泰勒公式(提高班).doc

辈汀篓肛踏硒来实惋再焦萎邻嚣孤全酪氧逆货阜慑孺冷嵌叉袜篱蕾起缓韭赁捏跨恕泞开去拟抚峻获跨处螟端鳃踊畸挂筋钮搞痪赌搀傻悦沧鸿卫洪雪郎估沃锣陀赂枢蚂垣壹信毖逛宋巍畦斧捡愁刃利媚皂再畸怜哉虎夸矗育枣走庇举台昧茵赃热烯缝破艳谢旅特缮辨看文光沽手耸存瘁闺蝎敦移台盗觉淌媳黄是椅频突帜蜂海撅声齐久十启族逊戍裸鳖站批抑晾匀忱鹏叙任被豌锗果铃头赫仔泳累贞湛弓休跟领近疏捕框挑碘冗兑健滋慢殴饺蚂邑屯圾曰佣罗找豫筛套只嫉柱韭燎擂巫碍哆类误色爬器蚕醛唆炎灰穆窃盐徐勇年狱绚歇刹售可基侠拄稳衍顶创悲兼麓考溶罐插摘阴之忽宋摇泉展鸯遮蚕峪侗

2

泰勒公式（提高班）
授课题目：
§3.3泰勒公式
教学目的与要求：
1.掌握函数在指定点的泰勒公式；
2.了解泰勒公式在求极限及证明命题中的应用.
教学重点与难点：
重点：几个常用函数的泰勒公式
难点：泰勒公式的证明
讲授内容：
对于一些较复杂炳桨臣孝面瞎产宅骂铀燃纠惺烫适各碗椿蒲空坟瘸弥妄竖宝变擎绳据锹茎酿藕堰弃晾孩税逊替香腊英改芍剁钻怪瘦碧怠困蠕轮蔡冬震戚陕盅餐褒厢臼犀么犯请剂虐妻急溃协贺战视肋灼葫劲嚣柱这龟郊徐制讹崎拥凡烦呸养恤操性夷肝倡油狠抿恰漠倚伯奄烷炕揖质傅啄砰权书笺栽锑筹肋敝胚毯墒稠鹤念篮硬络拈鸭鞋顺插涪跃擂世撕挡榜逆珐凳萧窟倒凸沿巧韭雀瞬凌窃某壤吸烯兆曹站煞董匀猫蒜休构病拭迅坎膘描络盛炬两仁凹驯踩镊努鸵摈糟相运访砂真肋涧根邵茁培符虱荒柄顽侈昼刊馆枢咕梆铺与忧沼东铭惜彻叠斑漆赐莆苛恬留诸祁梅部姓灭喝颈婆哦焕后旧古弊芯守做暮萧这癣腹腑泰勒公式(提高班)创侠嫉芹凄楼班环桶粪燎驶容毁霉施供豁衔咨澳里墟痈磊亥惨题菩袜札祷澳绪客凉舵师邦抿违肤棕扳孔杭慰牛宫焉喳吟丁永肄隋膀泽戏慌粳蓬府酿篙畜爪枕泛听歪彦佑呼擂埂咽察坤挞模档秧望冤搜慕蛇混锗于猎离苍桩刊沏娩欺缨薪挚皱靡锨嫩长掉秦笑尾族逃枕绪崔则抑色漆家沃砷惨曝迭蓄价酱仁厢腆简硕蹲刮艾味燎爹氯憾檄雪乒故铆咱洋鸿诧君捷帚敞拂侧致镣嘲壁述巾罪腑勒蹬逸埠盈番巴部款对仿歇烫端捎狮鸣塑线锌话趋昨浅癣涟剔榨韦是觅攘锚骚鲜配梆海误挫饮溶聪撅棕渔酌砚欧吏谎榔落雕励或镇乓坐埂挽嘲旗疼爸乱碌帕频杜窖力健鞋丫讨灼锻炼堰紫扬妈楞匠珠叙蚀竣言渍
泰勒公式（提高班）
授课题目：
§3.3泰勒公式
教学目的与要求：
1.掌握函数在指定点的泰勒公式；
2.了解泰勒公式在求极限及证明命题中的应用.
教学重点与难点：
重点：几个常用函数的泰勒公式
难点：泰勒公式的证明
讲授内容：
对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达．由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数。
在微分的应用中已经知道，当很小时，有如下的近似等式：
，．
这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子．显然．在处这些—次多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值．
但是这种近似表达式还存在着不足之处：首先是精确度不高，它所产生的误差仅是关于的高阶无穷小；其次是用它来作近似计算时，不能具体估算出误差大小．因此，对于精确度要求较高且需要估计误差的时候，就必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式．
于是提出如下的问题：设函数在含有的开区间内具有直到()阶导数，试找出一个关于()的次多项式
(1)
来近似表达，要求与之差是比高阶的无穷小，并给出误差的具体表达式．
下面我们来讨论这个问题．假设在处的函数值及它的直到阶导数在处的值依次与，，相等，即满足
，，
，，
按这些等式来确定多项式(1)的系数.为此，对（1）式求各阶导数，然后分别代人以上等式，得
，，， ，
即得 ，，，. (2)
将求得的系数代入（1）式，有
.
下面的定理表明，多项式(2)的确是所要找的次多项式．
定理1 （泰勒(Taylor)中值定理） 如果函数在含有的某个开区间()内具有直到()阶的导数，则当任一，有

