常微分方程计算题及答案.doc

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《常微分方程》计算题及答案
计 算 题（每题10分）
1、求解微分方程。
2、试用逐次逼近法求方程通过点(0,0)的第三次近似解.
3、求解方程的通解
4、求方程组的通解
5、求解微分方程
6、试用逐次逼近法求方程通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程的通解
8、求方程组的通解
9、求解微分方程
10、试用逐次逼近法求方程通过(0,0)的第三次近似解.
11、求解方程的通解
12、求方程组的通解
13、求解微分方程
14、试用逐次逼近法求方程通过点(0,0)的第三次逼近解.
15、求解方程的通解
16、求解方程的通解
17、求方程组的通解
18、解微分方程
19、试用逐次逼近法求方程满足初始条件的近似解：.
20、利用逐次逼近法，求方程适合初值条件的近似解：。

21、证明解的存在唯一性定理中的第次近似解与精确解有如下误差估计式：
。

22、求初值问题 在区域 的解的定义区间，并求第二次近似解，给出在存在区间上解的误差估计。

23、
24、
25、
26、
27、
28、
29、
30、
31、
32、
33、
34、
35、
36、
37、
38、
39、
40、
41、
42、
43、
44、
45、
解：对应齐次方程的特征方程为 ，特征根为 ，
齐次方程的通解为
由于都不是特征根，故已知方程有形如
的特解。将代入已知方程，比较系数得
即 ，因而，所求通解为
。

46、
解：对应齐次方程的特征方程为 ， 特征根为 ，
齐次方程的通解为
由于3不是特征根，故已知方程有形如
的特解。将代入已知方程，比较系数得
即 ，因此，已知方程的通解为
。

47、
48、
49、
50、
51、
52、
53、
54、
55、
56、
解：对应齐次方程的特征方程为 ，特征根为 ，
齐次方程的通解为
由于不是特征根，故已知方程有形如
的特解。将代入已知方程，得
因此，所求通解为
。

57、
58、
59、
60、
61、
62、
63、
64、
65、
66、求微分方程的通解。
67、求的通解。
68、求微分方程的通解。
69、求微分方程的通解。
70、求微分方程的通解。
71、求微分方程的通解。
72、求方程的通解。
73、求微分方程的通解。

74、求微分方程的通解。

75、利用代换将方程 化简，并求出原方程的通解。
76、求下列线性微分方程组
77、解下列微分方程组的通解。
78、
79、
80、

计 算 题 答 案

１、解：对应的齐次方程+2xy=0的通解为y=ce-x2 (4¹)
用常数变易法，可设非齐次方程的通解为y=c(x)e-x2
代入方程y¹+2xy=2xe-x2得
c¹(x)=2x因此有c(x)=x2+c (3¹）
所以原方程的通解为y=(x2+c)e-x2 (1¹)

２、解：按初始条件取

3、解：对应的齐次方程为
特征方程为解得
对应的齐次方程通解为
（2¹）
设方程的一个特征解为y1=Ae-x
则y1¹=-Ae-x ,y2¹=Ae-x
代入解得A=-1/2
从而 （2¹）
故方程的通解为 （2¹）
4、解：它的系数矩阵是
特征方程
或为l2-10l+9=0 （2¹）
特征根l1=1,l2=9
原方程对应于l1 =1的一个特解为y1=et,x1=-et （2¹）
对应于l2=9的一个特解为y1=e9t,x1=e9t （2¹）
\原方程组的通解为 （2¹）

5、解：对应的齐次方程 y¹+2xy=0的通解为y=ce-x2 (4¹)
用常数变易法，可设非齐次方程的通解为y=c(x)e-x2
代入方程y¹+2xy=4x得c¹(x)=4ex2x因此有c(x)=2ex2+c (3¹）
所以原方程的通解为y=(2ex2+c)e-x2 (1¹)

6、解：取
则

因此，第二次近似解为 。

7、解：对应的齐次方程为
特征方程为，得对应的齐次方程通解为
（2¹）
设方程的一个特征解为
则,
代入解得，而 （2¹）
故方程的通解为 （2¹）

8、解：由方程解出y，得， 代入得即
故通解为
9、解：方程化为
对应的齐次方程 的通解为y=cx2 (4¹)
用常数变易法，可设非齐次方程的通解为y=c(x)x2
代入方程得
c¹(x)=2x因此有c(x)=x2+c (3¹）
所以原方程的通解为y=(x2+c)x2 (1¹)

