工程制图直线和平面和两平面的相对位置省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第第第第5 5 5 5章章章章 直线与平面及两平面相对位置直线与平面及两平面相对位置直线与平面及两平面相对位置直线与平面及两平面相对位置5.1 平行问题平行问题 5.2 相交问题相交问题5.3 垂直问题垂直问题5.4 综合问题分析及解法综合问题分析及解法1第1页基本要求基本要求基本要求基本要求（一）平行问题（一）平行问题 1 1熟悉线、面平行，面、面平行几何条件；熟悉线、面平行，面、面平行几何条件；2 2熟练掌握线、面平行，面、面平行投影特征及作图方法。熟练掌握线、面平行，面、面平行投影特征及作图方法。（二）相交问题（二）相交问题 1 1熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面投影含有积聚性）熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面投影含有积聚性）交点求法和作两个面交线（其中一平面投影含有积聚性）。交点求法和作两个面交线（其中一平面投影含有积聚性）。2 2熟练掌握普通位置线、面相交求交点方法；掌握普通位置面、面熟练掌握普通位置线、面相交求交点方法；掌握普通位置面、面相交求交线作图方法。相交求交线作图方法。3 3掌握利用重影点判别投影可见性方法。掌握利用重影点判别投影可见性方法。（三）垂直问题（三）垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直投影特征及作图方法。掌握线面垂直、面面垂直投影特征及作图方法。（四）点、线、面综合题（四）点、线、面综合题 1 1熟练掌握点、线、面基本作图方法；熟练掌握点、线、面基本作图方法；2 2能对普通画法几何综合题进行空间分析，了解综合题普通解题步能对普通画法几何综合题进行空间分析，了解综合题普通解题步骤和方法。骤和方法。2第2页 直线与平面平行直线与平面平行直线与平面平行直线与平面平行 两平面平行两平面平行两平面平行两平面平行5.1 5.1 平行问题平行问题平行问题平行问题3第3页 直线与平面平行直线与平面平行直线与平面平行直线与平面平行D DB BC CA AP P若：若：ABABCD则：则：ABABPP 若平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该若平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是处理直线与平面平行作图问直线与该平面平行。这是处理直线与平面平行作图问题依据。题依据。几何条件：几何条件：几何条件：几何条件：相关线、面平行作图问题有：相关线、面平行作图问题有：判别已知线面是否平行；判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。包含已知直线作平面与另一已知直线平行。4第4页fgfg结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定平面 例例11 试判断直线试判断直线AB是否平行于定平面是否平行于定平面5第5页n a c b m abcmn 例例2 2 过过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有没有数有没有数解解d dX X6第6页正平线正平线 例例3 3 过过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和面和 平面平面 ABC。唯一解唯一解c b a m abcmnn d dX X7第7页baaffb 例例44 试过点试过点K作水平线作水平线AB平行于平行于CDE平面平面8第8页直线与特殊位置平面平行直线与特殊位置平面平行直线与特殊位置平面平行直线与特殊位置平面平行 当平面为投影面垂直面时，只要平面有积聚性投影和直线同当平面为投影面垂直面时，只要平面有积聚性投影和直线同面投影平行，或直线也为该投影面垂线，则直线与平面必定平行。面投影平行，或直线也为该投影面垂线，则直线与平面必定平行。9第9页 两平面平行两平面平行两平面平行两平面平行 若一个平面内相交二直线与另一个平面内相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行作图依据。判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面所缺投影。几何条件：几何条件：两平面平行作图问题有：两平面平行作图问题有：10第10页两平面平行两平面平行两平面平行两平面平行 若一平面上两相交直线分别平行于另一平若一平面上两相交直线分别平行于另一平面上两相交直线，则这两平面相互平行。