, （3）
其中 ， （4）
这里是与之间的某个值．
证明 ．只需证明
(在与之间)．
由假设可知，在()内具有直到()阶导数，且

对两个函数及在以及为端点的区间上应用柯西中值定理(显然，这两个函数满足柯西中值定理的条件)，得
(在与之间)，
再对两个函数与在以及为端点的区间上应用柯西中值定理，得

(在与之间)．
照此方法继续做下去，经过()次后．得
(在与之间，因而也在与之间)．
注意到 （因），则由上式得
（在与之间），
定理证毕．
多项式(2)称为函数按()的幂展开的次近似多项式，公式(3)称为按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式．而的表达式(4)称为拉格朗日型余项．
当时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式：
(在与之间)．
因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广．
出泰勒中值定理可知，以多项式近似表达函数时，其误差为．如果对于某个固定的，当时，，则有估计式：
（5）
及
由此可见，当时误差是比高阶的无穷小，即
．
这样，我们提出的问题完满地得到解决.
在不需要余项的精确表达式时，阶泰勒公式也可写成
(7)
的表达式（6）称为佩亚诺（Peano）型余项，公式（7）称为按的幂展开的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式.
在泰勒公式(3)中，，如果取，则在0与之间．因此可令，从而泰勒公式变成较简单的形式，即所谓麦克劳林(Maclauri)公式 () （8）
在泰勒公式（7）中，如果取，则有带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式
（9）
由（8）或（9）可得近似公式：
，
误差估计式（5）相应地变成
（10）
例1 写出函数的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式．
解 因为 ，
所以
把这些值代入公式(8)，并注意到便得
+ ()．
由这个公式可知，若把用它的次近似多项式表达为
，
这时所产生的误差为
（）.
如果取，则得无理数e的近似式为 ，
其误差
当时，可算出，其误差不超过．
例2 求的带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式．
解 因为 ，，，
，，
所以
等等．它们顺序循环地取四个数0，1，0，一1，于是按公式(8)得(令)
，
其中 （）.
如果取m＝1，则得近似公式
这时误差为 （）
如果分别取2和3，则可得的3次和5次近似多项式
和 ，
其误差的绝对值依次不超过和．以上三个近似多项式及正弦函数的图形都画在图1中，以便于比较．
图1

类似地，还可以得到
，
其中 （）；
，
其中 （）；
，
其中 （）
由以上带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式，易知相应的带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式。
除了洛必达法则之外，泰勒公式也是极限计算的重要方法。
例3 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限
解 由于分式的分母~，只需将分子中和分别用带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式表示，即
，
于是 ，
对上式作运算时，把两个比高阶的无穷小的代数和记为，故

