微积分下册知识点学习资料.doc

微积分（下）知识点
微积分下册知识点
第一章 空间解析几何与向量代数
（一） 向量及其线性运算
1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；
2、 线性运算：加减法、数乘；
3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；
4、 利用坐标做向量的运算：设，，
则 , ；
5、 向量的模、方向角、投影：
1） 向量的模：；
2） 两点间的距离公式：
3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角
4） 方向余弦：

5） 投影：，其中为向量与的夹角。

（二） 数量积，向量积
1、 数量积：
1）
2）

2、 向量积：
大小：，方向：符合右手规则
1）
2）

运算律：反交换律

（三） 曲面及其方程
1、 曲面方程的概念：
2、 旋转曲面：
面上曲线，
绕轴旋转一周：
绕轴旋转一周：
3、 柱面：
表示母线平行于轴，准线为的柱面
4、 二次曲面（不考）
1） 椭圆锥面：
2） 椭球面：
旋转椭球面：
3） 单叶双曲面：
4） 双叶双曲面：
5） 椭圆抛物面：
6） 双曲抛物面（马鞍面）：
7） 椭圆柱面：
8） 双曲柱面：
9） 抛物柱面：

（四） 空间曲线及其方程
1、 一般方程：
2、 参数方程：，如螺旋线：
3、 空间曲线在坐标面上的投影
，消去，得到曲线在面上的投影

（五） 平面及其方程
1、 点法式方程：
法向量：，过点
2、 一般式方程：
截距式方程：
3、 两平面的夹角：，，

4、 点到平面的距离：

（六） 空间直线及其方程
1、 一般式方程：
2、 对称式（点向式）方程：
方向向量：，过点
3、 参数式方程：
4、 两直线的夹角：，，

5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，

第二章 多元函数微分法及其应用
（一） 基本概念
1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
2、 多元函数：，图形：
3、 极限：
4、 连续：
5、 偏导数：

6、 方向导数：
其中为的方向角。
7、 梯度：，则。
8、 全微分：设，则
（二） 性质
1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：
偏导数存在
函数可微
函数连续
偏导数连续
充分条件
必要条件
定义
1
2
2
3
4

2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）
3、 微分法
1） 定义：
2） 复合函数求导：链式法则
若，则
，
3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）
（三） 应用
1、 极值
1） 无条件极值：求函数的极值
解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令
，，，
① 若，，函数有极小值，
若，，函数有极大值；
② 若，函数没有极值；
③ 若，不定。
2） 条件极值：求函数在条件下的极值
令： ——— Lagrange函数
解方程组
2、 几何应用
1） 曲线的切线与法平面
曲线，则上一点（对应参数为）处的
切线方程为：
法平面方程为：
2） 曲面的切平面与法线
曲面，则上一点处的切平面方程为：

法线方程为：

第三章 重积分
（一） 二重积分（一般换元法不考）
1、 定义：
2、 性质：（6条）
3、 几何意义：曲顶柱体的体积。
4、 计算：
1） 直角坐标
，

，

2） 极坐标

（二） 三重积分
1、 定义：
2、 性质：
3、 计算：
1） 直角坐标
-------------“先一后二”
-------------“先二后一”
2） 柱面坐标
，
3） 球面坐标

（三） 应用
曲面的面积：

第五章 曲线积分与曲面积分
（一） 对弧长的曲线积分
1、 定义：
2、 性质：
1）
2）
3）在上，若，则
4） ( l 为曲线弧 L的长度)
3、 计算：
设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则

（二） 对坐标的曲线积分
1、 定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，
.
向量形式：
2、 性质：
用表示的反向弧 , 则
3、 计算：
设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为
，其中在上具有一阶连续导数，且，则

4、 两类曲线积分之间的关系：
设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，，，
则.

（三） 格林公式
1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在
D 上具有连续一阶偏导数, 则有
2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则
曲线积分 在内与路径无关
曲线积分
在内为某一个函数的全微分
（四） 对面积的曲面积分
1、 定义：
设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，
定义
2、 计算：———“一投二换三代入”
，，则

（五） 对坐标的曲面积分
1、 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量
2、 定义：
设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义
同理，

3、 性质：
1），则

2）表示与取相反侧的有向曲面 , 则
4、 计算：——“一投二代三定号”
，，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“ + ”， 为下侧取“ - ”.
5、 两类曲面积分之间的关系：

其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。
（六） 高斯公式
1、 高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数, 则有

或
（七） 斯托克斯公式
1、 斯托克斯公式：设光滑曲面 S 的边界 G是分段光滑曲线, S 的侧与 G 的正向符合右手法则, 在包含å 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有

为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:

第六章 常微分方程
1、微分方程的基本概念
含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程；
未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程;
未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程；
微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶.
能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.
如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解.
不包含任意常数的解为微分方程特解.
2、典型的一阶微分方程
可分离变量的微分方程：
对于第1种形式，运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：

2、 齐次微分方程：

代入微分方程即可。

可通过坐标平移去掉常数项。
3、 一阶线性微分方程
型如 称为一阶线性微分方程。
其对应的齐次线性微分方程的解为
利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解

4、 伯努利方程：

于是U的通解为：

5、 全微分方程：
7、可降阶的高阶常微分方程
（1）
（2）
（3）
8、线性微分方程解的结构
（1）函数组的线性无关和线性相关
（2）线性微分方程的性质和解的结构
叠加原理：二个齐次的特解的线性组合仍是其特解；二个线性无关齐次的特解的线性组合是其通解
（3）刘维尔公式
（4）二阶非齐线性微分方程解的结构
特解的求解过程主要是通过常数变异法，求解联立方程的解：

9、 二阶常系数线性微分方程
（1）齐次线性微分方程的通解
特征方程：

3) 特征方程有一对共轭复根

（2）二阶常系数非齐线性微分方程的特解

若a不是其特征方程的特征根，则
若a是其特征方程的单特征根，则
若a是其特征方程的K重特征根，则

第 17 页 共 17 页