引言与函数省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

数学与信息科学学院数学与信息科学学院第1页第2页第3页引引 言言一、什么是高等数学一、什么是高等数学?初等数学 研究对象为常量常量,以静止观点研究问题.高等数学 研究对象为变量变量,运动运动和辩证法辩证法进入了数学.数学中转折点转折点是笛卡儿变数变数.有了变数有了变数,运动运动进入了数学进入了数学,有了变数，有了变数，辩证法辩证法进入了数学进入了数学,有了变数有了变数,微分和积分微分和积分也就立刻成也就立刻成为必要了为必要了,而它们也就立刻产生而它们也就立刻产生.恩格斯恩格斯第4页给出了几何问题统一笛卡儿(15961650)法国哲学家,数学家,物理学家,他 是解析几何奠基人之一.1637年他发表几何学论文分析了几何学与 代数学优缺点,进而提出了“另外 一个包含这两门科学优点而防止其缺点方法”,从而提出了解析几何学主要思想和方法,恩格斯把它称为数学中转折点.把几何问题化成代数问题,作图法,第5页1.分析基础:函数,极限,连续 2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)3.向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程主要内容多元微积分第6页二、怎样学习高等数学二、怎样学习高等数学?1.认识高等数学主要性,培养浓厚学习兴趣培养浓厚学习兴趣.2.学数学最好方式是做数学做数学.聪明在于学习聪明在于学习,天才在于积累天才在于积累.学而优则用学而优则用,学而优则创学而优则创.由薄到厚由薄到厚,由厚到薄由厚到薄.马克思马克思 一门科学,只有当它成功地利用数课时,才能到达真正完善地步.华罗庚华罗庚米山国藏米山国藏：数学知识能够记忆一时，但数学精神、：数学知识能够记忆一时，但数学精神、思想和方法却永远发挥作用，能够受益终生思想和方法却永远发挥作用，能够受益终生.第7页华罗庚华罗庚(19101985)我国在国际上享受盛誉数学家.他在解析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛数学领域中,程,都作出了卓越贡献,发表专著与学术论文近 300 篇.偏微分方多复变函数论,矩阵几何学,经典群,他对青年学生成长非常关心,他提出治学之道是“宽宽,专专,漫漫”,即基础要宽,专业要专,要使自己专业知识漫到其它领域.1984年来中国矿业大学视察时给给师生题词:“学而优则用学而优则用,学而优则创学而优则创”.第8页学习数学方法学习数学方法多看书了解和记忆相关公式和定理勤练习,多解题美国数学家 Halmos 曾经讲过：学习数学最好方法是做数学。第9页 时间：时间：每七天一、周二、周三、周每七天一、周二、周三、周四四 下午下午18：30 21：00 地点：地点：文清楼文清楼305室室第10页1.1.常量与变量常量与变量:在某过程中数值保持不变量称为在某过程中数值保持不变量称为常量常量,注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言而言.通惯用字母通惯用字母a,b,c等表示等表示常量常量,而数值改变量称为而数值改变量称为变量变量.常量与变量表示方法：常量与变量表示方法：用字母用字母x,y,t等表示等表示变量变量.一、函数定义一、函数定义第一节第一节 函数及其表示函数及其表示第11页数集数集D叫做这个函数叫做这个函数定义域定义域因变量因变量自变量自变量第12页定义定义:假如自变量在定假如自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应函数值总是时，对应函数值总是只有一个，这种函数只有一个，这种函数叫做叫做单值函数单值函数，不然，不然叫与叫与多值函数多值函数第13页 (1)符号函数符号函数几个特殊函数举例几个特殊函数举例1-1xyo第14页(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超出表示不超出 最大整数最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线第15页有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函狄利克雷函数数第16页(4)取最值函数取最值函数yxoyxo第17页在自变量不一样改变范围中在自变量不一样改变范围中,对应法则用不一样对应法则用不一样式子来表示函数式子来表示函数,称为称为分段函数分段函数.第18页约定约定:定义域定义域是自变量所能取使算式有意义一是自变量所能取使算式有意义一切实数值切实数值.解解:例例1 12.函数定义域函数定义域第19页例例2 2解解故故第20页3.3.区间区间:是指介于某两个实数之间全体实数是指介于某两个实数之间全体实数.这这两个实数叫做区间端点两个实数叫做区间端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,第21页称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间第22页 4 4 邻域邻域 定义：以点a为中心任何开区间称为点点a邻域邻域,记作U(a).设 0,则称数集 x|x-a|为点点a 邻域邻域,其中点a称为邻域中心中心,称为邻域半径半径.通常记为 U(a,)=x|x-a|=(a-,a+)点点a去心邻域去心邻域:Uo(a,)=x|0|x-a|.。