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此文档收集于网络，如有侵权请联系网站删除西 安 邮 电 大 学 毕 业 设 计（论 文）题 目： 实数完备性研究及应用 院 （系）： 理学院 专 业： 信息与计算科学 班 级： 信息1101班 学生姓名： 苏乔怡 导师姓名： 马晓珏 职称： 副教授 起止时间：2015 年3月9日 至 2015 年 6月14日 此文档仅供学习和交流毕业设计（论文）诚信声明书本人声明：本人所提交的毕业论文实数完备性研究及应用是本人在指导教师指导下独立研究、写作的成果，论文中所引用他人的文献、数据、图件、资料均已明确标注；对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明并表示感谢。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。论文作者： （签字） 时间： 年 月 日指导教师已阅： （签字） 时间： 年 月 日西安邮电大学本科毕业设计(论文) 选题审批表申报人马晓珏职称副教授学院理学院题目名称实数完备性研究及应用题目来源科研教学其它题目类型硬件设计软件设计论文艺术作品题目性质实际应用理论研究题目简述微积分建立之初在应用上的成功是非常突出的，但这并不能掩盖其在理论基础上的薄弱，甚至还造成了第二次的数学危机。实数完备性，又称为实数连续性是微积分建立的基础，是微积分大厦坚实的理论地基。可以这样说，整个微积分都建立在实数完备性基础之上。本课题对实数完备性展开研究，主要是对其中互相等价的六个命题进行讨论，研究其性质和在微积分中发挥的作用，并完整证明等价性。对学生知识与能力要求1、熟悉微积分背景及理论知识；2、有较好的分析和总结问题的能力。3、较强的逻辑推理能力。预期目标1、了解微积分发展的历史；2、理解实数完备性在微积分中发挥的作用；3、熟悉实数完备性定理，并完整证明等价性；4、最终成果以毕业论文形式呈现。时间进度校历第2-4周（3.09-3.27）：查阅题目相关资料，撰写并提交开题报告；校历第5-6周（3.30-4.10）：学习微积分发展的背景知识，了解实数完备性的作用；校历第7-8周（4.13-4.24）：熟悉实数完备性中的命题，并研究其性质；校历第9-10周（4.27-5.08）：完整证明六个命题的等价性；校历第11-12周（5.11-5.22）：总结之前工作，整理论文思路，撰写论文大纲；校历第13-14周（5.25-6.05）：撰写论文初稿，进行修改，并最终定稿；校历第15周（6.08-6.14）：提交论文定稿并进行毕设答辩。系（教研室）主任签字 年 月 日主管院长签字 年 月 日西安邮电大学本科毕业设计（论文）开题报告学号 07111012姓名 苏乔怡导师 马晓珏题目 实数完备性研究及应用选题目的（为什么选该课题） 实数完备性，又称为实数连续性是微积分建立的基础，是微积分大厦坚实的理论地基。可以这样说，整个微积分都建立在实数完备性基础之上的,它在整个数学分析中占据着重要的位置.但由于之前课程体系和具体内容安排,对于它的学习是比较浅显而粗糙的.选择该课题可以说是对这部分内容重要性的补充,很有必要.前期基础（已学课程、掌握的工具，资料积累、软硬件条件等）通过已学课程数学分析，了解实数完备性的一些相关知识，具备了一定数学理论基础，并且学校丰富的资源例如大量参考文献和论文资料，以及导师提供的指导与讲解都是研究该课题的有利工具。所查阅资料有华东师范大学数学系的数学分析第三版，和刘玉琏的数学分析讲义第五版。要解决的问题（做什么）熟悉和理解实数完备性的六个定理,深刻理解它们的本质.完整证明实数完备性定理之间的等价性；利用实数完备性证明闭区间上连续函数的性质,并对其在整个微积分中的应用展开讨论。工作思路和方案（怎么做）回顾所学知识以及参考大量的相关文献以及相关论文，利用中国知识网，中国学术期刊网搜集整理所需的资料,从中筛选出自己论文所要用到的内容，并结合自己已掌握的数学分析知识深入题目，对实数完备性的六个定理中的每一个都从定理本身和其适用范围及相互关系的角度具体展开研究.尤其是六个定理之间的等价性证明,采用循环证明的方法进行.在对实数完备性理解更深刻之后,研究它在整个微积分体系中的作用,并具体举例说明.