1、微积分莫兴德莫兴德广西大学广西大学数信学院数信学院Email:微微 积积 分分第1页微积分链接目录第一章第一章 函数函数第二章第二章 极限与连续极限与连续第三章第三章 导数与微分导数与微分第四章 中值定理,导数应用第五章第五章 不定积分不定积分第六章第六章 定积分定积分第七章第七章 无穷级数无穷级数(不要求不要求)第八章第八章 多元函数多元函数第九章第九章 微分方程微分方程复习第2页微积分参考书参考书1赵树嫄赵树嫄.微积分微积分.中国人民出版社中国人民出版社2同济大学同济大学.高等数学高等数学.高等教育出版高等教育出版社社第3页微积分第三章第三章 导数与微分导数与微分引例引例导数概念导数概念导
2、数基本公式与运算法则导数基本公式与运算法则高阶导数高阶导数微分微分第4页微积分导数概念导数概念 在许多实际问题中，需要从数量上研究在许多实际问题中，需要从数量上研究变量改变速度。如物体运动速度，电流强度，变量改变速度。如物体运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，全部这些在数学上都可归结为函数改变等，全部这些在数学上都可归结为函数改变率问题，即导数。率问题，即导数。本章将经过对实际问题分析，引出微分本章将经过对实际问题分析，引出微分学中两个最主要基本概念学中两个最主要基本概念导数与微分，导数与微分，然后再建立求导数与微分运算公式和法则
3、，然后再建立求导数与微分运算公式和法则，从而处理相关改变率计算问题。从而处理相关改变率计算问题。第5页微积分 导数和微分是继连续性之后，函数研究深入深导数和微分是继连续性之后，函数研究深入深化。导数反应是因变量相对于自变量改变快慢程度化。导数反应是因变量相对于自变量改变快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小改变和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小改变时，函数大致上改变多少。时，函数大致上改变多少。重点重点导数与微分定义及几何解释导数与微分定义及几何解释导数与微分基本公式导数与微分基本公式四则运算法则四则运算法则复合函数求导链式法则复合函数求导链式法则高阶导数高阶导数隐函数和参量函
4、数求导隐函数和参量函数求导难点难点导数实质，用定义求导，链式法则导数实质，用定义求导，链式法则第6页微积分基本要求基本要求准确叙述导数定义并深刻了解它实质准确叙述导数定义并深刻了解它实质会用定义求导数会用定义求导数熟记求导基本公式熟记求导基本公式牢靠掌握链式法则牢靠掌握链式法则掌握隐函数和参量函数求导法掌握隐函数和参量函数求导法了解高阶导数，掌握求高阶导数方法了解高阶导数，掌握求高阶导数方法搞清微分与导数联络与区分，了解并会利用搞清微分与导数联络与区分，了解并会利用一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性第7页微积分一、问题提出一、问题提出1.自由落体运动瞬时速度问题自由落体运动瞬时速度问题如图如
5、图,取极限得取极限得第8页微积分 上述求瞬时速度方法对普通变速直线运上述求瞬时速度方法对普通变速直线运动也一样适用。设物体作变速直线运动，动也一样适用。设物体作变速直线运动，其运动旅程为其运动旅程为s=s(t)，则物体在时刻，则物体在时刻 t0 瞬瞬时速度定义为时速度定义为速度反应了旅程对时间改变快慢程度速度反应了旅程对时间改变快慢程度 第9页微积分2.切线问题切线问题割线极限位置割线极限位置切线位置切线位置播放播放第10页微积分 假如割线假如割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处处切线切线.极限位置即极限位置即如图如图,第1
6、1页微积分二、导数定义二、导数定义定义定义第12页微积分二、导数定义二、导数定义定义定义第13页微积分即即其它形式其它形式第14页微积分第15页微积分关于导数说明：关于导数说明：导数概念是概括了各种各样改变率而得出导数概念是概括了各种各样改变率而得出一个更普通、更抽象概念，它撇开了变量所代一个更普通、更抽象概念，它撇开了变量所代表特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画改变率表特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画改变率本质本质第16页微积分第17页微积分注意注意:2.导函数导函数(瞬时改变率瞬时改变率)是函数平均改变率迫近是函数平均改变率迫近函数函数.播放播放第18页微积分单侧导数单侧导数1.左导数左导数
7、:2.右导数右导数:第19页微积分第20页微积分第21页微积分三、由定义求导数（三步法）三、由定义求导数（三步法）步骤步骤:例例1 1解解第22页微积分例例2 2解解第23页微积分例例3 3解解更普通地更普通地比如比如,第24页微积分例例4 4解解尤其地尤其地第25页微积分第26页微积分例例5 5解解尤其地尤其地第27页微积分例例6 6解解第28页微积分四、导数几何意义与物理意义四、导数几何意义与物理意义1.几何意义几何意义切线方程为切线方程为第29页微积分法线方程为法线方程为切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为第30页微积分例例7 7解解由导数几何
8、意义由导数几何意义,得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为第31页微积分2.物理意义物理意义非均匀改变量瞬时改变率非均匀改变量瞬时改变率.变速直线运动变速直线运动:旅程对时间导数为物体瞬时旅程对时间导数为物体瞬时速度速度.交流电路交流电路:电量对时间导数为电流强度电量对时间导数为电流强度.非均匀物体非均匀物体:质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)导数为导数为物体线物体线(面面,体体)密度密度.第32页微积分五、可导与连续关系五、可导与连续关系定理定理 y=y=f f(x x)在在x x0 0可导可导,则则f f(x x)在在x x0 0连续连续.证证第3
9、3页微积分注意注意:该定理逆定理不成立该定理逆定理不成立.连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例0比如比如,第34页微积分比如比如,01第35页微积分比如比如,011/1/第36页微积分第37页微积分例例8 8解解第38页微积分六、小结六、小结1.导数实质导数实质:增量比极限增量比极限;3.导数几何意义导数几何意义:切线斜率切线斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本方法求导数最基本方法:由定义求导数由定义求导数.6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.第39页微积分思索题思索题第40页微积分思索题解答思索题解答第41页微积分第42页微积分第43页微积分第44页微积分第45页微积分第46页微积分第47页微积分第48页微积分第49页微积分第50页微积分第51页微积分第52页微积分第53页微积分第54页微积分第55页微积分第56页微积分第57页微积分第58页微积分第59页微积分第60页微积分第61页微积分第62页微积分第63页
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