坐标表示的焦半径公式.doc

圆锥曲线知识提要
一． 坐标表示的焦半径公式
1、 椭圆（一类）
由代入整理得
,
同理，
可以假想点P在y轴右边，且x>0 帮助，显然总有符合椭圆定义.
公式常见应用：
（1） 椭圆上点到焦点最远距离a+c，最近距离a-c
（2） 椭圆上三点A,B,C，若成等差数列，则到同一个焦点的焦半径也成等差数列。
（3） 定义直线为椭圆的左右准线.
由焦半径公式,椭圆上任意一点 P(x，y) 到对应焦点和对应准线的距离之比总等于离心率e.
2。 双曲线
由代入整理得
，
由双曲线上点 ，
若点P在右支上，同理, 。总有 。
若点P在左支上，同理, 。总有 。
公示的应用：
（1）若双曲线上同一支上的三点A,B，C，有成等差数列,则它们到同一个焦点的焦半径也成等差数列。
（2）定义直线为双曲线的左右准线。
由焦半径公式,双曲线上任意一点 P（x,y） 到对应焦点和对应准线的距离之比总等于离心率e。
3。抛物线

公式的应用：抛物线上三点A，B，C，
若，则。
二． 圆锥曲线统一定义及方向角表示的焦半径公式
1、 统一定义：平面上到定点F与定直线l 距离之比等于
常数e的点轨迹。若0<e<1，轨迹为椭圆。
若e=1，则轨迹为抛物线。
若e〉1,则轨迹为双曲线.
2.方向角焦半径公式
（1）方向角定义
如图：将Fx当始边，FM当终边所成角定义为
点M的方向角.方向角范围
将焦准距离统一表示为P。
对于椭圆,双曲线 （要求记忆)
（2）公式: e：离心率，对于椭圆，双曲线, 。
（3）公式的应用:
焦点弦长公式

说明：
（1）焦点弦长公式中，方向角以平方形式出现，
不影响计算，可将方向角改为焦点弦和对称轴
夹角:。
(2）有对称性改为夹角，公式对椭圆,双曲线的左右焦点弦都成立。
（3）对于双曲线当所决定的焦点弦与渐近线平行，在实际上不存在。
若较小，使时，此时公式应表为，此时焦点弦的两个端点分在两支上.
（4）对于抛物线，∵e=1 ， .为焦点弦与对称轴夹角。
(5）通径：垂直对称轴的焦点弦称通径，在,令得通径的统一表示2eP。
对于椭圆，双曲线： ;对于抛物线： 2eP=2P.
(6）以上结论容易推广到二类圆锥曲线，比如焦点弦与对称轴夹角，
则有 。
三．相交弦长公式
将直线y=Kx+d 代入椭圆

存在相交弦
在中,由求根公式
，
在具体问题,只要已知直线斜率和求得的代入后方程可直接写出相交弦长表达式，完全可以略去中间过程.
上面的观点对于双曲线，抛物线和直线产生的相交弦长也完全用类似的方法推导。只是对于双曲线,直线不能与渐近线平行；对于抛物线,直线不能与对称轴平行.
四． 焦点三角形问题
对于椭圆和双曲线存在焦点三角形

对于焦点三角形问题，应注意两条：
一是用定义：椭圆:；双曲线：.
二是用正余弦定理：
举例：已知椭圆，点P位其上一点，点P对张角
（即∠），试求表示式。
解：由余弦定理：
移项，消去4：
又
说明:上面这个例子完全适用双曲线中的焦点三角形。
请你推导右面双曲线的图，若∠，求.

五． 其他有关知识点:
1. 椭圆中的基本
令∠
可以通过三角函数对椭圆中的a,b,c，e进行相互转换。
比如:由 .椭圆的方程便可以假设为：
2. 双曲线中的基本矩形：
称为是相互共轭两条双曲线，作
,四条直线构成一个矩形，称作
是这两条双曲线的基本矩形（如图）：
基本矩形的对角线定是这两条双曲线的渐近线。
基本矩形中是的一个基本：
OA=a ，AD=b， OD=c 。令∠DOA=，则就是其一条渐
近线的倾斜角.设斜率K，则
可以利用三角函数在双曲线的a，b，c，e，K之间进行过渡。
对于,则是它的基本: 。 令∠BOD。
互余，在共轭双曲线之间e与有关系。
3. 双曲线渐近线
m〉0为一类双曲线，m〈0为二类双曲线，不论一类，二类，令m=0得到的两条直线定为双曲线的渐近线,具体运作时，移项，开方：。这一结果可以使双曲线方程和它的渐近线方程，两者相互反馈。
例:已知双曲线以坐标轴为对称轴，一条渐近线的方程为，且过点（6，4)。试求该双曲线方程。
由可得
得 .
4. 有关抛物线的知识点:
（1）四类抛物线:可以简化为两大类： 。
焦点。
(2）焦点弦端点坐标公式
如图,为的焦点弦,则有: y

练习题：由焦点弦的一个端点B做准线的垂线,
垂足E。证明:A，O，E三点共线. E
上面的性质可以推广到其他类型的抛物线.