指导教师意见苏乔怡同学通过收集和阅读相关文献资料，初步明确了实数完备性研究及应用这一课题的目的，做了一些前期准备工作，针对课题中要解决的问题提出了合理的解决思路，工作方案行之有效，计划合理。签字 马晓珏 2014年3月24日西安邮电大学毕业设计 (论文)成绩评定表学生姓名性别学号专 业班 级课题名称指导教师意见评分（百分制）：指导教师(签字)： 年 月 日评阅教师意见评分（百分制）： 评阅教师(签字)： 年 月 日验收小组意见评分（百分制）：验收教师(组长)(签字)： 年 月 日答辩小组意见评分（百分制）： 答辩小组组长(签字)： 年 月 日评分比例指导教师评分 20() 评阅教师评分 30() 验收小组评分30() 答辩小组评分 20()学生总评成绩百分制成绩等级制成绩答辩委员会意见毕业论文(设计)最终成绩(等级)： 学院答辩委员会主任(签字)： 年 月 日 目 录摘 要ABSTRACT引言11 预备知识22.1 互补问题22.2 互补问题的应用32 非光滑牛顿法研究43.1 半光滑函数及其性质43.2 半光滑再生方程73.3 无约束优化问题123.4 半光滑牛顿法（）143.5 半光滑牛顿法（）与正则牛顿法183 数值实验与分析21结论22致 谢23参考文献24 摘 要实数集的完备性即实数的连续性（稠密性），为实数集合的一个基本特征。它是数学原理证明的基础，也是微积分学坚实的理论基础。实数的完备性一直都是研究者热衷的研究课题，也是考查学生基本功和论证能力的一项重要指标。通过学者研究，我们可以从多个角度来刻画和描述实数的完备性。这就是本篇论文主要描述并证明的实数完备性六个基本定理，包括确界原理，单调有界定理，区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理以及柯西收敛准则。另外，在论文中还介绍了一些实数完备性在其他定理证明以及例题中的应用，例如有界性定理，最大、最小值定理，介值性定理，一致连续性定理等。通过这些应用是我们认识到实数完备定在数学理论中的重要地位。关键词：实数完备性；实数连续性；等价性；微积分； AbstractThe completeness of real numbers is also called continuity and density of real numbers. It is a basic feature of real set. It is not only a basis of the proof of the mathematical theorems, but also a theoretical basis of calculus. The completeness of real number is always the research topic which the researcher is keen, also is an important index to examine the students basic skills and the ability of demonstration. By scholars, we can from the multiple perspectives to depict the real number completeness, so in the end be a real number completeness theorem, this is this article mainly describe and prove the completeness of real number six basic theorems, including definite principle, drab bounded theorem, theorem of nested interval, the finite covering theorem, dot theorem and Cauchy convergence criterion.In the paper, the application of real number completeness in other principles is introduced, such as bounded theorem, maximum, minimum