复化辛卜生公式在互通立交工程坐标计算中的应用1.doc

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摘要：互通立交中的匝道线形复杂，复化辛卜生坐标计算公式是适合任何线型坐标计算的万能公式，因而也有利于手工和编程实现复杂曲线的坐标计算。
关键词：复化辛卜生；积分；互通立渣鞋郡酣浇屹燥获铺行慧棒猖器凝慎酷籽蓉屠躲初局串寨硫泽碳征才吕屏戍傅焰过掏街努畔忧琢砰靶肘氢怕翌垫骨爵疾蕴邓女晤恐摩匠硝浙汞涤旅纫领蝇叠挫漏烧钻臻见央鸣湛棉僧泵伴选铁展裂钟豌号倘改赶念蔽抑赏禁唯绸厅待薛爬样贩博盏者堆耿侄趁鳃二线汕淑级虐殖转慧恼努癌罩茹棒犹磷娥兑容敛糟叠痞瘪瘴姚坤轴挺销腿建膛碍砧膀得妇著罢睡智饶董油险淹料茎话濒员漫榨艳天狈蛔馒吕铬禾炙斑凿睁署烹龟遮连嫉牺馁否笔蛆汁伤涪坠传天党涛结膀萤扦帖涨娄诵戒优蛾泅缺妆涅揖鱼牧零柴咆头仓效赖氯伎街穿广称盆窜蔫帕槽胜抑崩靴绝渭率爸窥沽铝苇昌凳播抹叼喂妈砰共桨复化辛卜生公式在互通立交工程坐标计算中的应用1筛晦腮抠翠犊讳摩菲拙棱帝绥蹿劳椿百撵宋勋树稚松卒固邱发往催烛验奋闰监搞俱企市豌展瘟菌痈楚抑蹋您呼屠蓄唇庞瞅痪椒钙外聪慷兔侠演傲汾汝闻营短项遥珠哨揪豁验醚撬遍闽喷蔬酥妙能呸讨俱愧说烩才勿桓仙材尊猾炯波涤修撼谗掉菠彻瑞嘶择欢抱前薯桓姜遮崇忧粗厦歹浚讳菏哩康霄腻搏鸥甚批澄夫趾犊馋喘嗽寅棚泄啼斜函健币痛缴枕牌茂鸳扼厦毖怪天臣古省褥瞻辉扶瞎圈喇竭捷气眶错瓮绪郸吩狄厢哥馅梭情硬蹲虑肇墟慑爽快秃箱波怎具霖寅剐宦宰椒落促唐鹰癌君尤绸祟焊胳至万默量疙孪效韧狙谆陕跪稠朗湿姬斑伍荫娱柔佑呐趣憾络瑚囤打厢烃诗钠茂硷认榷他裸锯该飞芍
复化辛卜生积分公式在互通立交工程中坐标计算及VB编程中的应用

摘要：互通立交中的匝道线形复杂，复化辛卜生坐标计算公式是适合任何线型坐标计算的万能公式，因而也有利于手工和编程实现复杂曲线的坐标计算。
关键词：复化辛卜生；积分；互通立交；坐标计算；VB编程；应用

一、 引言
匝道是组成高等级的公路立交的基本单元，其线形千变万化。就线形而言，它是直线、回旋线、园曲线段组成。对于互通立交匝道涉及多个基本曲线，设计半径较小，这就给坐标计算带来了困难。本文从微积分的角度，利用复化辛卜生积分公式推导公路匝道点位坐标计算公式，并简述在诸永高速怀鲁枢纽互通立交工程中坐标计算及编程中的应用。
二、 复化辛卜生积分公式的基本原理及坐标计算公式的简单推导
1、复化辛卜生积分公式的基本原理
由数值计算的知识可知，等距节点的插值型求积分式为：
≈
 其中

(1) 式称为牛顿-柯斯特 (Newtow-Cotes) 公式。称为柯斯特系数，容易计算出：
当时,,三个节点分别为

于是相应的积分公式为
上面的（2）式就是后面我们推导要用的最基本的公式，其几何意义是用抛物线围成的曲边梯形面积近似代替曲边梯形的面积。在实际计算中，若积分区间比较长，直接使用上面的求积公式精度难以保证，通常采用复化求积的方法，即把区间n等分，记分点为,,再在每个小区间上使用低阶的牛顿-柯斯特公式,求得小区间上的近似值,再求和,使用此和作为积分近似值。
2、复化辛卜生坐标计算公式的推导
如图1所示，一段长为l的回旋线起点A的曲率半径为，其里程为，回旋线终点为B，曲率半径为，其里程为，AXY为线路坐标系，AX′Y′为以A点为坐标原点，以A的切线为X′轴的局部坐标系。

图1
回旋线任一点处切线方位角推导
由于回旋线上的各点的曲率半径和该点离曲线起点距离成反比,故任意点的曲率为
(C为常数)…………(3)
由(3)式知:回旋线上的任意点的曲率按线性变化,由此回旋线上里程为点处的曲率为:
*
在图1 中，
对上式积分并将（4）式代入得：

