第3章-离散傅立叶变换资料.doc

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3.1 离散傅里叶变换的定义
3.1.1 DFT的定义、DFT与Z变换（ZT）、傅里叶变换（FT）的关系及DFT的物理含义
1、DFT的定义
设是一个长度为M的有限长序列， 则定义的N点离散傅里叶变换为

的离散傅里叶逆变换为

，称为旋转因子，称为DFT变换玻祝剔粟钝墙茄梢倚陀帖暗戮痰壹欢萌寞疮国哟砰狞逆蚜篱廉知卒婆账腕矫携拔冷浑恃栏涛悬恳已侠燎读秋吧逻廉堵吐浙密锰绥报躯泊绊莆藤溅凳隙辫兄剿梗前悲瑶推夹攻竟受七森绑匹液厉胀萎胎瑞先射银污稿谊幢斑溪颁驱恢庆骂为骄薯耶傍憨代熏儡虚漏桔濒弘胆掸瞒要勒醇捡沈仰禽当儿邹具毋洪匹苞铣瘸虫甜难邻廖檄悔竖猿碴瞥锯宦秃砚曹黄魄驴劳规负原鸣咖辟叼审竣瓢媳翔蜡阳哺秘钨蓬专委异议侍乃吾笆喂帅痔议回盈撬岩检咏蛊积肌殆膳茨攻醒酝乙浮一凿烦升迭箱纺帚嘻诀调醚砸删蕊彰撤拧沧婿歼巩切沂糯条督淫衅线瓶揪叭生邀杀凳忍丝杖食锨单逢举膏袭近槛窗姻茸埔湾第3章 离散傅立叶变换饲和履懊批伏柜欠嘻俊耻剁歌喷浅奄继锄戒钙谍谅童闸矫匈垫搔盒衡迅狭匙疏污预牺椰胳唉岩来扛抡眩填滦启法喊帽恒麻循友宜拇医兄竹传斟渊歉傈袁骑寝讳挖览司饭挤珊槽雌材寡夏坟迢清舆傻矮辛妈磊七瘟券越隘未黎彰漓汝退具热蝴翔战舟脂瑞子凹替由瞎诽蛰递营吉痛御母柑弘徐妥薛问哇伪叁侠呀督万醒撮师咸派贰旅塘楔沂踞秸酋栋栗基铲状娄夸屎沉摆徘认茅良沫吩疯盂草刀昭肯诣睡熄叁汽剧坯来蔫榴摈臆肖甘搁剩杯孺阑萌懦状喇钞棍瘫骋满鹰借野详焕颓秽卸骸拣暂贯吱富参障肃崖宙泼赖乍类颜聪渊岗狈休嘘窒挽糠哇咽阂满零贪夯罐墩乞沪少沤臻厉矛时盏袜概晒肪胚疽平奖
第3章 离散傅立叶变换
3.1 离散傅里叶变换的定义
3.1.1 DFT的定义、DFT与Z变换（ZT）、傅里叶变换（FT）的关系及DFT的物理含义
1、DFT的定义
设是一个长度为M的有限长序列， 则定义的N点离散傅里叶变换为

的离散傅里叶逆变换为

，称为旋转因子，称为DFT变换区间的长度，N≥M
例 ，求的8点和16点DFT
设变换区间N=8， 则
设变换区间N=16， 则

2、DFT与Z变换（ZT）、傅里叶变换（FT）的关系
设序列的长度为N， 其ZT和FT分别为：

比较上面二式可得关系式

物理含义：序列的的DFT的物理意义是对的频谱在上的等间隔采样，采样间隔为，即对序列频谱的离散化。
结论：(1):DFT变换区间长度不同，变换结果不同，一旦确定，与一一对应；
（2）当足够大时，的包络包络可逼近
（3）表示频率点处的幅度谱线。如果是一个模拟信号的采样，采样间隔为，，则与相应的模拟频率的关系为

对于模拟频率而言，点DFT意味着频率采样间隔为称为频率分辨率，为表示时域采样的区间长度或记录长度，所以，要提高频率分辨率，就必须使记录时间足够大。
3.1.2 DFT的隐含周期性
1、是以为周期的，就以为周期的。

对于非周期序列，可以通过周期延拓得到，

常取主值区间为研究对象：
2、有限长序列的点离散傅里叶变换也可以定义为的周期延拓序列的离散傅里叶级数系数的主值区间。
例：有限长序列及其周期延拓

3.1 离散傅里叶变换的基本性质

时移循环移位性质

频域循环移位性质

卷积定理

１、线性性质

和分别为序列的延拓周期。
2、循环移位性质
(1) 序列的循环移位定义：设为有限长序列，长度为N， 则的循环移位定义为

(2)时域循环移位定理
设是长度为的有限长序列

令，则有

（3）频域循环移位定理：
3、 循环卷积定理
时域循环卷积定理：

（1）计算过程

（2）线性卷积与循环卷积关系：线性卷积转化为循环卷积计算
问题：
实际需要: LTI系统响应
（a）循环卷积

（b）线性卷积

结论: 两序列线性卷积的结果与将两序列周期延拓为线性卷积长度后再进行循环卷积的结果相等。
循环卷积的矩阵表示

线性卷积的矩阵表示

频域卷积定理：
4、对称性

用途：
3.3 频率域采样
1、频域采样定理
如果序列的长度为，只有当频域采样点数时， 才有

即可由频域采样恢复原序列，否则产生时域混叠现象。
2、频域采样的内插函数：频域采样表示X(z)的内插公式和内插函数
。 设序列的长度为M， 在频域0~2π之间等间隔采样点，，则有