10、解：取
则

因此，第三次近似解为

11、解：对应的齐次方程为y¹¹+y¹-2y=0
特征方程为l2+l-2=0 解得l=1,-2
对应的齐次方程通解为
Y=c1ex+c2e-2x （2¹）
设方程的一个特征解为y1=Ae-x
则y1¹=-Ae-x ,y1¹¹=Ae-x
代入解得A=-2
从而y1=-2e-x （2¹）
故方程的通解为y=Y+y1=c1ex+c2e-2x-2e-x （2¹）

12、解：它的系数矩阵是
特征方程
或为l2-4l-5=0 （2¹）
特征根l1=-1,l2=5
原方程对应于l1 =5的一个特解为y1=e5t,x1=e5t （2¹）
对应于l2=-1的一个特解为y2= -e-t,x2=e-t （2¹）
\原方程组的通解为 （2¹）

13、解：方程化为
对应的齐次方程的通解为 (4¹)
用常数变易法，可设非齐次方程的通解为
代入方程得因此有 (3¹）
所以原方程的通解为 (1¹)

14、解：取
则

因此，第三次近似解为

15、解：对应的齐次方程特征方程为解得l=1,-2
对应的齐次方程通解为 （2¹）
设方程的一个特征解为代入解得
从而 （2¹）
故方程的通解为

16、解：对应的齐次方程特征方程为l2+l-2=0 解得l=1,-2
对应的齐次方程通解为
Y=c1ex+c2e-2x （2¹）
设方程的一个特征解为y1=Ae-x
代入解得A=-3/2
从而y1=-(3/2)e-x （2¹）
故方程的通解为y=Y+y1=c1ex+c2e-2x-(3/2)e-x （2¹）
17、解：化简有
它的系数矩阵是
特征方程
或为l2-1=0 （2¹）
特征根l1=±1
原方程对应于l1 =-1的一个特解为y1=e-t,x1=e-t （2¹）
对应于l2=1的一个特解为y2=et,x2=3et （2¹）
\原方程组的通解为 （2¹）

18、解：因M(x,y)=3x2+6xy2,N(x,y)=6x2y3+4y3

所以为全微分方程
将其分组
\原方程可写成
\方程的通解为

19、解：

20、解：零次近似解为
一次近似解为
二次近似解为

21、证：由及迭代列

得
设
则

由归纳法知，对任意次近似解，估计式（1）成立。

22、解：1）由存在唯一性定理知，解的定义区间为
其中。这里，从而，即得解的定义区间为 。
2）求初值问题的二次近似解

则二次近似解为

3）由误差估计公式
其中L是李普希兹常数。因为，可取，则有

即第二次近似解在存在区间上的误差不超过。

23、解：方程可化为 作变换，代入方程得到

进一步化简，得 两边积分得
代回原变量，得原放通解

24、解：令，代入原方程得
这是齐次方程，再作变换，则方程化为
将变量分离，得
两边积分得
代回原变量，得通解
此外，即也是解，它包含在上述通解中。

25、解：首先求线性齐次方程 的通解。
分离变量，得 ， 两边积分得
设原方程通解为 ， 代入原方程，得到
两边积分得
于是，所求方程的通解为 。

26、解：若对调与的地位，即可把方程化为
这是以为未知函数的一阶线性方程，先求线性齐次方程 的通解。分离变量，得 ， 两边积分得
为求得原方程通解，设 ，代入原方程，得
两边积分得
所以，所求方程的通解为 。

27、解：若对调与的地位，即可把方程化为
这是以为未知函数的一阶线性方程，先求线性齐次方程 的通解。
分离变量，得 ， 两边积分得
令 ，代入原方程，得
两边积分得
所以，所求方程的通解为 。

28、解：原方程为 ， 令，代入上式得
（1）
上式两边同乘，并整理得 ， 两边积分得
这样，得到线性方程（1）的通解为
代回原变量，得原方程通解
此外，出现在分母位置，不可取0。

29、解：因为，所以有
因此方程为全微分方程。取，得

于是方程的通解为 。

30、解：这里 ，于是
因此这是一个全微分方程。把方程重新分项组合，得到
即 所以，方程的通解为

31、解：这里，
于是
因此这是一个全微分方程。即
所以，方程的通解为 。

32、解：这里 ，经计算知
这是一个全微分方程。把方程重新分项组合，得到

即 ， 所以，方程的通解为 。

33、解：将方程改写为　　
这里　
所以　
这是一个全微分方程。取，得

于是方程的通解为　　。
34、解：，   
所以 ，这样，方程有积分因子
原方程两端乘以，得到全微分方程
即 ，原方程的通解为 。
35、解：，   
于是得到然 ，
所以，方程有积分因子
于是原方程可化为
即 ，
因而，方程的通解为
36、解：令 ，则 ，代入方程得
两边积分得 ，从而将方程降为一阶方程
将变量分离，易求得其通解为 。

37、解：特征方程为 ， 因式分解为
特征根为，故所求通解为 。

38、解：特征方程为 ， 因式分解为
特征根为，故所求通解为
。

39、解：特征方程为 ， 特征根为，
故所求通解为
。

40、解：特征方程为 ， 因式分解为

特征根为，故所求通解为
.