value theorem, value theorem, uniform continuity theorem, etc. Through these applications, we recognize the important position of real number theory in mathematics theory.Key words: Completeness of Real Numbers; Continuity of Real Numbers; Equivalence; Calculus 引言大家都知道，实数理论是数学分析的基础，而完备性和连续性是实数系最为重要的特征，因为具有了实数的完备性和连续性，所以才能讨论极限，连续，微分和积分。在实数理论中，实数的完备性的六个定理又充当着至关重要的作用。为了能让大家对这六个定理可以有一个全面的认识，本篇论文便以确界定理为起始证明其他定理的正确性，并且在实数的完备性应用方面进行了分析和举例。因此在探讨函数的不同极限的运算正确性的过程中，人们慢慢建立起严密完善的数学分析理论体系。实数完备性研究及应用这篇论文并不能称得上是一篇具有创新性的论文，前人对于此项方面的研究已经积累到了一定水平。而我所做的工作就是“站在巨人的肩膀上”。撰写这篇论文的过程中，我不仅搜集了许多学者在实数完备性方面的研究报告，并且整理出了对于循环证明实数完备性六个定理所需要的基础预备知识。通过对资料的分析理解，我也完成了对该六个定理的研究证明及应用。实数完备性的基本定理是整个数学体系理论性很强的一部分。实数理论的建立,体现了数学分析的严密性。我们都知道，数学分析的理论基础是实数完备性,而实数完备性也是实数的理论中重要内容之一,这其中也有许多的精彩有趣之处。目前，实数的完备性研究主要关注六个定理的循环证明，还有定理的应用。 虽然该六个定理描述的方向不同，但表达的都是实数稠密性这同一件事，因此它们彼此是等价的。实数完备性基本定理的证明在不同的课程辅导教材中都有各自不同的处理方法，可以说是众说纷纭。在这些方法中，比较通俗易懂的是用区间套方法去证明其它的定理。1987年，数学家M.W.Botsko提出了一种可以统一对这部分内容进行处理的新方法完全覆盖法，这个方法使大家在实数完备性的研究方面有了新的领悟和体会。因此，许多学者在这些方面都做了一些工作。另外，我认为该完备性定理的应用也是研究的重要方向之一，这些定理从不同方面体现了实数的完备性，并且它们也在对论证其它一些重要定理和规则上提供了依据，例如介值性定理，有界性定理等。另外，最为数学分析的基础知识，实数完备性在很大程度上考察了学生的基础知识和专业论证能力，经常得到考题官的喜爱。1 预备知识1.1 确界定义定义1.1.1 设为中的一个数集。若存在数，使得对一切，都有()，则称为有上界(下界)的数集，数称为的一个上界(下界)。若数集上界与下界都有，则称为有界集若不是有界集，则称为无界集。 定义1.1.2 设是中的一个数集若数满足： （i）对一切，有，即是的上界； （ii）对任何存在，使得即又是的最小上界则数叫做数集的上确界，写作。 定义1.1.3 设是中的一个数集若数满足： （i）对一切，有，即是的下界 （ii）对任何，存在，使得即又是的最大下界，则数叫做数集的下确界，记作。因此，统称上确界与下确界为确界。1.2 极限以及数列定义定义1.2.1 若函数的定义域为全体正整数集合，则或 为数列。 定义1.2.2 设为数列，为定数。若对任给的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时有 ，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作或。 定义1.2.3 若数列的各项满足关系式，则称为递增（递减）数列。递增数列和递减数列统称为单调数列。1.3 区间套定义 定义1.3.1 若闭区间序列具有如下性质： （i）； （ii），则称为闭区间套，简称区间套。1.4 聚点定义 定义1.4.1 设为数轴上的非空点集, 为直线上的一个定点(当然可以属于, 也可以不属)。若对于任意正数,在中含有的无限个点, 则称为的一个聚点。 定义1.4.1 设为实数集上的非空点集,。若对于任意正数，则称为的一个聚点。 定义1.4.1 若存在各项互异的收敛数列，则其极限称为的一个聚点。 