(3）抛物线上两点连线斜率公式
对于一类抛物线上两点
关于圆锥曲线的切线
1. 椭圆
1） 若点为椭圆上一点，则椭圆过点P的切线方程为
同一法证明：由(1）知点为椭圆与直线的公共点,若椭圆与直线还有一个公共点，则（2）（3）
（1）+（2)－2（3）:
即，直线与椭圆仅有一个公共点,故为切线。
2） 椭圆切线的一般表示
点为椭圆上点的一般表示,代入上面的切点公式得
. 此为椭圆切线的一般表示.
练习题:求椭圆上点与直线距离的最大值。
设椭圆切线,令其斜率

3） 切点弦直线
点为椭圆外一点，由P可向椭圆引
两条切线PA,PB，切点A，B。直线AB称为切点弦直线。
容易证明点的切点弦直线方程为.
设切点，则
切线PA：，由切线过，则。（1）
切线PB：，由切线过,则。（2）
由（1），（2)，直线过。故为切点弦直线.
2. 双曲线
（1)若点为双曲线上一点，则双曲线过点P的切线方程为。
（2）若点为双曲线拱形外一点，则由P可引双曲线的两条切线PA，PB，切点A，B,切点弦直线AB方程为。
3. 抛物线
(1）若点为抛物线上一点,则抛物线在点处的切线方程为 。
完全类似于椭圆时情形，用同一方法进行证明。
若抛物线方程为，其上一点,则点P处切线方程为。
若抛物线方程为,其上一点,则点P处切线方程为
（2）若点为抛物线拱形外一点，则由P可引抛物线的两条切线PA，PB，切点A,B，则切点弦AB所在直线方程为。
练习题：(08山东理) y
M为上任意一点,MA，MB为的两条切线。
求证：A,M，B三点横坐标成等差。
证明：设，由求导公式得过点A的抛物线切线为
，同理点处切线为
若这两条直线是由点所引的两切线， A
。这一结果表明直线 B
过点，点，故直线
即为直线AB x
M
3. 圆
1） 若点为圆上一点，则方程为圆在点P处的切线.
2） 若点为圆上一点，则方程
为圆在点P处的切线.
3） 若点或上一点，则方程
或为切点弦直线.
练习题：
1. 由P(3，4）向圆引两条切线PA,PB,切点A，B，求△PAB外接圆方程。
解：由P(3,4)向圆所引切点弦直线方程为
方程为过A,B两点的圆系方程,代入P(3,4），
，外接圆方程为。
2。（09山东）圆在椭圆内部,求t使圆上任意一点处的切线与椭圆交于点A，B两点，都有OA⊥OB。
解：设为圆上一点，此点切线为.
取代入椭圆得，
得 。
再将切线写成,代入椭圆得,得 。
由OA⊥OB知 .
5。有关切点弦直线的统一结论：
在准线上任一点的切点弦直线必过对应的焦点.
1） 椭圆，左准线上一点的切点弦直线代入左焦点 ，方程成立.
对于双曲线，抛物线同样证明。
2） 抛物线准线上一点的切点弦直线，不仅过焦点,且两条切线垂直。
可以直接证明:
设过点M（）的直线代入，得一代入后方程：（请自己写结果）由这一方程的得一斜率为K的二次关系式，视为K的一元二次方程.由韦达定理.
间接证明：
先证切点弦直线必过焦点,再由焦点弦端点坐标公式，证明所引的两条切线必定垂直。
y
关于圆锥曲线焦点弦一个有关角度的结论：
如图，AB为圆锥曲线任意一条焦点弦，点E C B
为准线和对称轴焦点(亦称准点），则定有∠AEF=∠BEF.
证明：设点C，D为点B，A在准线上的射影，由圆锥 E F x
曲线统一定义：。
由
。 D A
练习题：椭圆,过点P（4，0）做斜率K直线交椭圆于A，B两点，再过P做斜率－K 直线交椭圆于C,D两点。(如图）
求证：AB与CD交于定点。 y
证明：利用上面定理（要先证明引理）,用同一法证明:
∵点P（4,0)为准点，设椭圆右焦点F.连接DF角椭圆
与,则为焦点弦。 A
∴ 。
又由假设知.
∵A与同为椭圆上一点,∴只能是A= .
也即AD连线过右焦点F，同理，BC连线过右焦点F。
∴AB与CD交于定点F .