廿一世纪的数学展望Mathematicsinthe2Century市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

廿一世紀數學展望廿一世紀數學展望Mathematics in the 21 Century丘成桐丘成桐哈佛大哈佛大學學1/9,1/9,於台灣中央大學於台灣中央大學第1页 在新世紀開始，全世界科學家對這個新在新世紀開始，全世界科學家對這個新時代來臨，有着無比興奮，期待着人類有史時代來臨，有着無比興奮，期待着人類有史以來最新以來最新發現。數學是全部推理學問基礎，發現。數學是全部推理學問基礎，我希望在這個演講裏能夠指出今後數學發展我希望在這個演講裏能夠指出今後數學發展一些綫索。一些綫索。由希臘數學家發展歐式幾何公理系統開由希臘數學家發展歐式幾何公理系統開始，人類對嚴謹三段論証方法才有實體認識，始，人類對嚴謹三段論証方法才有實體認識，影響所及，凡是需要推理學問都與數學有關，影響所及，凡是需要推理學問都與數學有關，推理學問可分物理科學，工程科學和社會科推理學問可分物理科學，工程科學和社會科學。學。第2页數學數學社會科學社會科學工程科學工程科學物理科學物理科學第3页社會科學社會科學經濟經濟金融金融保險保險估值估值病病歷歷調調查查生生物統計調查物統計調查城市規劃城市規劃人口流動人口流動人口調查人口調查民意調查民意調查文文獻獻整整理理歷歷史史研究研究訊訊息息科科學學網網絡絡科學科學第4页工程科學工程科學計算機科學，圖像識別，密碼問題計算機科學，圖像識別，密碼問題半導体，量子工程學，分子結構半導体，量子工程學，分子結構固体科學固体科學軟体結構軟体結構材料力學材料力學結構理論結構理論地質結構地質結構流体科學流体科學血液流問題血液流問題氣象科學氣象科學Fusion熱力學熱力學油管科學油管科學航空，航天航空，航天湍流問題湍流問題海洋海洋大氣大氣太空太空第5页物理科學物理科學弦理論弦理論量子多体問題量子多体問題多体問題多体問題古典力學古典力學電磁理論電磁理論廣義相對論廣義相對論量子力學量子力學量子場論量子場論基本粒子基本粒子統一場論統一場論第6页n n數學和工程科學乃是社會科學基礎數學和工程科學乃是社會科學基礎n n理論物理乃是工程科學基礎理論物理乃是工程科學基礎n n數學乃是理論物理基礎數學乃是理論物理基礎第7页 人類科技愈進步愈有能力去發現新現人類科技愈進步愈有能力去發現新現人類科技愈進步愈有能力去發現新現人類科技愈進步愈有能力去發現新現象。種種繁複現象使我們愈加迷惘，而亦象。種種繁複現象使我們愈加迷惘，而亦象。種種繁複現象使我們愈加迷惘，而亦象。種種繁複現象使我們愈加迷惘，而亦所以而愈加興奮。所以而愈加興奮。所以而愈加興奮。所以而愈加興奮。(比如：湍流問題、黑洞問題比如：湍流問題、黑洞問題比如：湍流問題、黑洞問題比如：湍流問題、黑洞問題)不过主宰全部現象變化只是幾個小數不过主宰全部現象變化只是幾個小數不过主宰全部現象變化只是幾個小數不过主宰全部現象變化只是幾個小數基本定律。在高能物理裏有所謂基本定律。在高能物理裏有所謂基本定律。在高能物理裏有所謂基本定律。在高能物理裏有所謂Standard model(Standard model(Standard model(Standard model(標準模型標準模型標準模型標準模型)，這個理論，這個理論，這個理論，這個理論統一而統一而統一而統一而解釋了三個基本場：電磁場、弱力、強力。解釋了三個基本場：電磁場、弱力、強力。解釋了三個基本場：電磁場、弱力、強力。解釋了三個基本場：電磁場、弱力、強力。不过重力場和這三個力場還未得到統一，主要不过重力場和這三個力場還未得到統一，主要不过重力場和這三個力場還未得到統一，主要不过重力場和這三個力場還未得到統一，主要是因為與量子力學未能融合。是因為與量子力學未能融合。是因為與量子力學未能融合。是因為與量子力學未能融合。第8页重力場由廣義相對論描述，是狹義相對論和重力場由廣義相對論描述，是狹義相對論和牛頓力學統一後而形成理論。牛頓力學統一後而形成理論。這是愛因斯坦最富有想像力偉大創作。這是愛因斯坦最富有想像力偉大創作。愛因斯坦方程是愛因斯坦方程是 其中其中 g gij ij ij ij 是測度張量（引力場）是測度張量（引力場）T Tij ij ij ij 是物質張量是物質張量 R Rij ij ij ij 是是RicciRicci曲率張量曲率張量第9页弦理論企圖統一重力場和其它全部力場。