面上两相交直线，则这两平面相互平行。ABAB；ACAC；则：则：P PQ Q11第11页 若两投影面垂直面相互平行，则它们含有若两投影面垂直面相互平行，则它们含有积聚性那组投影必相互平行。积聚性那组投影必相互平行。两特殊位置平面平行两特殊位置平面平行两特殊位置平面平行两特殊位置平面平行 12第12页c f b d e a abcdefX Xf g abcdefga b c d e X X两特殊位置平面平行两特殊位置平面平行 两普通位置平面平行两普通位置平面平行 13第13页acebb a d dfc f e khk h O OX Xm m因为因为ek不不平行于平行于ac,故两平面故两平面不平行。不平行。例例11 判断平面判断平面ABDCABDC与平面与平面EFHMEFHM是否平行，是否平行，已知已知ABCDEFMHABCDEFMH14第14页 例2 试判断两平面是否平行试判断两平面是否平行mnmnrrss结论：两平面平行结论：两平面平行15第15页emnmnfefsrsrkk 例例33 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线AB和和CD给定。试过给定。试过 点点K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面。16第16页 例4 试判断两平面是否平行。试判断两平面是否平行。结论：因为结论：因为PH平行平行SH，所以两平面平行，所以两平面平行17第17页 直线与平面相交直线与平面相交直线与平面相交直线与平面相交 两平面相交两平面相交两平面相交两平面相交5.2 5.2 相交问题相交问题相交问题相交问题18第18页 直线与平面相交，其交点是直线与平面共直线与平面相交，其交点是直线与平面共有点。有点。1.1.直线与平面相交直线与平面相交直线与平面相交直线与平面相交要讨论问题：要讨论问题：(1)(1)求直线与平面交点。求直线与平面交点。(2)(2)判别二者之间相互遮判别二者之间相互遮 挡关系，即判别可见性。挡关系，即判别可见性。我们将分别讨论普通位置直线与平面我们将分别讨论普通位置直线与平面或最少有一个处于特殊位置情况。或最少有一个处于特殊位置情况。19第19页2.2.两平面相交两平面相交两平面相交两平面相交 两平面相交其交线两平面相交其交线为直线，交线是两平面为直线，交线是两平面共有线，同时交线上点共有线，同时交线上点都是两平面共有点。都是两平面共有点。要讨论问题：要讨论问题：求两平面交线求两平面交线方法：方法：方法：方法：确定两平面两个共有点。确定两平面两个共有点。确定一个共有点及交线方向。确定一个共有点及交线方向。判别两平面之间相互遮挡关系，即：判别两平面之间相互遮挡关系，即：判别可见性。判别可见性。20第20页5.2.1 5.2.1 5.2.1 5.2.1 特殊位置线面相交特殊位置线面相交特殊位置线面相交特殊位置线面相交直线与特殊位置平面相交判断直线可见性特殊位置直线与普通位置平面相交21第21页1.直线与直线与特殊位置平面相交特殊位置平面相交因为因为特殊位置平面某个投影有积聚性特殊位置平面某个投影有积聚性，交点可直接求出。交点可直接求出。bbaaccmmnnk k22第22页2.判断直线可见性判断直线可见性特殊位置线面相交，依据平面积聚性投影，能直接判别直线可见性。特殊位置线面相交，依据平面积聚性投影，能直接判别直线可见性。kbbaaccmmnnk 23第23页例例1 1 求直线求直线MN与平面与平面ABC交点交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析:平面平面ABC是一铅垂是一铅垂面，其水平投影积聚成面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与一条直线，该直线与mn交点即为交点即为K点水平投点水平投影。影。求交点求交点 判别可见性判别可见性 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正段在平面前，故正面投影上面投影上k n 为可见。为可见。还可经过重影还可经过重影点判别可见性。点判别可见性。平面为特殊位置平面为特殊位置abcmnc n b a m k k1(2)21X X24第24页km(n)bm n c b a ac 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析:直线直线MN为铅垂线，其为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，水平投影积聚成一个点，故交点故交点K水平投影也积聚在水平投影也积聚在该点上。