第23页例例3 3解：解：第24页二、函数特征二、函数特征M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX1函数有界性函数有界性:第25页2函数单调性函数单调性:xyo第26页xyo第27页3函数奇偶性函数奇偶性:偶函数偶函数yxox-x第28页奇函数奇函数yxox-x第29页4函数周期性函数周期性:（通常说周期函数周期是指其最小正（通常说周期函数周期是指其最小正周期周期）.第30页例例4 4解解单值函数单值函数,有界函数有界函数,偶函数偶函数,周期函数周期函数(无最小正周期无最小正周期)不是单调函数不是单调函数,第31页三、初等函数三、初等函数1多项式函数多项式函数函数称为函数称为多项式函数多项式函数。是常数，称为是常数，称为多项式系数多项式系数.比如：比如：2有理函数有理函数称为称为有理函数有理函数。第32页3.3.基本初等函数基本初等函数常数函数：y=c (c为常数）幂函数:y x (R是常数);指数函数:y a x (a0且a1);对数函数:y loga x (a0且a1),三角函数:y sin x,y cos x,y tan x,y cot x,y sec x,y csc x;反三角函数:y arcsin x,y arccos x,y arctan x,y arccot x.第33页四、反函数四、反函数DWDW 设函数设函数 若对于若对于Y 内任意内任意y,X内都有唯一确定内都有唯一确定 x 与之对应，使与之对应，使 则则 这个函数称为函数这个函数称为函数 反函数反函数，记，记 .原原来函数来函数 称为直接函数。称为直接函数。习惯上，把习惯上，把 反函数反函数 记作记作定义定义 第34页例例5 求求 反函数反函数.由由 y=x3 解得解得故所求反函数故所求反函数将将 x,y 变量交换变量交换，得，得解：解：说明说明：(1)函数y=f(x)与它反函数y=f-1(x)图象对称于直线直线y=x。(2)单调函数存在反函数单调函数存在反函数，且函数与其反函数单调性相同。第35页 直接函数与反函数图形关于直线直接函数与反函数图形关于直线 对称对称.故反函数定义域对应于直接函数值域，故反函数定义域对应于直接函数值域，而反函数值域就是直接函数定义域。而反函数值域就是直接函数定义域。第36页反三角函数介绍反三角函数介绍取定取定存在反函数存在反函数,我们引进记号我们引进记号 arcarc,由由 y=sinx 解得解得再将再将 x,y 变量交换，得变量交换，得,函数非单调，函数非单调，注：注：中中x,y取值范围分别为取值范围分别为第37页比如，比如，注：注：第38页取定取定存在反函数存在反函数,同理引进记号同理引进记号 arcarc,由由 y=cosx 解得解得再将再将 x,y 变量交换，得变量交换，得,函数非单调，函数非单调，注：注：中中x,y取值范围分别为取值范围分别为第39页比如，比如，注：注：第40页解得解得其中其中比如，比如，第41页 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和三角函数和反三角函数统称为反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.第42页则设有函数链称为由,确定复合函数,u 称为中间变量.五五 复合函数复合函数注意注意:组成复合函数条件 不可少.第43页注意注意1 1:不是任何两个函数都能够复合成一个复不是任何两个函数都能够复合成一个复合函数。合函数。2.复合函数能够由两个以上函数经过复合组成复合函数能够由两个以上函数经过复合组成.比如比如又比如又比如,函数链:不能组成复合函数不能组成复合函数.可定义复合函数比如比如,可定义复合函数:第44页解解例例6第45页2.复合函数分解复合函数分解：把一个复合函数分成若：把一个复合函数分成若干个不一样层次基本初等函数干个不一样层次基本初等函数.比如比如 可分解成可分解成第46页补充例题补充例题解解第47页总而言之总而言之第48页初等函数定义初等函数定义由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所组成并可用限次函数复合步骤所组成并可用一个式子表示一个式子表示函函数数,称为称为初等函数初等函数.比如比如,可表为故为初等函数初等函数.不然称为不然称为非初等函数非初等函数.非初等函数举例非初等函数举例:第49页有些分段函数是初等函数有些分段函数是初等函数,比如比如而有些分段函数不是初等函数而有些分段函数不是初等函数,比如比如第50页函数分类函数分类:函数函数初等函数初等函数非初等函数非初等函数(不能用一个代数式表示分段函数不能用一个代数式表示分段函数,有有没有穷多项等函数没有穷多项等函数)代数函数代数函数超越函数超越函数有理函数有理函数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)第51页六、小结六、小结函数概念函数概念函数特征函数特征有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.反函数和复合函数反函数和复合函数初等函数初等函数基本初等函数基本初等函数作业作业 P18 10.13.19.(2)(4)(6)21.26.30.第52页思索题思索题第53页思索题解答思索题解答设设则则故故第54页练练 习习 题题第55页练习题答案练习题答案第56页(1)幂函数幂函数第57页(2)指数函数指数函数第58页(3)对数函数对数函数第59页(4)三角函数三角函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数第60页正切函数正切函数余切函数余切函数第61页正割函数正割函数余割函数余割函数第62页