這是一個弦理論企圖統一重力場和其它全部力場。這是一個弦理論企圖統一重力場和其它全部力場。這是一個弦理論企圖統一重力場和其它全部力場。這是一個宏大搆想。宏大搆想。宏大搆想。宏大搆想。在廿一世紀，我相信基本數學會碰到同樣挑戰：在廿一世紀，我相信基本數學會碰到同樣挑戰：在廿一世紀，我相信基本數學會碰到同樣挑戰：在廿一世紀，我相信基本數學會碰到同樣挑戰：基本數學也將會來個大統一，也只有在數學各門分基本數學也將會來個大統一，也只有在數學各門分基本數學也將會來個大統一，也只有在數學各門分基本數學也將會來個大統一，也只有在數學各門分支大統一後，這些分支才會放出燦爛火花。因為支大統一後，這些分支才會放出燦爛火花。因為支大統一後，這些分支才會放出燦爛火花。因為支大統一後，這些分支才會放出燦爛火花。因為只有經過統一後，這些學問才會得到本質上瞭只有經過統一後，這些學問才會得到本質上瞭只有經過統一後，這些學問才會得到本質上瞭只有經過統一後，這些學問才會得到本質上瞭解。解。解。解。第10页數學大統一將會比物理大統一來得基數學大統一將會比物理大統一來得基本，也很可能由物理學統一場論孕育而本，也很可能由物理學統一場論孕育而出。近代弦論發展已經成功將出。近代弦論發展已經成功將 微分幾何微分幾何 代數幾何代數幾何 群表示理論群表示理論 數論數論 拓樸學拓樸學相當主要部份統一起來。而這二十年來數相當主要部份統一起來。而這二十年來數學已經由弦論得到豐富果實。學已經由弦論得到豐富果實。第11页 大自然提供了最為主要數學模型，以大自然提供了最為主要數學模型，以上很多模型都是從物理直覺或從實驗觀察出上很多模型都是從物理直覺或從實驗觀察出來，不过數學家卻能够用自己想像，在來，不过數學家卻能够用自己想像，在觀察基礎上創造出新結構。觀察基礎上創造出新結構。成功數學結構往往是幾代數學家共成功數學結構往往是幾代數學家共同努力得出结果，也往往是數學中幾個不同努力得出结果，也往往是數學中幾個不同分支合併出來火花。同分支合併出來火花。第12页 幾何和數字幾何和數字(尤其是整數尤其是整數)可說是數學裏最可說是數學裏最直觀對象，所以在數學大統一中會起着最直觀對象，所以在數學大統一中會起着最要緊作用。要緊作用。廿世紀數論學家通過代數幾何方法廿世紀數論學家通過代數幾何方法已經將整數方程一部份與幾何結合，群表已經將整數方程一部份與幾何結合，群表示理論是數論和幾何學結合一個橋樑。示理論是數論和幾何學結合一個橋樑。每次數學分支結合都有結構性變化每次數學分支結合都有結構性變化,比如算術幾何產生，將數論和幾何都帶入新比如算術幾何產生，將數論和幾何都帶入新境界，解決了一系列古典問題。境界，解決了一系列古典問題。第13页n n 在過去廿年，拓樸學和幾何已經融合。n n 三維空間和四維空間研究不能缺乏幾n n何工具。n n Thurston 猜測和 Hamilton 工作是n n在三維空間上引進幾何結構，這些創作新結n n構理論含有劃時代主要性，正等如十九n n世紀數學家創造 Riemann surface 概念一n n主要。n n 第14页 分析和幾何已經逐漸融合，這三十年來，微分分析和幾何已經逐漸融合，這三十年來，微分分析和幾何已經逐漸融合，這三十年來，微分分析和幾何已經逐漸融合，這三十年來，微分方程在複幾何和拓撲學上有極為傑出貢獻。通過方程在複幾何和拓撲學上有極為傑出貢獻。通過方程在複幾何和拓撲學上有極為傑出貢獻。通過方程在複幾何和拓撲學上有極為傑出貢獻。通過分析方法，陳氏類，分析方法，陳氏類，分析方法，陳氏類，分析方法，陳氏類，HodgeHodge 理論，理論，理論，理論，Atiyah-SingerAtiyah-Singer 指指指指標定理和我在標定理和我在標定理和我在標定理和我在複流形上搆造複流形上搆造複流形上搆造複流形上搆造 Kahler-EinsteinKahler-Einstein 度度度度量，在代數幾何中解決了很多極為主要問題。量，在代數幾何中解決了很多極為主要問題。量，在代數幾何中解決了很多極為主要問題。量，在代數幾何中解決了很多極為主要問題。最近最近最近最近 HamiltonHamilton Ricci FlowRicci Flow 通過通過通過通過 PerelmanPerelman 工工工工作可能解決了作可能解決了作可能解決了作可能解決了 ThurstonThurston 猜测，這些都是數學上百猜测，這些都是數學上百猜测，這些都是數學上百猜测，這些都是數學上百年年年年來大事。