下面简单叙述一下这三个定义的等价性： 定义1.4.1 定义1.4.1 由定义直接得到 定义1.4.1 定义1.4.1 对任给的，由， 那么取，； 取，； 取，； 这样就得到一列。由的取法，两两互异，并且 由此 定义1.4.1 定义1.4.1 根据极限的定义知道是显然的。1.5 开覆盖定义定义1.5.1 设为数轴上的点集，为开区间的集合（即的每一个元素都是形如的开区间）。若中任意一点都包含在至少一个开区间内，则称为的一个开覆盖，或称覆盖.如果中开区间的个数无限（有限）的，那么称为的一个有限开覆盖。2 实数完备性定理的证明2.1 确界原理及其证明确界原理 设为非空数集若有上界，则S必有上确界；若有下界，则必有下确界。证 我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明。为叙述的方便起见，不妨设含有非负数。由于有上界，故可找到非负整数，使得 对于任何有; 存在,使.对半开区间作等分,分点为,则存在 中的一个数,使得 对于任何有； 存在，使再对半开区间作等分，则存在中的一个数使得 对于任何有 存在，使继续不断地等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在中的个数，使得对于任何有存在，使 将上述步骤无限地进行下去，得到实数。以下证明。为此只需证明：（i） 对一切有；（ii） 对任何，存在使倘若结论（i）不成立，即存在使，则可找到的位不足近似，使 ，从而得 ，但这与不等式相矛盾于是（i）得证。 现设，则存在使的位不足近似，即 ，根据数的构造，存在使，从而有 ，即得到，这说明（ii）成立。2.2 单调有界定理及其证明 单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限. 证 设为有上界的递增数列. 由确界原理知，数列含上确界，写作。 下面证明就是的极限。 事实上，任给，按上确界的定义，存在数列中的某一项使得。又由的递增性，当时有 。 另一方面，由于是数列的一个上界，故对一切都有。 所以当时 ，这就证得。同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。2.3 区间套定理及其证明区间套定理 若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得, 即。证 由定义7 的条件（i）可知, 数列为递增有界数列, 依单调有界定理，有极限，且有 .同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件（ii）有 ，且.综上，可得 .下面证明满足 的是唯一的。设数也满足 ，则由 有 .由区间套的条件（ii）得 ，故有 。注 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结论不一定成立。例如对于开区间列 , 显然是不存在的。 推论 若是一个区间套所确定的点，则对任给的，存在，使得当时有。 证 由区间套定理的证明可得：。 由极限的保号性, 对于任意正数 e , 存在 正整数N, 当时，有 ，即 ，这就是说 。2.4 柯西收敛准则及其证明 柯西收敛准则 数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数使得当时有 。 证 (必要性)设 ，由数列极限的定义，对任给的，存在正整数，使得当时有 , 因而有 。 (充分性)由题设，对任给的，存在正整数，当时，。 即当时，有 。令，存在正整数，当时，取 。令,存在正整数，当时，,取 。显然有 ，并且当时，。 令，存在，当时，,取。 这样就得到一列闭区间，满足 （i）； （ii） ； （iii）对，当时，.由区间套定理，存在惟一的 。由区间套定理的推论，对任给的，存在,当时，所以。这就证明了 . 故数列收敛。2.5 魏尔斯特拉斯聚点定理及其证明聚点定理 实数轴上的任意有界无限点集必有聚点。证 因为为有界点集, 所以存在正数, 使 , 且记 。 现将 等分为两个子区间. 因为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有中无穷多个点，记此子区间为，则且 。 