则多元函数微分学习题课省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

多元函数微分学多元函数微分学 习题课习题课第1页一、主要内容一、主要内容平面点集平面点集和区域和区域多元函数概念多元函数概念多元函数多元函数极限极限极极 限限 运运 算算多元函数多元函数连续概念连续概念多元连续函数多元连续函数性质性质第2页全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念方向导数方向导数全微分全微分应用应用复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式不变性不变性高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则微分法在微分法在几何上应用几何上应用多元函数极值多元函数极值第3页1 1、多元函数极限、多元函数极限说明：说明：（1）定义中）定义中 方式是任意；方式是任意；（2）二元函数极限运算法则与一元函）二元函数极限运算法则与一元函数类似数类似存在性存在性定义，夹逼定理定义，夹逼定理不存在不存在特殊路径、两种方式特殊路径、两种方式求法求法运算法则、定义验证、夹逼定理运算法则、定义验证、夹逼定理 消去致零因子、化成一元极限等消去致零因子、化成一元极限等2 2、多元函数连续性、多元函数连续性第4页3 3、偏导数概念、偏导数概念定义、求法定义、求法偏导数存在与连续关系偏导数存在与连续关系高阶偏导数高阶偏导数纯偏导、混合偏导纯偏导、混合偏导4 4、全微分概念、全微分概念定义定义可微必要条件可微必要条件可微充分条件可微充分条件利用定义验证不可微利用定义验证不可微第5页多元函数连续、可导、可微关系多元函数连续、可导、可微关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导第6页5 5、复合函数求导法则、复合函数求导法则“分道相加，连线相分道相加，连线相乘乘”法则推广法则推广任意多个中间变量，任意多任意多个中间变量，任意多 个个自变量自变量怎样求二阶偏导数怎样求二阶偏导数第7页6 6、全微分形式不变性、全微分形式不变性 不论不论 是自变量是自变量 函数或中间变量函数或中间变量 函数，它全微分形式是一样函数，它全微分形式是一样.7 7、隐函数求导法则、隐函数求导法则第8页公式法公式法直接法直接法全微分法全微分法8 8、微分法在几何上应用、微分法在几何上应用(1)空间曲线切线与法平面空间曲线切线与法平面()曲面切平面与法线曲面切平面与法线求直线、平面方程求直线、平面方程定点（过点）、定向（方向向量、法向量）定点（过点）、定向（方向向量、法向量）曲线：参数式，普通式给出曲线：参数式，普通式给出曲面：隐式、显式给出曲面：隐式、显式给出求隐函数偏导数方法求隐函数偏导数方法第9页1010、多元函数极值、多元函数极值9 9、方向导数与梯度、方向导数与梯度定义定义计算公式（注意使用公式条件）计算公式（注意使用公式条件）梯度概念梯度概念向量向量梯度与方向导数关系梯度与方向导数关系极值、驻点、必要条件极值、驻点、必要条件充分条件充分条件第10页最值最值条件极值，目标函数、约束条件条件极值，目标函数、约束条件 结构结构 Lagrange 函数函数第11页二、经典例题二、经典例题例例1 1解解第12页例例2 已知已知求求解解例例3 已知已知 求求第13页解解第14页例例4 4解解第15页第16页例例5 5解解于是可得于是可得,第17页求求解一解一 记记则则解二解二 方程两边对方程两边对 x 求偏导求偏导 例例6 设设 第18页由轮换对称性由轮换对称性两边取全微分两边取全微分 即即解三解三 第19页设有方程组设有方程组求求解解两边对两边对 x 求导求导这是一个以这是一个以 为未知量三元一为未知量三元一次方程组次方程组若系数行列式若系数行列式 （Vandermond行列式）行列式）例例7 第20页则有则有 在半径为在半径为R圆一切内接三角形中，求其圆一切内接三角形中，求其面积最大者面积最大者解解如图若以如图若以 x,y,z 表示三角形三表示三角形三边所正确圆心角，则边所正确圆心角，则三角形面积三角形面积例例8 第21页问题就是求问题就是求A在条件在条件下最大值下最大值 xyz记记第22页例例9 已知已知 满足方程满足方程 试选择参数试选择参数 经过变换经过变换使原方程变形所得新方程中没有使原方程变形所得新方程中没有 v 对对 x,y 一阶偏导数一阶偏导数解解第23页代入方程代入方程 消去消去令令解得解得因因 故变换后方程为故变换后方程为 第24页例例1010解解第25页第26页第27页例例1111解解分析分析:第28页得得第29页第30页试求曲面试求曲面 xyz=1上任一点上任一点 处法线方程和切平面方程处法线方程和切平面方程并证实切平面与三个坐标面所围成四并证实切平面与三个坐标面所围成四面体体积是一个常量面体体积是一个常量证证设设法线法线切平面切平面即即例例12 第31页切平面在三个坐标轴上切平面在三个坐标轴上截距截距分别为分别为故切平面与三个坐标面所围成四面体故切平面与三个坐标面所围成四面体体积体积为为是一个常量是一个常量第32页例例13 设设 y=f(x,t)而而 t 是由是由 F(x,y,t)确定确定 x,y 函数函数 ，试证实，试证实证一证一方程组方程组确定了两个一元隐函数确定了两个一元隐函数 y=y(x),t=t(x)两边分别对两边分别对 x 求导得求导得第33页解得解得证二证二本题主要是搞清楚函数关系本题主要是搞清楚函数关系，详细求导则，详细求导则很简单，很简单，初看起来似乎初看起来似乎 y 是是 x 显函数显函数y=f(x,t)，但由但由F(x,y,t)=0 可得可得 t=t(x,y)，代入，代入y=f(x,t)得得 y=f x,t(x,y)这是这是y=y(x)隐函数表示形式隐函数表示形式 按题意按题意t=t(x,y)满足满足F(x,y,t)=0 故故第34页由由t=t(x,y)得得又又t=t(x,y)满足满足y=f(x,t)，故，故从而从而解得解得证三证三两边取全微分并移项得两边取全微分并移项得第35页消去消去 dt 得得解得解得证四证四曲面曲面 F(x,y,t)=0 及及 y=f(x,t)在（在（x,t,y)空间中法向量分别为空间中法向量分别为是两曲面交线是两曲面交线 L 切向量切向量L 方程为方程为第36页故故L 切向量为切向量为即即解得解得第37页