來大事。來大事。來大事。第15页 在四維空間上，在四維空間上，在四維空間上，在四維空間上，DonaldsonDonaldson 利用利用利用利用 TaubesTaubes，UhlenbeckUhlenbeck 在規範場上存在性定理得到四維在規範場上存在性定理得到四維在規範場上存在性定理得到四維在規範場上存在性定理得到四維拓撲突破。拓撲突破。拓撲突破。拓撲突破。上述工作和上述工作和上述工作和上述工作和 Donaldson-Uhlenbeck-YauDonaldson-Uhlenbeck-Yau在在在在複幾何中規範場工作都與代數幾何和弦理論複幾何中規範場工作都與代數幾何和弦理論複幾何中規範場工作都與代數幾何和弦理論複幾何中規範場工作都與代數幾何和弦理論息息相關。息息相關。息息相關。息息相關。事實上弦理論提供了極為主要訊息，使事實上弦理論提供了極為主要訊息，使事實上弦理論提供了極為主要訊息，使事實上弦理論提供了極為主要訊息，使得古典代數幾何得到新突破。我們期望弦理得古典代數幾何得到新突破。我們期望弦理得古典代數幾何得到新突破。我們期望弦理得古典代數幾何得到新突破。我們期望弦理論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深入暸解。入暸解。入暸解。入暸解。第16页 在二十一世纪在二十一世纪在二十一世纪在二十一世纪數學裡，三维双曲空間和四維代數數學裡，三维双曲空間和四維代數數學裡，三维双曲空間和四維代數數學裡，三维双曲空間和四維代數曲面理論會變得如黎曼曲面一樣主要，數學會進入曲面理論會變得如黎曼曲面一樣主要，數學會進入曲面理論會變得如黎曼曲面一樣主要，數學會進入曲面理論會變得如黎曼曲面一樣主要，數學會進入一個盡情享受低维空間特殊性质局面，代數幾一個盡情享受低维空間特殊性质局面，代數幾一個盡情享受低维空間特殊性质局面，代數幾一個盡情享受低维空間特殊性质局面，代數幾何裏何裏何裏何裏二维、三维和四维流形會有更二维、三维和四维流形會有更二维、三维和四维流形會有更二维、三维和四维流形會有更徹底了解。徹底了解。徹底了解。徹底了解。我們我們我們我們希望希望希望希望 HodgeHodge 猜测猜测猜测猜测會得到圆满处理，從而得會得到圆满处理，從而得會得到圆满处理，從而得會得到圆满处理，從而得知一個拓樸知一個拓樸知一個拓樸知一個拓樸子流型什子流型什子流型什子流型什麼時候能够由代數麼時候能够由代數麼時候能够由代數麼時候能够由代數子流子流子流子流形來表形來表形來表形來表示。同樣問题也適用於示。同樣問题也適用於示。同樣問题也適用於示。同樣問题也適用於 Vector bundleVector bundle 上。由弦理上。由弦理上。由弦理上。由弦理論論論論得到啟示，有些特殊子流形或可代替换數得到啟示，有些特殊子流形或可代替换數得到啟示，有些特殊子流形或可代替换數得到啟示，有些特殊子流形或可代替换數流流流流形形形形。第17页 現在舉一個理論物理，數學和應用科學現在舉一個理論物理，數學和應用科學上共同而主要問題：上共同而主要問題：基本物理上基本物理上Hierachy 問題，是一個問題，是一個 Scale 問題。問題。引力場和其它力場引力場和其它力場 Scale 相差極遠，相差極遠，怎样統一，怎样解釋？怎样統一，怎样解釋？在古典物理，微分方程，微分幾何和各在古典物理，微分方程，微分幾何和各類分析中亦有不一样類分析中亦有不一样 Scale 怎样融合問題。怎样融合問題。在統計物理和高能物理中，用到所謂在統計物理和高能物理中，用到所謂renormalization group 方法，是非穩定方法，是非穩定系統一個主要工具。系統一個主要工具。第18页 怎样用基本數學怎样用基本數學怎样用基本數學怎样用基本數學發展出發展出發展出發展出來方法去處理來方法去處理來方法去處理來方法去處理不一样不一样不一样不一样 Scale 是應用數學中一個主要問題。而事是應用數學中一個主要問題。而事是應用數學中一個主要問題。而事是應用數學中一個主要問題。而事實上，純數學本身亦有不一样度量問題。實上，純數學本身亦有不一样度量問題。實上，純數學本身亦有不一样度量問題。實上，純數學本身亦有不一样度量問題。