再将等分为两个子区间，则其中至少有一个含有中无穷多个点，取出这样一个子区间，记为，则，且 。 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列，它满足 ， ，即是区间套，且其中每一个闭区间都含有中无穷多个点。由区间套定理，存在唯一的一点。由区间套定理的推论，对任给的，存在,当时.从而内含有中无穷多个点，按定义8为的一个聚点。 推论（致密性定理） 有界数列必有收敛子列。 证 设为有界数列.若中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的。 若数列不含有无限多个相等的项，则在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集至少有一个聚点，记为。于是按定义8，存在的一个收敛子列（以为其极限）。2.6 海涅-博雷尔有限覆盖定理及其证明 有限覆盖定理 设为闭区间的一个（无限）开覆盖，则从中可选出有限个开区间来覆盖。 证 （论反证）假设定理的结不成立，则不能用中有限个开区间来覆盖。 现将 等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖。记此子区间为，则 且 。 再将等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖。取出这样一个子区间，记为，则，且 。 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列，它满足 ， ，即是区间套，且其中每一个闭区间都不能用中有限个开区间来覆盖。 由区间套定理，存在唯一的一点。 由于是的一个开覆盖，故存在开区间，使。于是，由区间套定理的推论，当充分大时有 。这表明只须用中的一个开区间就能覆盖，与挑选时的假设“不能用中有限个开区间来覆盖”相矛盾。从而证得必存在属于的有限个开区间能覆盖。注 定理的的结论只对闭区间成立，而对开区间则不一定成立。3 实数完备性的循环证明及应用3.1实数完备性定理的循环证明首先使用有限覆盖定理证明聚点定理 证 设为直线上的有界无限点集. 于是存在使。假定在任何点都不是的聚点，则对每一点都存在相应的，使得内至多包含的有限多个点。令，则是的一个开覆盖，据有限覆盖定理，中存在有限个邻域，使得覆盖了，从而也覆盖了。由于每个邻域中至多含有的有限个点，故这个邻域的并集也至多只含有的有限个点，于是为有限点集，这与题设为无限点集矛盾。 因此，在中至少有一点是的聚点。接下来用聚点定理证明柯西收敛准则 证 设数列为有界数列。若中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的。 若数列不含有无限多个相等的项，则在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集至少有一个聚点，记为。于是按定义8，存在的一个收敛子列（以为其极限）。 设数列满足柯西条件。 先证明是有界的.为此，取，则存在正整数，当及时，有 。 由此得 。令，则对一切正整数均有。 于是，由致密性定理，有界数列必有收敛子列，设。对认给的，存在，当时，同时有 （柯西条件） （）因此当取时，得到 这就证明了。然后用柯西收敛准则证明确界原理 证 设为非空有上界数集.由实数的阿基米德性，对任何正数，存在整数，使得为的上界，而不是的上界，即存在，使得。分别取，则对每一个正整数，存在相应的，使得为的上界,而不是的上界，故存在，使得 (1)又对正整数，是的上界，故有. 结合(1)式得 ； 同理有 。从而得 。于是，对任给的，存在，使得当时有 由柯西收敛准则，数列收敛. 记 (2)现在证明就是的上确界。 首先，对任何和正整数有，由(2)式得，即是的一个上界。其次，对任何，由及(2)式，对充分大的同时有 ， 。又因不是的上界，故存在，使得。结合上式得 。这说明为的上确界。同理可证：若为非空有下界数集，则必存在下确界。接着用确界原理证明单调有界定理 证 不妨设为有上界的递增数列。由确界原理，数列有上确界，记为。下面证明就是的极限。. 事实上，任给，按上确界的定义，存在数列中的某一项使得。又由的递增性，当时有 。 另一方面，由于是数列的一个上界，故对一切都有。所以当时 ，这就证得。