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数学基础知识及公式
一、 整数性质：
1. 奇偶性:
加减规律:同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇
乘法规律:乘数有偶则为偶，乘数无偶则为奇
结论：奇数个奇数的和=奇数;偶数个奇数的和=偶数；若干个整数相乘，有一个偶数则乘积为偶数,全为奇数则乘积为奇数.
2. 质合性:(结论)只有平方数有奇数个约数，其他整数都有偶数个约数。
3. 整除性质：ア）个位是0、5的数能被5整除;
イ） 末三位可被8整除的数能被8整除；
ウ)各位数字之和是3倍数的数可被3整除;
エ）各位数字之和是9倍数的数可被9整除；
オ）能同时被2、3整除的数可被6整除.
传递性:若a能被b整除，b能被c整除,则a能被c整除；
可加减性：若a能被c整除，b能被c整除，则a+b、a-b均能被c整除。
4. 最大公约数与最小公倍数
二、 比例性质
1. 倍数判定:若a、b是整数，，且是最简分数，则a是n的倍数，b是m的倍数
2. 连比计算:多个量之间的比例关系
三、 平均数
1. 算术平均数： 算术平均数与各数之差的平方和最小
2. 几何平均数：
3. 加权平均数：
注:两个不相等的数的平均数总是介于这两个数之间
4. 十字交叉法：主要用于解决两个部分的“平均值”混合形成一个新的平均值的问题.如浓度、产量、价格、利润、增长率、速度等
结论：a、b均为正数，，当且仅当a=b时等号成立；
a、b、c均为正数，,当且仅当a=b=c时等号成立
当两个正数的和一定时，它们越接近时乘积越大，当二者相等时乘积最大;同理，当两个正数的积一定时，它们越接近时和越小，当二者相等时和最小。
四、 不定方程： 奇偶性、尾数特点、互质性质
五、 不等式： 不等式性质：若，则
六、 分段函数
七、 数列
1. 等差数列
通项公式： （是首项，d是公差)
对称公式： （）
利用通项求和: （是首项，d是公差）
（n为奇数）
利用中项求和：
(n为偶数）
结论：对奇数列1,3，5,7,…，2n—1，其前n项的求和公式可简化为
对偶数列2，4，6，8,…，2n，其前n项的求和公式可简化为
若项数为奇数，则奇数项之和减去偶数项之和为中位数
2. 等比数列
通项公式: （是首项,q是公比）
对称公式： （）
， (q≠1）
求和公式：
（q=1）
平方数列求和公式：
立方数列求和公式:
斐波拉契数列：,，
八、 平面几何
1. 相似与全等
相似：对应角相等、对应边成比例；全等：SAS、AAS、SSS
2. 三角不等式： ，
3. 勾股定理:
4. 公式
三角形 周长 面积
正方形 周长 面积
长方形 周长 面积
梯形 面积
平行四边形 面积
圆形 周长 面积
扇形 面积
5. 凸多边形内角和：
6. 直线切割平面: n条直线切割平面的区域数：
7. 等周问题
平面图形中，周长一定，越趋近于圆，面积越大；面积一定，越趋近于圆,周长越小。
表面积一定，越趋近于球，体积越大;体积一定，越趋近于球，表面积越小
九、 立体几何
1. 公式
球形 表面积 体积
圆柱体 表面积 体积
圆锥 表面积 体积
2. 正多面体
3. 三视图
十、 解析几何 圆的解析式：
十一、 实际应用：
1. 正方形分割:一个正方形可以分割为除2，3,5外任意数量的小正方形(大小可以不同）
2. 蜂窝覆盖：小圆对一定区域进行无缝隙的完全覆盖，蜂窝状排列时用到的小圆数量最少
3. 立方体染色
十二、 基本行程问题
1. 比例关系：时间一定，路程与速度成正比;速度一定，路程与时间成正比;路程一定，速度与时间成反比
2. 平均速度：， 当n=2，且时，
十三、 相遇问题
1. 简单相遇问题：
2. 直线多次相遇:
3. 环线多次相遇：
十四、 追及问题
1. 简单追及问题：
2. 环线多次追及：
十五、 一些实际问题
1. 青蛙爬井问题
若井深a米，青蛙每天向上爬b米，之后又滑下c米，则它爬出井口的天数为：，（表示向上取整)
2. 流水问题（船顺水、逆水行驶问题）