在微分方程，或微分幾何碰到奇異點或在微分方程，或微分幾何碰到奇異點或在微分方程，或微分幾何碰到奇異點或在微分方程，或微分幾何碰到奇異點或在研究漸近分析時，在研究漸近分析時，在研究漸近分析時，在研究漸近分析時，Blowing upBlowing up 分析是一個分析是一個分析是一個分析是一個很主要工具，而這種很主要工具，而這種很主要工具，而這種很主要工具，而這種 Blowing upBlowing up 工具亦工具亦工具亦工具亦是代數幾何中最有效工具。是代數幾何中最有效工具。是代數幾何中最有效工具。是代數幾何中最有效工具。第19页 在非綫性微分方程中，我們需要更進一步做定在非綫性微分方程中，我們需要更進一步做定在非綫性微分方程中，我們需要更進一步做定在非綫性微分方程中，我們需要更進一步做定性和定量分析來研究由性和定量分析來研究由性和定量分析來研究由性和定量分析來研究由 Blowing upBlowing up 得出来結得出来結得出来結得出来結果，所以對不一样果，所以對不一样果，所以對不一样果，所以對不一样 scalescale 量得到進一步認識。量得到進一步認識。量得到進一步認識。量得到進一步認識。微分幾何張量分析微分幾何張量分析微分幾何張量分析微分幾何張量分析 (曲率張量曲率張量曲率張量曲率張量)在在在在multiscalemultiscale分析中應該會有主要應用，因為即使在同一點上，分析中應該會有主要應用，因為即使在同一點上，分析中應該會有主要應用，因為即使在同一點上，分析中應該會有主要應用，因為即使在同一點上，物理現象會有不一样方向變化，而此種變化亦應當受物理現象會有不一样方向變化，而此種變化亦應當受物理現象會有不一样方向變化，而此種變化亦應當受物理現象會有不一样方向變化，而此種變化亦應當受到到到到 scalescale 影影影影響，而張量是研究它們主要工具。響，而張量是研究它們主要工具。響，而張量是研究它們主要工具。響，而張量是研究它們主要工具。當一個圖當一個圖當一個圖當一個圖 (graphgraph)迫近一個幾何圖形或微分方程迫近一個幾何圖形或微分方程迫近一個幾何圖形或微分方程迫近一個幾何圖形或微分方程解時，解時，解時，解時，multiscalemultiscale 分析極為主要，怎样使圖本身有分析極為主要，怎样使圖本身有分析極為主要，怎样使圖本身有分析極為主要，怎样使圖本身有一個自然一個自然一個自然一個自然 scaling scaling 結搆結搆結搆結搆無論在純數學和應用數學無論在純數學和應用數學無論在純數學和應用數學無論在純數學和應用數學都是主要問題，我希望研究離散數學學者亦注意都是主要問題，我希望研究離散數學學者亦注意都是主要問題，我希望研究離散數學學者亦注意都是主要問題，我希望研究離散數學學者亦注意到這一點。到這一點。到這一點。到這一點。第20页近代弦論發現有不一样量子場論能够相互近代弦論發現有不一样量子場論能够相互同構同構 (isomorphic)然而然而scale 剛好相反剛好相反所以找到一些強所以找到一些強 Coupling Constant 理理論能够同另一些弱論能够同另一些弱 Coupling Constant 理論同構。理論同構。第21页 由於由於R R 這種奇妙對稱能够保持量子這種奇妙對稱能够保持量子場論結構，使得我們能够用擾動性場論結構，使得我們能够用擾動性（perturbation analysis）方法去計算非擾動場方法去計算非擾動場論，在數學上得到驚人結果。論，在數學上得到驚人結果。更要注意到一點是時空結構可能所以有基本更要注意到一點是時空結構可能所以有基本上觀念改變。極小空間不再有意義。時空量子上觀念改變。極小空間不再有意義。時空量子化描述需要更進一步探討。物理學家和幾何學化描述需要更進一步探討。物理學家和幾何學家都希望能夠找尋一個幾何結構來描述這個量家都希望能夠找尋一個幾何結構來描述這個量子化空間。有不少學者建議用矩陣模式來解釋子化空間。有不少學者建議用矩陣模式來解釋這種現象，雖然未能達到目標但已得到美妙數這種現象，雖然未能達到目標但已得到美妙數學現象。學現象。第22页 約在兩百年前，約在兩百年前，Gauss 發現發現 Gauss 曲率曲率觀念而創造內蘊幾何時，就感歎到空間觀念與觀念而創造內蘊幾何時，就感歎到空間觀念與時而變，和人類對大自然瞭解有亲密關係。時而變，和人類對大自然瞭解有亲密關係。這二十年來，超對稱觀念深深地影響著基這二十年來，超對稱觀念深深地影響著基本物理和數學發展，在實驗上雖然还未發現超本物理和數學發展，在實驗上雖然还未發現超對稱，但在數學上卻起著凝聚各門分枝能力，對稱，但在數學上卻起著凝聚各門分枝能力，我們寧可相信在極高能量時，超對稱確實存在，我們寧可相信在極高能量時，超對稱確實存在，但怎样对待超對稱在現實時空中殘餘，應當會但怎样对待超對稱在現實時空中殘餘，應當會是現代應用物理和應用數學一個主要命題。