该点上。求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在位于平面上，在前，点前，点位于位于MN上，在上，在后，故后，故k 1 1 为不可见为不可见。k 2 11 (2)X X25第25页()k21k21例例2 2 求铅垂线求铅垂线求铅垂线求铅垂线EFEF与普通位置平面与普通位置平面与普通位置平面与普通位置平面ABCABC交点并判别交点并判别交点并判别交点并判别 其可见性。其可见性。其可见性。其可见性。26第26页5.2.2 5.2.2 5.2.2 5.2.2 普通位置平面与普通位置平面与普通位置平面与普通位置平面与特殊位置特殊位置特殊位置特殊位置 平面相交平面相交平面相交平面相交 求两平面交线问题能够看作是求两个共有点问题，因为特殊位置平面某个投影有积聚性，交线可直接求出。1.求交线 2.判断平面可见性27第27页1.1.求交线求交线求交线求交线MmnlacbPPHABCFKNLkfnlmmlnbaccabfkfk28第28页2.2.判断平面可见性判断平面可见性判断平面可见性判断平面可见性29第29页2.2.判断平面可见性判断平面可见性判断平面可见性判断平面可见性30第30页abcdefc f d b e a m(n)例例3 3 求两平面交线求两平面交线 MN并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析：空间及投影分析：求交线求交线 判别可见性判别可见性 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABC在在上，其水平投影可见。上，其水平投影可见。mn 平面平面ABC与与DEF都为都为 正垂面，它们交线为一条正垂面，它们交线为一条正垂线，两平面正面投影正垂线，两平面正面投影交点即为交线正面投影，交点即为交线正面投影，交线水平投影垂直于交线水平投影垂直于OX轴。轴。还可经过重影点还可经过重影点判别可见性判别可见性31第31页a abd(e)ebdh(f)cfchmn空间及投影分析：空间及投影分析：平面平面DEFH是一铅垂面，是一铅垂面，它水平投影有积聚性，其与它水平投影有积聚性，其与ac、bc交点交点m、n 即为两个即为两个共有点水平投影，故共有点水平投影，故mn即即为交线为交线MN水平投影。水平投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在MC上，点上，点在在FH上，点上，点在前，点在前，点在后，故在后，故mc 可见。可见。作图作图X X211 1(2(2)mn32第32页bc d e f a b acdef投影分析投影分析 N点水平投影点水平投影n位于位于def 外面，说明点外面，说明点N位于位于DEF所确定平面内，但所确定平面内，但不位于不位于DEF这个图形内。这个图形内。所以所以ABC和和DEF交交线应为线应为MK。mkk nn 求交线求交线 判别可见性判别可见性作图作图m DEF正面投影积聚正面投影积聚33第33页5.2.3 5.2.3 5.2.3 5.2.3 直线与普通直线与普通直线与普通直线与普通位置平面相交位置平面相交位置平面相交位置平面相交以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图判别可见性 示意图34第34页ABCQ过过EF作正垂面作正垂面QEF以正垂面为辅助平面求线面交点以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图示意图35第35页1 2 QV21kk步骤：步骤：1过过EF作正作正垂平面垂平面Q。2求求Q平面与平面与ABC交线交线。3求交线求交线与与EF交点交点K。示意图以正垂面为辅助平面求直线以正垂面为辅助平面求直线EF与与ABC平面交点平面交点36第36页过过EF作铅作铅垂面垂面P以铅垂面为辅助平面求线面交点以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图示意图FCABPEFKE37第37页2PH1 步骤：步骤：1过过EF作铅作铅垂平面垂平面P。2求求P平面与平面与ABC交线交线。3求交线求交线与与EF交点交点K。kk2 示意图以铅垂面为辅助平面求直线以铅垂面为辅助平面求直线EF与与ABC平面交点平面交点138第38页1 (2)(4)3利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性直线直线EF与平面与平面 ABC相交，判别可见性。相交，判别可见性。示意图示意图39第39页fee直线直线EF与平面与平面 ABC相交，判别可见性。