3. 火车问题
ア） 火车过桥：
イ） 火车错车：
即
ウ） 火车与人相对运动:
十六、 基本工程问题
1. 比例关系:时间一定，工作量与工作效率成正比
效率一定，工作量与工作时间成正比
工作量一定，工作效率与时间成反比
2. 轮流工作：轮流工作除了要计算每轮工作的效率（即几个人的效率和)，还要注意最后一轮工作中每个人的实际工作量.在计算工作效率时,工作总量应设为每个人单独完成用时的最小公倍数，这样能避免大量分式相加的计算。
3. 合作:合作效率一般是每个人效率的叠加,合作的重点是求效率和。
十七、 工程问题变形
1. 水管问题
进水量、排水量ó工作量 进水、排水速度ó工作效率

2. 牛吃草问题

十八、 利润问题
1. 收支计算：利润来源于收入与支出之间的差额，因此收支计算最重要的就是有条理地分析清楚每一笔收入与支出,最后相加算得总利润.
2. 利润率计算

3. 折扣率计算
整体打折＆部分打折
部分商品打折求整体的折扣率，可用十字交叉法进行求解
十九、 容斥原理（文氏图）
1. 二集合容斥原理：
2. 三集合容斥原理:
二十、 排列组合
1. 加法原理：体现分类讨论的思想.分类相加。
2. 乘法原理：体现分步讨论的思想.分步相乘。
3. 排列与组合公式：

4. 经典方法
ア)捆绑法:排列时如要求几个元素相邻，则将它们捆绑起来视为一个整体参与排列，然后再考虑它们内部的排列情况。
イ)插空法:排列时如要求几个元素不相邻,则相当于把不能相邻的元素插到其他元素形成的“空隙"中去。
ウ)插板法：若要求把n个元素分成m堆，则把（m—1）个木板插入这n个元素形成的（n-1）个“空隙”中去。与插空法的区别:插空法有（n+1）个空可选；插板法有（n—1）个空可选。
エ)归一法:m个元素中的n个元素相对位置固定，把m个元素进行全排列。n个元素的相对位置有 种，排列数为 种
オ）分析对立面
5. 经典问题模型
ア） 环线排列：任取一个元素作为队首,环线排列问题便转化为n—1个元素的直线排列问题。
n个人围成一个圈,不同的排列方式有 种.
イ） 传球问题:n个人相互传球,经过k次传球，球回到发球人手中的传球方式有 种。 即，n个人经过k次传球，球回到发球人手上的传球方式有m种，m为第二接近 的整数。
ウ） 错位重排:
如，编号是1,2,…,n的封信，装入编号为1,2，…,n的n个信封，要求每封信和信封的编号不同，问有多少种装法？
记n封信的错位重拍数为,则，,，可知,n个数的错位重排数是（n-1）的倍数。
二十一、 概率问题
1. 等可能事件概率：把事件空间分成n个等可能的情形（即所有可能的情况），事件A包括了其中的m个情形,则A发生的概率为
对任何一个随机事件而言，其发生的概率与其不发生的概率之和为1。因此，当一个事件的概率不便正面求解时，可以先求其对立面，即它不发生的概率。
2. 条件概率：在事件B已经发生前提下事件A发生的概率称为条件概率，即在B条件下的概率

3. 独立重复试验概率：在相同条件下，将某实验重复进行n次,且每次试验中任何一事件的概率不受其他次试验结果的影响,这类试验称为n次独立重复试验.若在一次试验中某事件发生的概率为p，则在n次独立重复试验中该事件恰好发生k次的概率为：