是現代應用物理和應用數學一個主要命題。第23页 舉例來說，在超對稱結構中，規範場和電磁場會與舉例來說，在超對稱結構中，規範場和電磁場會與舉例來說，在超對稱結構中，規範場和電磁場會與舉例來說，在超對稱結構中，規範場和電磁場會與完全不相關子流形理論同構，是否意味著這種日常能見完全不相關子流形理論同構，是否意味著這種日常能見完全不相關子流形理論同構，是否意味著這種日常能見完全不相關子流形理論同構，是否意味著這種日常能見場論能够用不一样手法來處理？場論能够用不一样手法來處理？場論能够用不一样手法來處理？場論能够用不一样手法來處理？種種不一样現象顯示，弦論、幾何、群表示理論逐漸種種不一样現象顯示，弦論、幾何、群表示理論逐漸種種不一样現象顯示，弦論、幾何、群表示理論逐漸種種不一样現象顯示，弦論、幾何、群表示理論逐漸會與算術幾何靠近。在所謂會與算術幾何靠近。在所謂會與算術幾何靠近。在所謂會與算術幾何靠近。在所謂 Arakelov Arakelov 理論中，除了在複理論中，除了在複理論中，除了在複理論中，除了在複數上定義代數空間外，還需要考慮特微為數上定義代數空間外，還需要考慮特微為數上定義代數空間外，還需要考慮特微為數上定義代數空間外，還需要考慮特微為 p p p p 代數空間，代數空間，代數空間，代數空間，才能夠對算術空間有完滿瞭解，是否表示它們能夠幫助才能夠對算術空間有完滿瞭解，是否表示它們能夠幫助才能夠對算術空間有完滿瞭解，是否表示它們能夠幫助才能夠對算術空間有完滿瞭解，是否表示它們能夠幫助我們瞭解現實界問題？由此觀之，數論上我們瞭解現實界問題？由此觀之，數論上我們瞭解現實界問題？由此觀之，數論上我們瞭解現實界問題？由此觀之，數論上L L L L函数和函数和函数和函数和 Birch-Swinnerton-DyerBirch-Swinnerton-Dyer 猜测有没有其它解釋？我們希望猜测有没有其它解釋？我們希望猜测有没有其它解釋？我們希望猜测有没有其它解釋？我們希望在上面提出從弦理論産生在上面提出從弦理論産生在上面提出從弦理論産生在上面提出從弦理論産生 dualityduality 在算術幾何也會出現，在算術幾何也會出現，在算術幾何也會出現，在算術幾何也會出現，二百多年來數論學家以橢圓曲綫為主要工具，一個自然二百多年來數論學家以橢圓曲綫為主要工具，一個自然二百多年來數論學家以橢圓曲綫為主要工具，一個自然二百多年來數論學家以橢圓曲綫為主要工具，一個自然高維推高維推高維推高維推廣就是卡拉比丘空間。希望這個空間在算術幾廣就是卡拉比丘空間。希望這個空間在算術幾廣就是卡拉比丘空間。希望這個空間在算術幾廣就是卡拉比丘空間。希望這個空間在算術幾何上有大進展。何上有大進展。何上有大進展。何上有大進展。现在用一个簡單例子来解釋上述现在用一个簡單例子来解釋上述现在用一个簡單例子来解釋上述现在用一个簡單例子来解釋上述 duality duality 现象。现象。现象。现象。第24页例子：例子：Laplace 算子算子 我們要求我們要求 在在 上定義，上定義，第25页Z Zn n 是一個是一個是一個是一個 lattice lattice R Rn n 而而而而 l l 必定要在這個必定要在這個必定要在這個必定要在這個 latticelattice 對偶中對偶中對偶中對偶中 (Z(Zn n)*)*對偶是對偶是對偶是對偶是 這個對偶在弦論中起相當重要作用。這個對偶在弦論中起相當重要作用。這個對偶在弦論中起相當重要作用。這個對偶在弦論中起相當重要作用。在在在在 Fourier Fourier 分析和數論中也已得主要發揮。分析和數論中也已得主要發揮。分析和數論中也已得主要發揮。分析和數論中也已得主要發揮。第26页 在在 L2(T)上譜上譜(Spectrum)是是 它譜分解全部能够算出它譜分解全部能够算出假如假如 f：R R 則則 假如我們有辦法用分析方法算出假如我們有辦法用分析方法算出 f()，則可，則可以得到以得到 trace formula第27页舉例來說舉例來說 f(x)=exp(tx)exp(t)核函數能够算出為核函數能够算出為 所以所以第28页Poisson formula：數論上基本公式！數論上基本公式！