第三章-行波法(1)讲解学习.doc

第三章 行波法
§3.1 达朗贝尔公式（P150-152）
1． 确定下列初值问题的解
（1）
解：因为

由达朗贝尔公式有：

=
（2）
解：因为

由达朗贝尔公式有：

=
=
（3）
解：因为

由达朗贝尔公式有：

=
=
2．求解无界弦的自由振动，设弦的初始位移为，初始速度为。
解：该问题的数学模型为：

由达朗贝尔公式：
=
2． 求解弦振动方程的古沙问题

解：该方程的通解为：
（1）
令：

令：

令，则有：

所以：
，

又
所以古沙问题解为：

3． 求解无限长理想传输线上电压和电流的传播情况。设初始电压分布为，初始电流分布为。
解： 无限长理想传输线电流方程为
，，
因为：，
由达朗贝尔公式有电流分布：

= 其中：
同理：无线长理想传输线电压电流方程为：
，，
其解为：

5． 细圆椎杆的纵振动方程为：，试求其通解。
（提示：令）
解：令，则
代入原微分方程化简整理为

则有通解为

故原方程的通解：

6． 试求出方程

通解为：，其中：为已知常数。若
，求其特解。
解：原方程变形为：
（1）
令
于是：，，，
代入（1）式得：
（2）
在（2）中令：
则： ，即，求得一特解，从而求解
，
代入（2）有：
（3）
（3）的通解为：
故原方程的通解为： （4）
将初始条件代入（4）有：

得：

所以原方程的特解为：

7． 求解列偏微分方程
（1）
解： 该偏微分方程的特征方程为

即：
所以有特征曲线族为：
令：，左边两代换有：

于是有：
所以原方程的通解为：

其中：和为任意函数。
（2）
解：原方程的特征方程为
亦即，得特征曲线族为：
和
令，
作坐标变换有：

得通解为：
即：
其中：和为任意函数。
8：求解下列初值问题

解：该方程的特征方程为：

即：
得特征曲线族为：
及
令：，
作坐标变换原方程变形为

得通解为：

将初始条件代入上式得：

得：

所以：

所以原方程的解为：

9． 用行波法证明：

的解为：
其中
解：该微分方程的通解为：
（1）
将定解条件代入
在（1）中令，则
（2）
（1） 两边对求导有
（3）
在（3）中令得

两边积分得：
（4）
联立（2）和（4）有
得

故
其中