设知由假设知第11页微积分由由右方邻近，有右方邻近，有由由左侧邻近，有左侧邻近，有由由 Fermat 定理定理,得得其次，取介于其次，取介于之间任意数之间任意数 C为明确起见，不妨设为明确起见，不妨设引进辅助函数引进辅助函数第12页微积分由上述已证知由上述已证知例例3 证实方程证实方程在在(0,1)内最少有一实根内最少有一实根分析分析 如令如令则则符号不易判别符号不易判别不便使用介值定理不便使用介值定理用用 Rolle 定理来证定理来证第13页微积分证证令令则则且且故由故由Rolle 定理知定理知即即在在(0,1)内有一实根内有一实根例例4证证满足满足Rolle 定理条件定理条件第14页微积分*例例5 5解解第15页微积分例例6解解第16页微积分例例7第17页微积分第18页微积分例例8 8证证由介值定理由介值定理,第19页微积分（1）（2）注意到注意到由（由（1）,（2）有）有（3）（4）（3）+（4）,得得第20页微积分例例9问方程问方程有几个实根有几个实根解解同时也是最大值同时也是最大值分三种情况讨论分三种情况讨论第21页微积分因为因为方程有两个实根，分别位于方程有两个实根，分别位于方程仅有一个实根，即方程仅有一个实根，即方程无实根方程无实根第22页微积分*例例1010证证（1）（2）第23页微积分（1）（2）,则有则有第24页微积分*例例1111解解第25页微积分若两曲线满足题设条件若两曲线满足题设条件,必在该点处含有相同一阶导数必在该点处含有相同一阶导数和二阶导数和二阶导数,于是有于是有第26页微积分解此方程组得解此方程组得故所求作抛物线方程为故所求作抛物线方程为曲率圆方程为曲率圆方程为两曲线在点处曲率圆圆心为两曲线在点处曲率圆圆心为第27页微积分例例1212解解奇函数奇函数第28页微积分第29页微积分列表以下列表以下:第30页微积分极大值极大值拐点拐点极小值极小值第31页微积分作图作图第32页微积分*例例13 Rolle 定理推广形式定理推广形式证证由由Rolle 定理知定理知第33页微积分证一证一则由题设知则由题设知故由故由知知而而第34页微积分证二证二若若则结论显然成立则结论显然成立下设下设不妨设有不妨设有必存在最大值必存在最大值M即即第35页微积分故由故由Fermat 定理定理知知证一证一类似于类似于证一，作变换证一，作变换证二证二作变换作变换第36页微积分证三证三 若若则结论显然成立则结论显然成立下设下设不妨设有不妨设有必存在最小值必存在最小值m即即第37页微积分故由故由Fermat 定理定理知知证实与证实与类似类似第38页微积分例例14证证不妨设不妨设由由Lagrange定理，有定理，有第39页微积分得得*注注这个结论其实就是这个结论其实就是 Jensen 不等式不等式(n=2情况情况)其几何意义，以下列图所表示其几何意义，以下列图所表示第40页微积分oxyAB弦弦AB方程方程则弦则弦AB上对应于上对应于x0纵坐标为纵坐标为凹弧：曲线上点低于弦上对应点凹弧：曲线上点低于弦上对应点第41页