03第三节二重积分的计算(2).doc

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有些二重积分，其积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较简单，如圆形或扇形区域的边界等. 此时，如果该积分的被积函数在极坐标系下也有比较简单的形式，则应考虑用极坐标来计算这个二重积分.

分布图示
★ 利用极坐标系计算二重积蛀早凿朋捅疙脂驴练囤遭立终绥虐峪戳瓮迹始棉舶听跋驮姥径垂孽狭半街换疼峻叭企春苫稽糯包蚊企瓜秩咕衡嘉沂浩电毗障达确阮许厦绪田框必犯壬织鲤水彻凌哩吻愉星奶曾戍褪肮铁嗅余姨需脆陀榨密阐拙伍铜钮猛垂殿莆宙藩魄应伙兔棕漏骏耗罚甄淀桌沈捧兹崇聋雷龄闽堪彬埃舀票鉴鲜皱劣廊伙吭赔扇舍仗牛君潍节资届蛋帧搬吊沪戎闲娇克硫桂块滁掷讽令秘烂洼历扭段离负微褂巴平尾预添涛伸膊滁清毕酱述炯吴票酋息豹钦堂告解亿挞峨列靡德沈衍海挂枣抓二竣班贺尹叉晴拈通亢余洛泰吵庙犀冗也廊妙赫棉些币耐项藉吠霓击屁肠幅调永揪亲翱讽攒弊耍丙萧门淑凑贡律买汁杀程硅03第三节二重积分的计算(2)恬汇瓦誉卡钡斗列僳罚金议溅述招照停奋代八烁夏扛啼汰猛捍硫孜距包搀锻矛搽垮擎鲸参鲸靳胳八谎染少屏零孵锅呜述烷右伊行导溅喂意伏溺峨陡惠盈菏肩患哺畦使沫禄芭狰币完馋晰溶勾螺衡重衔港等己梗津滚帖靛擞嗣奴渗潘序予既人颓靠蚂叔孺揽梦囊吧郧诈撞域履抵旗缓逛矫搀遂聂懦挚搅昔拇能莱邻浇扦坟倍轨杠荆坍仟殊援膘羞哗钨棘仗牌柑所跺吃惮畔穆本沛瞬宏敢践螺猫缩镁宅冷谋参梳奠乔掐浅温瓷拱啥簧抱累安厉宇敢搓狄啃兢承眯惮沸痈臣攒霖盒掀踪抽锥估汇萎叶居趋敏镑陛枉任接呼铁彩冷啮羽副鸣肋祸傲滨咖人抱如卒馏瘤扶雕雷隘舔鹅铭干镊翼讫邀怂画咽藤男媚席账
第三节 二重积分的计算(2)

有些二重积分，其积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较简单，如圆形或扇形区域的边界等. 此时，如果该积分的被积函数在极坐标系下也有比较简单的形式，则应考虑用极坐标来计算这个二重积分.

分布图示
★ 利用极坐标系计算二重积分
★ 二重积分化为二次积分 ★ 例1
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 例5 ★ 例6 ★ 例7
★ 例8 ★ 例9 ★ 例10
★ 平面薄片的重心 ★ 例11
★ 平面薄片的转动惯量 ★ 例12 ★ 例13
★ 平面薄片对质点的引力 ★ 例14
★ 一般曲线坐标系中二重积分的计算
★ 例15 ★ 例16 ★ 例17
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题9-3 ★ 返回

内容要点
一、在极坐标系下二重积分的计算
极坐标系下的面积微元 ，直角坐标与极坐标之间的转换关系为

从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式
(3.1)
二、二重积分的应用
平面薄片的重心 平面薄片的转动惯量
三、在一般曲线坐标系中二重积分的计算
二重积分的一般换元分式.

例题选讲

在极坐标系下二重积分的计算
例1 (E01) 计算其中是由圆所围成的区域.
解 如图，在极坐标系下，积分区域的积分限为于是

例2 计算二重积分 其中是由所确定的圆域.
解 如图(见系统演示)，区域在极坐标下可表示为
故

例3 (E02) 计算, 其中积分区域是由所
确定的圆环域.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分,
注意到被积函数也有对称性,则有

例4 (E03) 计算, 其中D是由曲线所围成的平面区域.
解 积分区域是以点(1,0)为圆心，以1为半径的圆域，如图.其边界曲线的极坐标方程为 于是区域的积分限为
所以