41、解：特征方程为 ，
特征根为（二重），故所求通解为
.

42、解：特征方程为 ，因式分解为
特征根为（二重），，故所求通解为
.

43、解：特征方程为 ， 即
特征根为（四重），故所求通解为
.

44、解：对应齐次方程的特征方程为 ， 特征根为 ，
齐次方程的通解为
由于不是特征根，故已知方程有形如
的特解。将代入已知方程，比较系数得
即 ，因此，已知方程的通解为
。

45、解：对应齐次方程的特征方程为 ，特征根为 ，
齐次方程的通解为
由于都不是特征根，故已知方程有形如
的特解。将代入已知方程，比较系数得
即 ，因而，所求通解为
。

46、解：对应齐次方程的特征方程为 ， 特征根为 ，
齐次方程的通解为
由于3不是特征根，故已知方程有形如
的特解。将代入已知方程，比较系数得
即 ，因此，已知方程的通解为
。

47、解：对应齐次方程的特征方程为 ， 特征根为 ，
齐次方程的通解为
由于不是特征根，故已知方程有形如 （1）
的特解。求出 （2）
（3）
将（1）、（2）、（3）代入已知方程，比较系数得
即 ，因此，已知方程的通解为
。

48、解：对应齐次方程的特征方程为 ，特征根为 ，
故通解为
由于是一重特征根，所以已知非齐次方程有形如
的特解。将代入已知方程，得
即 ，因此，所求通解为
。

49、解：对应齐次方程的特征方程为 ，特征根为 （二重）。
① 若，此时齐次方程的通解为过
由于1不是特征根，故已知方程有形如 的特解。
将代入已知方程，得 ， 即
所以，时已知方程的通解为 。
② 若，此时齐次方程的通解为过
由于1是二重特征根，故已知非齐次方程有形如 的特解。
将代入已知方程，得 ， 即
所以，时已知方程的通解为

50、解：对应齐次方程的特征方程为 ，
特征根为 （二重），故齐次方程的通解为
由于2是二重特征根，1和0不是特征根，故已知非齐次方程有形如

的特解。将代入已知方程，得
即 ，因此，所求通解为
。

51、解：对应齐次方程的特征方程为 ，特征根为 ，
齐次方程的通解为
因为0是一重特征根，故已知非齐次方程有形如
的特解。将代入已知方程，得
所以，所求通解为 。

52、解：对应齐次方程的特征方程为 ，特征根为 （三重），
故通解为
由于是三重特征根，所以已知非齐次方程有形如
的特解。将代入已知方程，得
即 ，因此，所求通解为
。

53、解：对应齐次方程的特征方程为 ，特征根为 ，
所以对应齐次方程的通解为
由于不是特征根，所以已知方程有形如
的特解。将代入已知方程，得
因此，所求通解为
。