Trace formula Automorphic form 群表示理論群表示理論,數論數論第29页這個這個 Torus 對偶正是弦理論對偶基礎，對偶正是弦理論對偶基礎，現代數論一個最主要環節叫現代數論一個最主要環節叫Langlands 理理論，也有對偶問題，與代論，也有對偶問題，與代數幾何和表示理論有亲密關係。希望能數幾何和表示理論有亲密關係。希望能夠與這一系列想法也掛鈎。夠與這一系列想法也掛鈎。第30页另外一個在物理和數學科學共同而有力工具就是另外一個在物理和數學科學共同而有力工具就是另外一個在物理和數學科學共同而有力工具就是另外一個在物理和數學科學共同而有力工具就是對稱概念，它有種種不一样表示方法，比較簡單對稱概念，它有種種不一样表示方法，比較簡單對稱概念，它有種種不一样表示方法，比較簡單對稱概念，它有種種不一样表示方法，比較簡單是由群觀念開始。是由群觀念開始。是由群觀念開始。是由群觀念開始。群觀念群觀念群觀念群觀念小群：小群：小群：小群：如鏡對稱如鏡對稱如鏡對稱如鏡對稱 如雪花對稱如雪花對稱如雪花對稱如雪花對稱連續群連續群連續群連續群 (李群李群李群李群)：物理上用途物理上用途物理上用途物理上用途非緊離散群：非緊離散群：非緊離散群：非緊離散群：在數論和幾何上用途在數論和幾何上用途在數論和幾何上用途在數論和幾何上用途無限維對稱：無限維對稱：無限維對稱：無限維對稱：規範場中規範群規範場中規範群規範場中規範群規範場中規範群種種不一样對稱觀念種種不一样對稱觀念種種不一样對稱觀念種種不一样對稱觀念在廿世紀後半期理論科學有基本貢在廿世紀後半期理論科學有基本貢在廿世紀後半期理論科學有基本貢在廿世紀後半期理論科學有基本貢獻。獻。獻。獻。DualityDuality 比比比比 SymmetrySymmetry 更廣義，不一样理論基本同構將是廿更廣義，不一样理論基本同構將是廿更廣義，不一样理論基本同構將是廿更廣義，不一样理論基本同構將是廿一世紀一個主要命題。一世紀一個主要命題。一世紀一個主要命題。一世紀一個主要命題。第31页 怎样在現實界找出怎样在現實界找出怎样在現實界找出怎样在現實界找出對稱？對稱？對稱？對稱？運用之妙運用之妙運用之妙運用之妙 存乎一心存乎一心存乎一心存乎一心在在在在於作者經驗和直觀。於作者經驗和直觀。於作者經驗和直觀。於作者經驗和直觀。因为現實界問題，産生了廿一世紀基本科學基本命因为現實界問題，産生了廿一世紀基本科學基本命因为現實界問題，産生了廿一世紀基本科學基本命因为現實界問題，産生了廿一世紀基本科學基本命題：怎样將對稱物理基本現象與非對稱世界聯合？題：怎样將對稱物理基本現象與非對稱世界聯合？題：怎样將對稱物理基本現象與非對稱世界聯合？題：怎样將對稱物理基本現象與非對稱世界聯合？Symmetry breakingSymmetry breaking眾生色相眾生色相眾生色相眾生色相 何由而生？何由而生？何由而生？何由而生？舉例來說，基本物理定律是對時間來說對稱，為何舉例來說，基本物理定律是對時間來說對稱，為何舉例來說，基本物理定律是對時間來說對稱，為何舉例來說，基本物理定律是對時間來說對稱，為何我們擔憂時光消逝？由對時間對稱定律來解釋沒有對時間我們擔憂時光消逝？由對時間對稱定律來解釋沒有對時間我們擔憂時光消逝？由對時間對稱定律來解釋沒有對時間我們擔憂時光消逝？由對時間對稱定律來解釋沒有對時間對稱直觀世界是現代數學和物理一個主要問題。對稱直觀世界是現代數學和物理一個主要問題。對稱直觀世界是現代數學和物理一個主要問題。對稱直觀世界是現代數學和物理一個主要問題。第32页一個主要解釋是由物理學上熵而來。一個主要解釋是由物理學上熵而來。一個主要解釋是由物理學上熵而來。一個主要解釋是由物理學上熵而來。熱力第二基本定理說熱力第二基本定理說熱力第二基本定理說熱力第二基本定理說 Randomness Randomness Randomness Randomness 隨時間而增隨時間而增隨時間而增隨時間而增 Entropy increase with timeEntropy increase with timeEntropy increase with timeEntropy increase with time 這是一個奇妙定理，到如今還未得到徹底瞭解。這是一個奇妙定理，到如今還未得到徹底瞭解。這是一個奇妙定理，到如今還未得到徹底瞭解。這是一個奇妙定理，到如今還未得到徹底瞭解。