同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。现在用单调有界定理证明区间套定理证 由定义7 的条件（i）可知, 数列为递增有界数列, 依单调有界定理，有极限，且有 。同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件（ii）有 ，且。 综上，可得 。下面证明满足 的是唯一的。设数也满足 ，则由 有 。由区间套的条件（ii）得 ，故有。最后使用区间套定理证明有限覆盖定理 证 假设定理的结不成立，则不能用中有限个开区间来覆盖。 现将 等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖. 记此子区间为，则 且 。 再将等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖. 取出这样一个子区间，记为，则，且 。 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列，它满足 ，即是区间套，且其中每一个闭区间都不能用中有限个开区间来覆盖。由区间套定理，存在唯一的一点。由于是的一个开覆盖，故存在开区间，使。于是，由区间套定理的推论，当充分大时有 。这表明只须用中的一个开区间就能覆盖，与挑选时的假设“不能用中有限个开区间来覆盖”相矛盾。从而证得必存在属于的有限个开区间能覆盖。3.2 实数完备性在闭区间函数定理中的应用 定理3.2.1 若函数在闭区间上连续，则在上有界。 证 （应用有限覆盖定理）由连续函数的局部有界性，对每一点，都存在邻域及正数，使得 ，。 考虑开区间集 ，显然是的一个无限开覆盖。由有限覆盖定理，存在的一个有限子集 覆盖了，且存在正数， ，使得对一切 有，。 令，则对任何，必属于某可以推出。这就证得在上有界。（应用致密性定理）倘若在上无上界，则对任何正整数，存在，使得. 依次取，则得到数列. 由致密性定理，它收敛子列，记。 由及数列极限的保不等式性，. 利用在点处连续，推得 。 （3）另一方面，由的选取方法又有，这与（3）式相矛盾。所以在上有上界. 类似地可证在上有下界.从而在上有界。3.2.2 最大、最小值定理 定理 若函数在闭区间上连续，则在上有最大值和最小值。 证 （应用确界原理）由于已证得在上有界，故由确界原理，的值域有上确界，记为.以下我们证明：存在，使得。 倘若不然，对一切都有. 令 ，。易见函数在上连续，故在上有上界. 设是的一个上界，则 ，。从而推得 ， 但这与为的上确界（最小上界）相矛盾. 所以必存在，使，即在上有最大值。 同理可证在上有最小值。3.2.3 介值性定理 定理 设函数在闭区间上连续，且。若为介于与之间的任何实数（或），则存在，使得。 证 （应用确界原理） 不妨设. 令，则也是上的连续函数，且，。于是定理的结论转化为：存在，使得.这个简化的情形称为根的存在性定理。 记。 显然为非空有界数集（且），故由确界原理，有下确界，记。因，由连续函数的局保号型，存在,使得在内，在内，由此易见，即。 下证. 倘若，不妨设,则又由局部保号性，存在（），使得其内，特别有。但这与相矛盾，故必有。 （应用区间套定理） 同上述证法，我们把问题转化为证明根的存在性定理，即若函数在闭区间上连续，则存在使。 将等分为两个子区间与. 若，则即为所求；若，则当时记，当记。于是有，且， 。 再从区间出发，重复上述过程，得到：或者在 的中点上有，或者有闭区间，满足，且 ，。 将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形：（1）在某一区间的中点上有，则即为所求；（2）在任一区间的上均有，则得到闭区间列，满足，且 ， 。由区间套定理，存在点，.下证.倘若，不妨设,则由局部保号性，存在，使在其内有。而由区间套定理的推论，当充分大时有，因而有。但这与选取时应满足的相矛盾，故必有。3.2.4 根的存在定理 定理 若函数在闭区间上连续且与异号（即），则至少存在一点，使得，即方程在内至少有一个根。 证 （应用有限覆盖定理） 设在闭区间上连续， 与异号，现证明方程在内至少有一实根。假定方程在内无实根，则对每一点，有，据的连续性，存在正数，使得在上与点处的函数值同号。 