54、解：对应齐次方程的特征方程为 ，特征根为 ，
齐次方程的通解为
由于不是特征根，所以已知方程有形如
的特解。将代入已知方程，得
因此，所求通解为
。

55、解：对应齐次方程的特征方程为 ，特征根为 ，
齐次方程的通解为 因为
由于不是特征根，故已知方程有形如
的特解。将代入已知方程，得
因此，所求通解为
。

56、解：对应齐次方程的特征方程为 ，特征根为 ，
齐次方程的通解为
由于不是特征根，故已知方程有形如
的特解。将代入已知方程，得
因此，所求通解为
。

57、解：对应齐次方程的特征方程为 ，特征根为 ，
齐次方程的通解为
由于不是特征根，所以已知非齐次方程有形如

的特解。将上式代入已知方程，得
因此，所求通解为
。

58、解：对应齐次方程的特征方程为 ，特征根为 ，
所以对应齐次方程的通解为
I）若，由于是一重特征根，故已知方程有形如

的特解。将代入已知方程，得
所以，时所求通解为 。
II）若，此时已知方程有形如
的特解。将代入已知方程，得
所以，时所求通解为

59、解：对应齐次方程的特征方程为 ，特征根为 ，
齐次方程的通解为 ，因为
而0是一重特征根，不是特征根，故已知方程有形如

的特解。将上式代入已知方程，得
因此，所求通解为
。

60、解：对应齐次方程的特征方程为 ，特征根为 ，
齐次方程的通解为
由于是一重特征根，故已知方程有形如

的特解。将上式代入已知方程，得
因此，所求通解为
。

61、解：对应齐次方程的特征方程为 ，特征根为 ，
齐次方程的通解为
由于0是一重特征根，不是特征根，所以已知方程有形如

的特解。将上式代入已知方程，得
因此，所求通解为
。

62、解：对应齐次方程的特征方程为 ，特征根为 ，
齐次方程的通解为
由于是一重特征根，故已知方程有形如
的特解。将上式代入已知方程，得
因此，所求通解为
。

63、解：对应齐次方程的特征方程为 ，特征根为 ，
齐次方程的通解为
因为是一重特征根，所以已知方程有形如

的特解。将上式代入已知方程，得
因此，所求通解为
。

64、解：对应齐次方程的特征方程为 ，特征根为 ，
齐次方程的通解为
因为是一重特征根，而不是特征根，故已知方程有形如

的特解。将上式代入已知方程，得
因此，所求通解为
。

65、解：对应齐次方程的特征方程为 ，特征根为 ，
齐次方程的通解为
因为一重特征根，故已知方程有形如

的特解。将上式代入已知方程，得
因此，所求通解为
。

66、解：设 原方程化为
分解得 和 由 得解
由 得
积分之得 或者
故方程的全部解为 和 .

67、解：令 原方程化为

即
积分得到 .
68、解：令 则 代入原方程得：

化简得 解得
故通解为 .

69、解：（解法一）将原方程重新改写为
由于 令 方程化为
分离变量可得 即 或者
两边积分 .
（解法二）由于方程两端关于是二次齐次函数，故可作变换

代入方程后得
消去
不显含，令
得到伯努利方程 令

所以
两边积分
因此通解为
或者改写 .

70、解：原方程对应齐次方程特征方程为，所以对应齐次方程通解为
自由项 是单重特征根，。
自由项 不是特征根 。
故令

代入原方程两端比较系数得
故方程的通解为 .

71、解：相应齐次方程的特征方程为 故，齐次方程的通解为 。
非齐次方程的特解可令为 。
故

即

得 , 代入(1)得 .
所以 .
故原方程的通解为
. 。

72、解：设
代入后得到 满足
其特征方程，齐次方程的通解为 。
设特解为。 满足

解得
于是
所以原方程的通解为 。

73、解：令，则 原方程化为
。 即 。
特征方程为
通解为 或 。

74、解：令，则原方程化为 ，特征根为。
自由项不是特征根，故特解
自由项不是特征根，故特解。
设 。
代入方程后
通解为
或者 。

75、解：（解法一）由 两端对求导，得

可将原方程化为 特征方程为 ，
齐次方程通解为 。 自由项 不是特征根。
设 代入方程解得
其通解为 （为任意常数）
原方程的通解为
。

（解法二）也可由

代入原放后得方程
以下解法同解法一。

76、解：由（2）式解得 （3）
代入（1）得到 或 （4）
相应特征方程
齐次方程通解为
自由项 不是特征根。
设 代入方程（4）得到 ，得 。
故方程（4）的通解为
代入（3）式得到

即原方程通解为 。

77、解：由（3）式正是一阶常系数微分方程，特征方程，故
代入（2） （4）
特征方程 。而自由项 不是特征根。
设，解得： 。

故方程（2）可解出
代入（1）式得到 （5）
特征方程为
自由项中不是特征根，是单重特征根，
故设特解为 。

代入（5）得

得 ，
方程（5）的通解为
最后可写出方程组的通解为
78、解：系数矩阵的特征方程是

求得特征值为 。
相应于的特征向量满足
解之得 。
相应于的特征向量满足
解之得。
由此得方程组的通解为 。

79、解：系数矩阵的特征方程为

求得特征值为 。
相应于的特征向量满足
即。所以，特征向量可取为
相应于的特征向量满足
即。所以，特征向量可取为
由此得方程组的通解为 。

80、解：把方程组改写为
为系数矩阵的特征方程为

解之，得特征值为 。
相应于的特征向量满足
解之得。不妨取，则。那么，对应的解为
相应于的特征向量满足
解之得。不妨取。那么，对应的解为
于是，方程组的通解为 。