4. 分类分步事件概率：当一件事情可以分几种情况或按几个步骤完成时,可先计算每一种情况或每个步骤的概率，然后计算整个事件的概率。
二十二、 抽屉原理：如果要把n个物件分配到m个容器中，必有至少一个容器内容纳至少 个物件。
1. 构造抽屉:核心是搞清题干条件哪个相当于鸽子,哪个相当于鸽笼.在抽屉原理配对的过程中，鸽子比鸽笼多，因此，较多的就对应为鸽子，较少的就对应为鸽笼。
2. 最差原则:考虑所有可能情况中最不利于某件事情发生的情况。
二十三、 数据分配
数据分配的过程分为两步，一是分组；二是讨论组内数据离散性。
若数据可以相同,则各数相等离散性最差;若数据不可以相同，则公差为1的等差数列离散性最差。
1. 简单数据分配:把总和一定的数据分为数量确定的几组，然后求最大的数据的最小值或最小数据的最大值。
2. 复杂数据分配：
组内数据可相等、组数不确定（先按离散性讨论鸽笼数)、分组复杂（分成几组数据分别考虑)
二十四、 运筹问题:利用数学工具或数学思维寻找实际作业中的最优对策.
1. 时间分配:将逻辑上不冲突的事情同时进行。
2. 黑夜过桥：黑夜里多人过桥受桥宽度所限每次最多只能走两人，由于只有一盏灯,所以需要有人将灯送回.两人过桥时，过桥时间等于其中单独过桥时间较长者。如何使过桥总时间最短？
尽量让时间相近的两个人一起过桥,让对岸过桥时间最短的人把灯送回
3. 空瓶换酒：若规定A个空瓶可以换一瓶酒,有B个空瓶，最多可喝到C瓶酒，则，取整数部分.
4. 任务分配：在分配任务时要做到人尽其用，因此让“相对效率”高的人去做他擅长的事才能确保整体效率是最高的。
5. 物资集中：物资运输的费用通常是路程与货物重量的乘积，物资集中问题就是问把物资集中在哪一点时总运输费用最少。应遵循如下原则:路两侧物资总重量小的流向总重量大的。
6. 线性规划:线性规划求的是目标函数在线性约束条件下的极值，所以要先明确目标函数与线性约束条件，然后在可行区域内求目标函数最值.
目标函数:目标(M）与相关因素（x，y）之间的函数关系为

线性约束条件：

二十五、 其他题型
1. 浓度问题:

注意饱和浓度
2. 时钟问题：
ア） 钟面问题：
时针每分钟走30°÷60=0。5° 分针每分钟走360°÷60=6° 两者差为
イ） 坏钟问题：核心是“坏钟时间”与“标准时间”的比例关系
坏钟每小时比标准钟快n分钟，则
当坏钟显示过了x分钟时，标准时相当于过了
3. 日期问题
ア）平年与闰年：平年有52个星期零1天，则每过一年，星期数的变化加1。闰年有52个星期又2天,比平年多出2月29日这一天,所以若经过的某段时间包含2月29日，星期数的变化加2。
イ）月历推断。
任意星期数的日期呈奇偶交替排列。
每个月任意星期数最少出现4次，最多出现5次。
只有每月1、2、3日对应的星期数可能出现5次。大月每个月有31天，当月1、2、3日对应的星期数出现5次；小月每个月有30天，当月1、2日对应的星期数出现5次；闰年2月有29天，当月1日对应的星期数出现5次。
4. 植树问题
闭合路线植树： 非闭合路线植树：
较复杂的植树问题还包括多种间距植树与特定点植树两类。前者需要求出各种间距的重合点（即公约数），然后利用容斥原理计算棵树；后者需要求出各段路长的最大公约数,以保证端点能够植树且每棵树间距相同。
5. 方阵问题
ア） 实心方阵:从内向外，每层每边人数依次增加2；从内向外，每层人数依次增加8.

イ） 空心方阵：空心方阵与实心方阵的区别是中间挖掉了一部分,求总人数一般用等差数列求和公式或平方差公式。

6. 盈亏问题：盈亏问题始于平均分配产生的余数，这个余数谓之盈数；若不够分，则产生亏数，亏数是除数与余数的差.盈亏问题中，物资和人数是不变量。
7. 鸡兔同笼问题:只知道头数和脚数便可由鸡兔的脚数差求得各自数量,本质上是一元二次方程组。可使用假设法将其转化为盈亏问题.假设全部是鸡(兔）会有多少脚,那么每次有一只鸡(兔)转化为兔(鸡），脚数会增加（减少）2。根据假设的脚数与实际的差值可计算出其中一种动物的数量。