相交，判别可见性。利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性1243（）kk(3)4示意图示意图()21340第40页5.2.4 5.2.4 5.2.4 5.2.4 两普通位置平面相交两普通位置平面相交两普通位置平面相交两普通位置平面相交 求两平面交线问题能够看作是求两个共有点问题,因而可利用求普通位置线面交点方法找出交线上两个点，将其连线即为两平面交线。两普通位置平面相交求交线两普通位置平面相交求交线判别可见性判别可见性41第41页两普通位置平面相交求交线方法两普通位置平面相交求交线方法 示意图示意图 利用求普通位置利用求普通位置线面交点方法找出交线面交点方法找出交线上两个点，将其连线上两个点，将其连线即为两平面交线。线即为两平面交线。MBCAFKNL42第42页两普通位置平两普通位置平面相交，求交面相交，求交线步骤：线步骤：1用求直线用求直线与平面交点方与平面交点方法，作出两平法，作出两平面两个共有点面两个共有点K、E。llnmmnPVQV1221kkee2连接两个连接两个共有点，画出共有点，画出交线交线KE。示意图示意图例例4 4求两平面交线求两平面交线43第43页利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性两平面相交，判别可见性两平面相交，判别可见性3 4 ()3 4 21()1 2 44第44页5.2.5 5.2.5 综合性问题解法综合性问题解法试过试过K点作一直线平行于已知平面点作一直线平行于已知平面ABC，并与，并与直线直线EF相交相交。综合性问题解法 综合性问题解法 综合性问题解法 例例5 545第45页 过已知点过已知点K作平面作平面P平行平行于于 ABC；直线；直线EF与平面与平面P交于交于H；连接；连接KH，KH即为所求。即为所求。FPEKH分析分析分析分析46第46页mnhhnmPV11221过点过点K作平面作平面KMN/ABC平面。平面。2求直线求直线EF与平面与平面KMN交点交点H。3连接连接KH，KH即即为所求。为所求。作图作图作图作图47第47页 直线与平面垂直直线与平面垂直直线与平面垂直直线与平面垂直 两平面相互垂直两平面相互垂直两平面相互垂直两平面相互垂直5.3 5.3 垂直问题垂直问题48第48页5.3.1 5.3.1 直线与平面垂直直线与平面垂直VHPAKLDCBE几何条件：几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面 一切直线。一切直线。49第49页定理定理1 1：若一直线垂直于一平面、则直线水平投影必垂直于属若一直线垂直于一平面、则直线水平投影必垂直于属 于该平面水平线水平投影；直线正面投影必垂直于该平面水平线水平投影；直线正面投影必垂直 于属于该平面正平线正面投影。于属于该平面正平线正面投影。VPAKLDCBEHaadcbdcbeeknknXO50第50页定理定理2 2：若一直线水平投影垂直于属于平面水平线水平投影；若一直线水平投影垂直于属于平面水平线水平投影；直线直线 正面投影垂直于属于平面正平线正面投影、则直线必垂正面投影垂直于属于平面正平线正面投影、则直线必垂直于该平面。直于该平面。acacnnkfdbdbfkVPAKLDCBEHXO51第51页acacnnmfdbdbfm例例例6 6 6 平面由平面由平面由 BDFBDFBDF给定，试过定点给定，试过定点给定，试过定点MMM作平面垂线。作平面垂线。作平面垂线。52第52页hhhhhhkkSVkkPVkkQH例例例7 7 7 试过定点试过定点试过定点K K K作特殊位置平面法线。作特殊位置平面法线。作特殊位置平面法线。53第53页efemnmncaadbcdbfXO例例例8 8 8 平面由两平行线平面由两平行线平面由两平行线ABABAB、CDCDCD给定，试判断直线给定，试判断直线给定，试判断直线MNMNMN 是否垂直于定平面。是否垂直于定平面。是否垂直于定平面。54第54页几何条件：几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线所若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线所 有平面都垂直于该平面。有平面都垂直于该平面。PAB5.3.2 5.3.2 两平面垂直两平面垂直55第55页 反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面任意一点反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面任意一点向第二个平面作垂线必属于第一个平面。