時間箭咀在廣義相對論中是一個主要題目時間箭咀在廣義相對論中是一個主要題目時間箭咀在廣義相對論中是一個主要題目時間箭咀在廣義相對論中是一個主要題目Roger Penrose Roger Penrose Roger Penrose Roger Penrose 和和和和 HawkingHawkingHawkingHawking都花了很多時間去討論。都花了很多時間去討論。都花了很多時間去討論。都花了很多時間去討論。這是因為這是因為這是因為這是因為EinsteinEinsteinEinsteinEinstein方程對時間來說是對稱，然而方程對時間來說是對稱，然而方程對時間來說是對稱，然而方程對時間來說是對稱，然而在現實世界，時間是不對稱。在現實世界，時間是不對稱。在現實世界，時間是不對稱。在現實世界，時間是不對稱。熵研究在現代物理和現代數學都起了極主要熵研究在現代物理和現代數學都起了極主要熵研究在現代物理和現代數學都起了極主要熵研究在現代物理和現代數學都起了極主要作用，它在上面談到作用，它在上面談到作用，它在上面談到作用，它在上面談到 Hamilton Hamilton Hamilton Hamilton 理論就起着主要理論就起着主要理論就起着主要理論就起着主要功用功用功用功用。不过怎样找到它基本意義而將不一样領域。不过怎样找到它基本意義而將不一样領域。不过怎样找到它基本意義而將不一样領域。不过怎样找到它基本意義而將不一样領域熵觀念融合起來是有需要熵觀念融合起來是有需要熵觀念融合起來是有需要熵觀念融合起來是有需要 第33页 湍流問題，極為復雜，有不一样湍流問題，極為復雜，有不一样湍流問題，極為復雜，有不一样湍流問題，極為復雜，有不一样 scale scale scale scale 問題，問題，問題，問題，也應當有熵問題。也應當有熵問題。也應當有熵問題。也應當有熵問題。流体力學中奇異點和流体力學中奇異點和流体力學中奇異點和流体力學中奇異點和 boundary boundary boundary boundary layer layer layer layer 也也也也需要需要需要需要大量理論投入，需不需要引力場方程来幫忙解大量理論投入，需不需要引力場方程来幫忙解大量理論投入，需不需要引力場方程来幫忙解大量理論投入，需不需要引力場方程来幫忙解釋，我認為是有意義。釋，我認為是有意義。釋，我認為是有意義。釋，我認為是有意義。基本方程式或基本物理現象，用數學形式基本方程式或基本物理現象，用數學形式基本方程式或基本物理現象，用數學形式基本方程式或基本物理現象，用數學形式表達出來時，都是用等式來表達。表達出來時，都是用等式來表達。表達出來時，都是用等式來表達。表達出來時，都是用等式來表達。但往往在徹底研究這種等式以前，不等式會産但往往在徹底研究這種等式以前，不等式會産但往往在徹底研究這種等式以前，不等式會産但往往在徹底研究這種等式以前，不等式會産生，同時起着無比主要性。生，同時起着無比主要性。生，同時起着無比主要性。生，同時起着無比主要性。波浪重疊，最後產生能够是極為光滑波浪重疊，最後產生能够是極為光滑波浪重疊，最後產生能够是極為光滑波浪重疊，最後產生能够是極為光滑波。怎样控制這種現象要依靠好不等式。也是一波。怎样控制這種現象要依靠好不等式。也是一波。怎样控制這種現象要依靠好不等式。也是一波。怎样控制這種現象要依靠好不等式。也是一切分析和應用數學精華。切分析和應用數學精華。切分析和應用數學精華。切分析和應用數學精華。第34页 Superposition是線性方程特微，在研究是線性方程特微，在研究非線性非線性integrable方程時，也有非線性方程時，也有非線性Superposition，普通而言，我們有沒有辦法，普通而言，我們有沒有辦法由少數解來產生新解是一個主要問題。非線由少數解來產生新解是一個主要問題。非線性現象是二十一世紀研究物件。性現象是二十一世紀研究物件。第35页 由由 Stationary 物理現象到物理現象到 Dynamical物物理現象，我們會碰到極為困理現象，我們會碰到極為困擾而又刺激數擾而又刺激數學問題。在方程觀點來說，橢圓方程過渡學問題。在方程觀點來說，橢圓方程過渡到拋物型，到双曲型到混合型方程組，有到拋物型，到双曲型到混合型方程組，有極度困難奇異點處理問題，在物理上有震極度困難奇異點處理問題，在物理上有震波處理問題，既要研究估值，又要研究物波處理問題，既要研究估值，又要研究物理意義，又希望大型計算機能夠幫忙。理意義，又希望大型計算機能夠幫忙。