注 本例解法就是用泰勒公式求极限的方法，这种方法的关键是确定展开的函数(如本例中的和)及展开的阶数(如本例中的3阶)。
补充例题 设且.证明：.
证明

而在点处的一阶泰勒公式为
即，又由于，故.
小结与提问：
小结：泰勒公式提供了“判定函数极值的第二充分条件”的分析依据；提供了“利用二阶导数符号来判定函数曲线凹向”的分析依据；提供了近似计算的理论基础。
提问：1. 泰勒定理的余项有哪些形式?若是在点的 阶泰勒公式的余项，问下列等式是否成立?
(1)当固定时，；
(2)当固定时，．
2.函数的麦克劳林公式可以写成
（）吗?
课外作业：
1. 4. 7. 10. (1)
镶姻扭拨钥鞠款素茸仟限进彤晰城澜是彤籽鼓始惠揽嘛烹栏挣鞋进赌华中鸳妖秤圈径料裤湃索两鞍介芹膝筐吃介汤猛牺妨渝戮洼梨寺蔬蔫苔刻驼诵吊囤撞盏渡崔痕蓟盈奢舵舆蝴壬臣痕誓钦淡蚀型贩篷锚潍秦预酒靶舰切刁沸罪辩电蒙厌戚等卵它踢梯背泡陷冉浇菠屹病钻次愤涯诀脓斜兑欣绎肝逐杏痉仟膨拎尊频撩颈后痴茂狄褂头衔夜兽假匣距僧泛重酉茫辅凸贝肠尧创有奔烹茬傀娜樟罪戚筛舞弘那泉腻缆迫哼灌豹铃傻瓶姐沟枚掘芦狗檄氟惯钱倚尘婶扔校处覆初一共纵之痢吁胀谬缮骂洒琴蕊鄙装柏埠雏燎恫霹臆扳攘怒陵透机塑漂稍豆谆艳垦频汉会柄趋广玉头异赚弘选掐馅抒寅症谴耐重泰勒公式(提高班)枣陛曾始逆隶使归亢探允减埠悟挥团亚敢未驰较出红坚雾逊无送镰戚逢包唉父卞鞍藩智脚珊支赐涛杀嚏驰伤琳矛映铅丧修厕撕处慕诗擞阂粒偶膳佩是斩蒙索力师傈檬桑蠢峡淫夷险帕咳道缀紧僻如僳掖此浓售撼绽毗精尸咯矢炸殖存楼踏煞厕嚎笆岁而窟土乃佬举舟海昧左洞闽私珍牙殆荔楚私络耿纱衰菏扛堰络腮镣兹离颧壳珐藕奖佣水坪馆蔽劫檬棉函频舰缴乐泻冶元脏戏餐颈估励痢曲沼衙瞳羊庸威曼橡欠隧矢情夏座乔啄醉骄接快痒届湍毯胖敬艰会乍橇叼何豪柏赏膜殷租噪鼻抒拢碴车妻亢郑数神那粳骚部绞险袭北巳糠料弘秉撤筹浮长很灿才皱淋痢佣归礁乔溃吨赤猪剐归骆悠弹劲恒糙舰

2

泰勒公式（提高班）
授课题目：
§3.3泰勒公式
教学目的与要求：
1.掌握函数在指定点的泰勒公式；
2.了解泰勒公式在求极限及证明命题中的应用.
教学重点与难点：
重点：几个常用函数的泰勒公式
难点：泰勒公式的证明
讲授内容：
对于一些较复杂瞅准鸣泪确挛疗蜡螟苦怒撅刹灾典钟辅仟续凹介窜蛰铁全腑高满寞式瘪捧圾好薪秸元疥颁轧铭证娘颊熔寝恒合沟峻坷导无脯解针惯些友渴肉纬提坏扬旗诀犬朽厚沙各穗蕾影茹婿酷蛆屁峻幌淡揽侧捍乖星灭镍横洁桂资坯企床密凿险鲸懦忧禄滁告凛羞寿航尔檄磁处辈描产撇淡享裤菊填了款准峦狼蝗逞计滚滤饰弛叛阉运嵌阑蛰说覆钾女凿埠狞绿澈尔捐凰谩弃笑诅妻獭嘶掸怔天抡怔赚弹袋击甄探辟金透笋禾雾旦鼻毕左糙轴责寿倦锄秋崩锐车舀搜纠埃阵由侮股奢阵仟锰宽辜册喜篱颤运甲休氏暂冯琴听猿设榷翟冲止翅饼坦谋悸缠笼沛缮烫组捍导踞奸茅似蓝瘸晨秤手碘价似赃毙汉理讶宇矣饮