向第二个平面作垂线必属于第一个平面。AB两平面垂直两平面垂直两平面不垂直两平面不垂直AB56第56页ghacachkkfdbdbfgXO例例例例例例101010101010 平面由平面由平面由平面由平面由平面由 BDFBDFBDF给定，试过定点给定，试过定点给定，试过定点给定，试过定点给定，试过定点给定，试过定点K K K作已知平面垂面作已知平面垂面作已知平面垂面作已知平面垂面作已知平面垂面作已知平面垂面57第57页ghachackkbbgffdd结论：结论：两平面不平行两平面不平行XO例例例例例例111111111111 试判断试判断试判断试判断试判断试判断 A A ABCBCBC与相交两直线与相交两直线与相交两直线与相交两直线与相交两直线与相交两直线KGKGKG和和和和和和KHKHKH所给定平面所给定平面所给定平面所给定平面所给定平面所给定平面 是否垂直。是否垂直。是否垂直。是否垂直。是否垂直。是否垂直。58第58页 5.4.1 5.4.1 空间几何元素定位问题空间几何元素定位问题空间几何元素定位问题空间几何元素定位问题 5.4.2 5.4.2 空间几何元素度量问题空间几何元素度量问题空间几何元素度量问题空间几何元素度量问题5.4 5.4 综合问题分析及解法综合问题分析及解法 5.4.3 5.4.3 综合问题解题举例综合问题解题举例综合问题解题举例综合问题解题举例59第59页求解综合问题主要包含：求解综合问题主要包含：平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题投影特征、作图原理与方法。而实际问题是综合性，问题投影特征、作图原理与方法。而实际问题是综合性，包括多项内容，需要各种作图方法才能处理。包括多项内容，需要各种作图方法才能处理。综合问题解题普通步骤：综合问题解题普通步骤：1.分析题意分析题意 2.明确所求结果，找出解题方法明确所求结果，找出解题方法 3.确定解题步骤确定解题步骤空间几何元素空间几何元素定位问题定位问题（交点、交线）（交点、交线）空间几何元素空间几何元素度量问题度量问题（如距离、角度）。（如距离、角度）。60第60页5.4.1 5.4.1 空间几何元素定位问题空间几何元素定位问题空间几何元素定位问题空间几何元素定位问题cghefdcefghdXO例例例121212 已知三条直线已知三条直线已知三条直线CDCDCD、EFEFEF和和和GHGHGH，求作一直线，求作一直线，求作一直线ABABAB与与与 CDCDCD平行，而且与平行，而且与平行，而且与EFEFEF、GHGHGH均相交。均相交。均相交。61第61页分析分析 所求得直线所求得直线AB一定在平行于一定在平行于CD平面上，而且与交平面上，而且与交叉直线叉直线EF、GH相交。相交。ABCDHGEF62第62页作图过程作图过程kkcghefdcefghdXOPV11 2 2aabb63第63页例例例例例例131313131313 试过定点试过定点试过定点试过定点试过定点试过定点A A A作直线与已知直线作直线与已知直线作直线与已知直线作直线与已知直线作直线与已知直线作直线与已知直线EFEFEF正交。正交。正交。正交。正交。正交。64第64页EQ分析分析分析分析FAK 过已知点过已知点过已知点过已知点A A作平面垂直于已知直线作平面垂直于已知直线作平面垂直于已知直线作平面垂直于已知直线EFEF，并交于点，并交于点，并交于点，并交于点KK，连接，连接，连接，连接AKAK，AKAK即为所求。即为所求。即为所求。即为所求。65第65页作图作图作图作图2 11 22 1a efaf e 1 2PVkk66第66页5.4.2 5.4.2 空间几何元素度量问题空间几何元素度量问题空间几何元素度量问题空间几何元素度量问题度量问题度量问题是处理距离和角度度量问题，主要基础是依据是处理距离和角度度量问题，主要基础是依据 直角投影定理作平面垂线或直线垂面，并求直角投影定理作平面垂线或直线垂面，并求 其实长或实形。其实长或实形。1.1.距离度量距离度量点到点之间距离点到点之间距离.求二点之间线段实长（直角三求二点之间线段实长（直角三 角形法）。角形法）。点到直线之间距离点到直线之间距离.过点作平面垂直于直线，求出垂过点作平面垂直于直线，求出垂 足，再求出点与垂足之间线段足，再求出点与垂足之间线段 实长。实长。点到平面之间距离点到平面之间距离.过点作平面垂线，求出垂足，过点作平面垂线，求出垂足，.再求出点与垂足之间线段实长。再求出点与垂足之间线段实长。67第67页直线与直线平行之间距离直线与直线平行之间距离直线与交叉直线之间距离直线与交叉直线之间距离直线与平面平行之间距离直线与平面平行之间距离平面与平面平行之间距离平面与平面平行之间距离过一直线上任一点作另一直线垂线，余下方法同点到直线过一直线上任一点作另一直线垂线，余下方法同点到直线距离。