第36页 高維空間非綫性波和各種物理幾何關高維空間非綫性波和各種物理幾何關係將會影響這幾十年應用數學，其中有孤係將會影響這幾十年應用數學，其中有孤立子現象，有震波現象，多種粒子在非綫立子現象，有震波現象，多種粒子在非綫性互動時得出宏觀現象，方程帶有隨機變性互動時得出宏觀現象，方程帶有隨機變數時處理將會是應用數學主要題目。數時處理將會是應用數學主要題目。很多古典方法或近代物理方法應當能很多古典方法或近代物理方法應當能够應用到離散問題上去。大型網絡極為復够應用到離散問題上去。大型網絡極為復雜，怎样有效傳播訊息，怎样尋找資料，雜，怎样有效傳播訊息，怎样尋找資料，提供暸解數學極有意義問題。提供暸解數學極有意義問題。第37页 圖像處理和計算幾何更是一個電腦、圖像處理和計算幾何更是一個電腦、幾何、組合數學結合好地方，在醫學上有幾何、組合數學結合好地方，在醫學上有主要貢獻，自動控主要貢獻，自動控制論和上述種種應用都制論和上述種種應用都會結合，要得到最有效用途需要數學家亲會結合，要得到最有效用途需要數學家亲密合作。密合作。第38页研究研究應用數學方法應用數學方法 Modeling實驗實驗數字計算，統計數字計算，統計物理物理應用需要應用需要分析分析純數學，方程，統計純數學，方程，統計物理，化學，生物物理，化學，生物理論理論應用應用第39页 當微分方程和幾何和組合數學，真正大當微分方程和幾何和組合數學，真正大統一時，應用數學會有大進步。統一時，應用數學會有大進步。有宏大胸襟數學家會在前進途徑上創有宏大胸襟數學家會在前進途徑上創造新結構來因應這個統一使命，來瞭解造新結構來因應這個統一使命，來瞭解不一样數學分枝。不一样數學分枝。第40页數學在工業上應用數學在工業上應用工業問題，科學觀察實驗工業問題，科學觀察實驗統計，分析處理統計，分析處理理論，模型理論，模型計算，程序計算，程序應用應用預測預測控制控制優化優化仿真仿真設計設計第41页 單靠程序和計算數學即使有短暫生單靠程序和計算數學即使有短暫生長力量，不會有深遠影响。長力量，不會有深遠影响。怎样解釋由計算得出來現象，怎样與怎样解釋由計算得出來現象，怎样與物理和工程現象相吻合，怎样利用計算結物理和工程現象相吻合，怎样利用計算結果作有意義預測，乃是計算數學目標。果作有意義預測，乃是計算數學目標。所以理想應用數學家，應該有數學家根所以理想應用數學家，應該有數學家根基，有物理學家和工程學家眼光和觸角。基，有物理學家和工程學家眼光和觸角。第42页數學提供應用數學幾個主要工具數學提供應用數學幾個主要工具概率，隨機分析概率，隨機分析組合理論組合理論代數代數(Coding理論理論)幾何幾何(圖像處理，壓縮圖像處理，壓縮)分析分析微分方程微分方程調和分析，調和分析，Fourier分析分析小波分析小波分析動力系統動力系統第43页 由於應用科學產生，全部連續性數由於應用科學產生，全部連續性數學理論或存在性定理，都有定量迫近問學理論或存在性定理，都有定量迫近問題，所以產生很多有意義新數學。題，所以產生很多有意義新數學。物理，生物，化學，工程將會提供大量物理，生物，化學，工程將會提供大量有意義問題和新觀念。有意義問題和新觀念。好應用數學家需要融合各種科學，好應用數學家需要融合各種科學，經費不是唯一問題！經費不是唯一問題！第44页 七零年代，七零年代，應用數學家堅持分家，這是應用數學家堅持分家，這是由於聘請教授觀點不一样和經費收入不一样由於聘請教授觀點不一样和經費收入不一样所所致毛病。致毛病。分家結果：分家結果：1、數數學學家家比比較較重重视视純純科科學學命命題題，尤尤其其理理論論物物理理提提供供了了豐豐富富題題材材和和方方法法，給給予予數數學學新新生生命命，雖雖然然搞搞分分析析數數學學和和組組合合數數學學教教授授也也接接觸觸應應用用數數學學，不不过过接接觸觸並並非非全全方方面面性性，用用時往往缺乏應用能力，相反交流也不多。時往往缺乏應用能力，相反交流也不多。第45页在四零年代，五零年代培養出來應用數學家大都在四零年代，五零年代培養出來應用數學家大都在四零年代，五零年代培養出來應用數學家大都在四零年代，五零年代培養出來應用數學家大都是一流數學家是一流數學家是一流數學家是一流數學家Von NeumannVon Neumann C.C.Lin C.C.Lin CourantCourant Federich Federich StokerStoker Glimm Glimm LaxLax Keller Ke