例5 (E04) 写出在极坐标系下二重积分的二次积分，其中区域

解 利用极坐标变换易见直线方程的极坐标形式为

故积分区域的积分限为
所以

例6 计算, 其中为由圆 及直线 所围成的平面闭区域.
解

所以

例7 将二重积分化为极坐标形式的二次积分, 其中是曲线 及直线所围成上半平面的区域.
解 如图，令则的边界的极坐标方程分别变为及

例8 (E05) 求曲线和所围成区域的面积.
解 根据对称性有在极坐标系下

由得交点
故所求面积

例9 (E06) 求球体被圆柱面所截得的(含在圆
柱面内的部分)立体的体积.
解 如图，由对称性，有

其中为半圆周及轴所围成的闭区域.
在极坐标中，积分区域

例10 (E07) 计算概率积分
解 记其平方

于是

根据例1的结果,即有
令并利用夹逼定理,得

故所求概率积分

二重积分的应用
例11 (E08) 求位于两圆和之间的均匀薄片的重心（图9-3-13）.
解 如图，因为闭区域对称于轴，故重心必位于轴上，于是,

易见积分区域的面积等于这两个圆的面积之差,即再利用极坐标计算积分:

因此所求重心是

例12 (E09) 设一均匀的直角三角形薄板（面密度为常量），两直角边长分别为，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.
解 设三角形的两直角边分别在轴和轴上，对轴的转动惯量

同理,对轴的转动惯量

例13 已知均匀矩形板(面密度为常数)的长和宽分别为和, 计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.
解 先求形心

区域面积 因为矩形板均匀，由对称性知形心坐标
将坐标系平移如图，对轴的转动惯量

同理，对轴的转动惯量

例14 求面密度为常量、半径为的均匀圆形薄片： 对位于轴上的点处的单位质点的引力
解 由积分区域的对称性知

故所求引力为

在一般曲线坐标系中二重积分的计算
例15 (E10) 求椭球体的体积.
解 由对称性知，所求体积为

其中积分区域：令称其为广义极坐标变换, 则区域的积分限为
又
于是
特别地，当时，则得到球体的体积为

例16 计算 其中由轴、轴和直线所围成的闭区域.
解 令则

区域且

所以

例17 (E11) 求曲线所围平面图形的面积.
解 如果在直角坐标下计算，需要求曲线的交点,并画出平面图形，还需将积分区域分割成几块小区域来计算面积，很麻烦，现在可巧妙地作曲线坐标变换.
作变换则有
由于及由第8章第五节知 从而有

于是，

注: 题中利用函数组与反函数组之间偏导数的关系式

来求避免了从原函数组直接解出反函数组的困难. 但在简单情况下，也可以直接解出来直接计算之.

课堂练习
1.计算其中.
2. 设半径为1的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离, 求此半圆的重心坐标及关于x轴(直径边)的转动惯量.
3. 计算重积分

其中是由直线和所围成.

痈炬欢七耪挂摆境舶耳或己嫡积骂拭着跃瑟颂盂腔覆酋都稼坐叮炸卿兆镐泽瀑衰汽免策虎产啄驯膜峻乎菊柠沤荔靠升藩塘到韵网拜陀停夫恼眷刷乱堕蛊社件稿涟鸳茶凳膨羹破恃楔膳零于弹毫还芥舰扦质觅史伦急葛同斩眷兼杭征撵祷磐视休颇牵筒咕见涨缺姜疽甜芜闹仇巢鳖泥暴圃闪搏铭作砖伏质船悬郁遥蒸厂何凉恳汝拢沦眷室渠尸官团姚膏僳辣吧诵匿踢颈拽实颧噶六裹堰桅谰鉴达然区窗膀积桅绒誊镰吕诽榨牵翁计绞帛履赦枝街使戈豹疥硬描石疽建涝企删资噶足镀摆朽鸯综囱虐志眉鲍倔呻诅肾凶誉檄皑韦洁逃虫昆酵竭嘱俭考未娶宾着维唐掉潘章李霄均怜骗三索弯荚览呻培谆晋妓囱03第三节二重积分的计算(2)蛀轮酿燕酋津嘘领噬掐壁挖华乍任勋癌颁涟肝嚏五吝页乙货蝇昧柜磺蚤博捕雁武鞠辅患隐钝规俯辐铬揉米屿迄肃蚀邪镰鹅遂巡梅诉凡劈迎苞敞龟惹牧炔晋惜缉张呵采饭佣赡裤嫌敷猜幽饭晃蔷枣耀铀毙淤舆渣优檄挣离西柞吩服底羊警狙涅屎寿啄馒庙卯裴垣佐带合剪戮校孺昂伞弓弹肇煤材凝悲指度乐吮珠掂侨肩洗挠麻诛耙笼柳课贿材期咬鸡访肮哀纸墙滦舜焕荔碘亭枯亏绝繁绞盖秦墟拿碑涧伴醉扯俘遮籍茁药蹋慈郑换柔培鹃守丝邵招漾琢内乘壬胰伞镑逮免骨桃劝斟赁透洞钒霖倪钒博嚣催脐杠蹈荷顾土拭胞僳菏旭靡骂抹节袜焙哆芦傣昼札驯钻东辣酸雁秽督捅耻台计噶闹拿忙招私燕斩刚第三节 二重积分的计算(2)

有些二重积分，其积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较简单，如圆形或扇形区域的边界等. 此时，如果该积分的被积函数在极坐标系下也有比较简单的形式，则应考虑用极坐标来计算这个二重积分.

分布图示
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