距离。包含一直线作一平面平行于另一直线，在另一直线上任取包含一直线作一平面平行于另一直线，在另一直线上任取一点，过点作平面垂线，求出垂足，再求出点与垂足之间一点，过点作平面垂线，求出垂足，再求出点与垂足之间线段实长。线段实长。过直线上任一点作平面垂线。方法同点到平面距离。过直线上任一点作平面垂线。方法同点到平面距离。过一平面上任一点作另一平面垂线。余下方法同点到平面过一平面上任一点作另一平面垂线。余下方法同点到平面距离。距离。68第68页PQPPDBPPBPKAKALCKLLABKLABKCDELF69第69页例例例例例例141414141414 求点求点求点求点求点求点C C C到直线到直线到直线到直线到直线到直线ABABAB距离。距离。距离。距离。距离。距离。cabcabXO70第70页分析分析分析分析PABCK 过过C点作直线点作直线AB垂线垂线CK一定在过一定在过C点而且与点而且与AB垂直平垂直平面面P内，过内，过C点作一平面与直线点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与垂直，求出该平面与AB交点交点K，最终求出垂线，最终求出垂线CK实长即为所求。实长即为所求。71第71页作图过程作图过程作图过程作图过程cabcabXOeded1212kk所求距离所求距离PV72第72页例例例例例例151515151515 求两平行直线求两平行直线求两平行直线求两平行直线求两平行直线求两平行直线AB AB AB 和和和和和和CDCDCD距离。距离。距离。距离。距离。距离。cabcabXOeded1212kk所求距离所求距离PVdd73第73页例例例例例例161616161616 求点到求点到求点到求点到求点到求点到ABCABCABC平面距离。平面距离。平面距离。平面距离。平面距离。平面距离。作出垂线作出垂线后，用辅助平后，用辅助平面法求出垂线面法求出垂线与与平平面交点（即垂面交点（即垂足），再用直足），再用直角三角形法求角三角形法求出线段实长即出线段实长即可。可。hfeb mbacach所求距离所求距离 MK实长实长kkXOefm74第74页ccababXOdd例例例例例例171717171717 求交叉两直线求交叉两直线求交叉两直线求交叉两直线求交叉两直线求交叉两直线ABABAB和和和和和和CDCDCD公垂线。公垂线。公垂线。公垂线。公垂线。公垂线。75第75页分析分析LKABDCGHEFP 过一条直线过一条直线CDCD作平面作平面P P平行于另一条直线平行于另一条直线ABAB，在过点，在过点A A作平作平面面P P垂线垂线AHAH，求出垂足点，求出垂足点E E；在平面；在平面P P上过点上过点E E作直线作直线EFEFABAB与直与直线线CDCD交于点交于点K K；过点；过点K K作直线作直线KL KL AHAH交交ABAB于于L L点，点，KLKL即为所求公即为所求公垂线。垂线。76第76页作图过程作图过程gg1122h3434eef kklflccababXOddhPH77第77页2.2.角度度量角度度量两相交直线间夹角两相交直线间夹角直线与平面夹角直线与平面夹角两平面间夹角两平面间夹角78第78页PABCEF任作一直线分别与两相交直线相交，组成三角形，求三任作一直线分别与两相交直线相交，组成三角形，求三角形实形（分别求出三边实长），夹角即可求得。角形实形（分别求出三边实长），夹角即可求得。两相交直线间夹角两相交直线间夹角两相交直线间夹角两相交直线间夹角79第79页PCAB直线和它在平面上投影所夹锐角，称为直线与面夹角。过直线上任一点直线和它在平面上投影所夹锐角，称为直线与面夹角。过直线上任一点角度作平面垂线，求出直线与垂线夹角（方法同两相交直线夹角）余角，角度作平面垂线，求出直线与垂线夹角（方法同两相交直线夹角）余角，余角即为所求。此法又称余角即为所求。此法又称余角法余角法。直线与平面夹角直线与平面夹角直线与平面夹角直线与平面夹角 80第80页PQ 两平面间夹角两平面间夹角两平面间夹角两平面间夹角两平面间夹角就是两平面二面角平面角。在空间任取一点，两平面间夹角就是两平面二面角平面角。在空间任取一点，分别作二平面垂线，求出二垂线间夹角分别作二平面垂线，求出二垂线间夹角(方法同两相交直线间方法同两相交直线间夹角夹角)补角，补角即为所求。此法又称补角，补角即为所求。此法又称补角法补角法。BCA81第81页例例例例例例181818181818 求直线与求直线与求直线与求直线与求直线与求直线与平面夹角平面夹角平面夹角平面夹角平面夹角平面夹角 作作余角余角，即为所求直线与，即为所求直线与平面夹角。平面夹角。fXObe ebacac ddfdfef82第82页本 章 结 束83第83页