令 ，则是的一个开覆盖，据有限覆盖定理，中必存在有限个邻域能够覆盖。设这有限个邻域为：，且。不妨设其中任意两个邻域无包含关系（否则，去掉被包含邻域仍能覆盖），于是 。 而在每个内不变号，由此推得在内不变号，这与题设，异号矛盾。 因此，方程在内至少有一实根。3.2.5 一致连续性定理 定理 若函数在闭区间上连续，则在上一致连续。 证 （应用有限覆盖定理由在闭区间上的连续性，任给，对每一点，都存在，使得当时有 . （4） 考虑开区间集合 ，显然是的一个开覆盖. 由有限覆盖定理，存在的一个有限子集 覆盖了. 记。对任何，必属于中某开区间，设，即。此时有 ，故由（4）式同时有 和 。由此得。所以在上一致连续。 （应用致密性定理） 用反证法。倘若在上不一致连续，则存在某，对任何，都存在相应的两点，尽管，有 。 令（为正整数），与它相应的两点记为，尽管，但有 （5）当取遍所有正整数时，得到数列与。由致密性定理，存在的收敛子列，设。同时有，又得 。最后，由（5）式有 ，在上式中令，由的连续性及数列极限的保不等式性，得到 。这与相矛盾. 所以在上一致连续。3.3实数完备性应用举例例3.3.1 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证： （1） ； （2）；解 （1），下面依定义验证。 因，等价于，所以对任意的，有 且，即、分别是的上、下界。又对任意的正数，不妨设，于是存在，使，使，所以由上下确界的定义， （2），下面依定义验证。 对任意的，所以1是的下界。因为对任意的，令，则，故无上界，所以；对任意的正数，存在，使，所以。例3.3.2 设为单调数列。证明：若存在聚点，则必是唯一的，且为的确界。证 设为递增数列，设为的聚点。下面证明（1）是的上界.若不然，使，取，由的递增性，内只含有中的有限项.这与是的聚点矛盾.从而是的上界。2），取，则，使得。所以.由确界的唯一性，聚点是唯一的。例3.3.3 证明：在上的连续函数为一致连续的冲要条件是 ， 都存在。证 （必要性）设在上一致连续，则 只要 ，就有 （6）取，则，有（6）式成立.由柯西准则，存在。同理也存在。例3.3.4 设定义在上。证明：若对内任一收敛数列，极限都存在，则在上一致连续。证 假设在上不一致连续，则，对，总存在，尽管，但有。令，与它相应的两点记为，尽管，但有 （7）当取遍所有正整数时，得数列，由致密性定理，存在的收敛子列，设。又，即由（7）式有，令，得。这与相矛盾. 所以在上一致连续。例3.3.5 设函数定义在上, ,极限都存在。证明在上有界。分析 函数在每点处由函数极限的局部有界性,在其中有界,于是成为的一个无限开覆盖。然后可用有限覆盖定理得结论成立。读者从本例中可以了解如何应用有限覆盖定理。另外,本例可应用致密性定理,通过反证法来证明。证 因为在上每点存在极限,由函数极限的局部有界性, ,与,使得。所有这种邻域的集合成为的一个开覆盖;由有限覆盖定理,存在的有限开覆盖。若取,则因覆盖了,对中每一,它必属于中某一邻域, 于是 。例3.3.6 若函数在上无界,则必存在上某点,使得在该点的任意领域内无界。证 用反证法,若,存在,使得在中有界,则令,它成为的一个无限开覆盖由有限覆盖定理,存在为的有限开覆盖。由于在每上内有界,因此 在上有界,这与在上的无界性相矛盾。例3.3.7 设在上连续,对任何.试用有限覆盖定理证明:一定存在,使得对任何,满足。证 ,因为,由连续函数的局部保号性,于是,。现令，它是的一个无限开覆盖，由有限开覆盖定理，存在为的有限开覆盖,取 ,某个（）,使,于是 。例3.3.8 设函数对任何内的,存在 ,使得在内递增试证在整个内亦递增。证 ,证明由所设条件,使在内递增,故 是后个无限开覆盖,由有限覆盖定理,存在为的有限开覆盖,为叙述方便起见,不妨设由就能覆盖, 且设。若,则因,在中递增,故；若,则,且因,故,使。于是又有。对的有限情形可类似地证明。由此可见, 在上递增。例3.3.9 试用确界原理证明:若函数在闭区间上连续,则在上有界。分析 设 在上有界,。因为由在点的局部有界性,可知S是非空数集,且以为上界,由确界原理,存在。关键在于证明,并证,以使,即在上有界。证 设 在上有界,。由分析可知,S为非空有上界数集,于是由确界原理,存在。现用反证法证明。若,由连续函数的局部有界性，,使在 内有界,即,使,而这与相