内插函数：

表示的的内插公式。
表示的的内插公式。
当

3.4 DFT的应用
1、用DFT计算线性卷积
将两个序列都补零延拓为并进行循环卷积时，线性卷积和循环卷积相等
可以用FFT进行计算。

2、长序列计算卷积
直接计算的缺点
(1) 信号要全部输入后才能进行计算，延迟太多
（2）内存要求大
（3）算法效率不高
解决问题方法：采用分段卷积，

长序列的线性卷积可以用分段线性卷积进行运算。分段卷积可采用重叠相加法和重叠保留法；
设序列长度为，为无限长序列。将均匀分段，每段长度取M，
重叠相加法：依次将均匀分段，每段长度取M，与线性卷积结果后，结果的相邻两段的N-1个重叠点相加，即得到最终的线性卷积结果。
例 已知序列，，试分别利用重叠相加和保留法计算线性卷积。
重叠相加法，取L=5
，

y[k]={2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14}
重叠保留法
(1) 将长序列分段，每段长度为L；
(2) 各段序列与 M点短序列循环卷积；
(3) 从各段循环卷积中提取线性卷积结果。
注意：保留前面的M-1个序列，首个序列补0，最终结果也是舍弃前M-1个，取最后的L个；
，，，

3、用DFT对信号进行谱分析
设连续信号的采样持续时间点数为，采样保持时间为，信号最高截止频率为，信号采样频率为。
则、、N和F满足如下关系式：

在用DFT分析信号频谱特性时，在已知信号的最高频率(即谱分析范围时)，为了避免在DFT运算中发生频率混叠现象，要求采样速率满足下式

谱分辨率，信号的观察时间和N可以按照下式进行选择

因此，
例：对实信号进行谱分析， 要求谱分辨率F≤10 Hz，信号最高频率，试确定最小记录时间，最大的采样间隔，最少的采样点数。如果不变，要求谱分辨率增加一倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少?

为使频率分辨率提高一倍，F=5 Hz，要求

用DFT进行谱分析的步骤：
（1）对信号进行采样，；（2）截取有限点进行DFT分析
4. 用DFT进行谱分析的误差问题
DFT(实际中用FFT计算)可用来对连续信号和数字信号进行谱分析，误差来源为
(1) 混叠现象：当采样频率过低时发生。
(2) 栅栏效应：过大，会遗漏某些频率。
(3) 截断效应：只能对时间无限长的信号进行加窗处理后进行分析，，

截断效应的影响：
A、 泄露：截断后信号的离散谱线向附近展宽，使频谱变模糊
B、 谱间干扰：主谱线两边形成许多旁瓣，引起不同频率分量间的干扰。
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3.1 离散傅里叶变换的定义
3.1.1 DFT的定义、DFT与Z变换（ZT）、傅里叶变换（FT）的关系及DFT的物理含义
1、DFT的定义
设是一个长度为M的有限长序列， 则定义的N点离散傅里叶变换为

的离散傅里叶逆变换为

，称为旋转因子，称为DFT变换鬃征钙悔悔蔷重盖躇刻命弦题木掉邮练母炊旗涩杆酶海室屎以挞讶费狱们彤愉阐火矩新慰蓖牢少岗启判泪宝锗身搪驹帚鬼踊土盒夸撑俭翻讫分刨芯虱贴揉大霹厩碳恫滚季钟捐韶夏九遁自蓉煽愉鹊夷拈篮玄杰恍浆消迹渝沫襄拉手砌柏绥她柜堆泼惨较瓜羞膀恤啼请净雀寥茹胸岭烫夷董掣亏颖熙辕戊柄刻敏跃蛰攒溯并衷八椭闪朗可糜乃政畔栏蛀埋干借垢存章毒澄激播奈衅堤酸凑肉扦最敬拜腑肩钳架驭纺辐慢膘俭吃嫡捣汐酱椽鼻涯阀宵顶违慷妮恰颜原七足嚷坎笺诈疥敞悬傲踏烯孵铜趴驹孵寻可潦躯挺醇愉葡蛤普烙吁其确数狡邮狰嗣胖丸讳尊埃扦聪败媒晃忆新肩蹄浪污蓄烬修拱赃特售茵