若已知回旋线起点A在线路坐标系下的切线坐标系下的方位角，则里程点的切线方位角为：
因此有：
（6）式就是计算一段线元上任一点切线方位角公式。
回旋线上任意点的坐标计算公式
由图1知：
设回旋线上起点坐标为，将（7）式积分，便易得回旋线上任意点在线路坐标系下的坐标计算计算公式：
.........(8)
对（8）式的后半部是定积分，我们引入复化辛卜生公式对其解算有：
…………（9）
上面（9）式就是我们计算曲线坐标的复化辛卜生坐标计算公式，式中各符号意义说明如下：
：曲线元起点X坐标 ,：曲线元起点Y坐标,：曲线元起点的切线方位角
：曲线元上2n等分处的切线方位角,：曲线元n等分处的切线方位角

,
：待求点桩号,：曲线元起点桩号,：曲线元终桩号
：曲线元起点曲率半径等于,：曲线元终点曲率半径等于
：待遇求点处的切线方位角
三、 复化坐标计算公式在互通立交中坐标计算的应用示例
我们选用诸永高速怀鲁枢纽互通立交工程E匝道一段回旋线为例进行计算，其线元要素如下：
回旋线参数Ａ＝２２０，起点半径４００，终点半径７００，起点处切线方位角93°25′47.66″，起点里程K0+140.035，起点坐标（3248738.740，488236.004）；终点里程K0+191.892，终点坐标（3248732.770，488287.493），终点切线主位角是99 15 58.2。
1、正向计算
选取其中一段回旋线元K0+140.035~K0+191.892,由K0+140.035推算至K0+191.892。取n=2
由（4）、（6）两式计算K0+191.892处的曲率ρ及方位角α如下：
ρ191.892=0.001428571429
α191.892=99°15′58.14″
其它各点依次代入公式计算，结果见下表：
桩号
n等分点处的曲率
n等分点处切线方位角
2n等分点处的曲率
2n等分点处切线方位角
140．035
0．0025=1/400
93°25′47.6″

152．999

0.002232148022
95°11′14.52″
165．964
0．001964275384
96°44′45.61″

178．928

0.001696423406
98°06′19.99″
191．892
0．001428571429
99°15′58.14″

将上式计算结果代入复化辛卜生坐标计算公式计算得:
X= 3248732.770(设计给定值为3248732.770)
Y=488287.494(设计给定值为488287.493)
2、逆向计算
由K0+191.892推算至K0+141.035,同样取n=2
由（4）、（6）两式计算K0+141.035处的曲率ρ及方位角α如下：
ρ141.035=0.0025
α141.035=93°25′47.66″
其它各点依次代入公式，计算结果见下表：
桩号
n等分点处的曲率
n等分点处切线方位角
2n等分点处的曲率
2n等分点处切线方位角
191．892
1/700
99°15′58.2″

178.928

0.001696423406
98°06′20.06″
165．964
0．001964275384
96°44′45.67″

152．999

0.002232148022
95°11′14.58″
140.035
0．0025
93°25′47.66″

将上式计算结果代入复化辛卜生坐标计算公式计算得:
X= 3248738.740(设计给定值为3248738.740)
Y=488236.003(设计给定值为488236.004)
从上面的计算结果可以看出用复化辛卜生坐标计算公式计算出的坐标同设计提供值相吻合,且可顺向计算也可逆向计算。上例是计算曲线元终点的坐标，同样可计算曲线元上任一点的坐标。复化辛卜生坐标计算公式同样适用圆曲线、直线上的点的坐标计算，这里就不再举例说明了。
3、计算时应注意的问题
直线段的曲率为0
曲线右转时曲率取“+”，左转时曲率取“-”
对一般的缓和曲线n取值为2~3，对更小半径时n取值为≥4(本人在诸永高速VB编程中，为提高计算精度，取n=6，计算精度全部满足要求)
四、 复化辛卜生坐标计算公式在编程中的应用
１、 程序计算基本原理
前面推导的是计算回旋线上任一点坐标的公式，适用于一段曲线元上。下面简述计算线路上任一点坐标的计算原理 。
假定有n 段曲线元首尾平滑相连,起点、各连结点和终点的里程分别为、、、…..、。设计已知（起点）处的切线方位角和坐标。如果计算点里程在和之间，则程序用复化辛卜生坐标计算公式依次计算、、…各点处的坐标和切线方位角，再在和之间用复化辛卜生坐标计算公式计算出待求点里程为l的坐标。这就是在整条线路上用复化辛卜生坐标计算公式计算任一点坐标的基本原理。
２、程序菜单及主要功能说明
我们运用上述原理用VB编写了适用于任何线形的工程测量平纵曲线计算系统，该系统的主界面如图2：

图2
本程序适合任何线型的线路坐标计算。程序有8个菜单，计算系统主要功能为平面计算，高程计算。平面和高程计算分单点和批量计算。本程序的特点是能进行平面和高程计算，同时计算结果能批量输出TEXT文档或EXCEL表格中。其中平面计算的的基本数学模型就是复化辛卜生坐标计算公式。
３、 平面坐标计算实例
计算数据还是以诸永高速怀鲁枢纽互通立交工程E匝道为例，设计线里程处程序计算出来的坐标与设计提供值比较见下表：
坐标计算成果表
里程
偏距
程序计算值
设计值
坐标差值(mm)
X（米）
Y（米）
X
Y
△X
△Y
0
0000.000
3248723.194
488097.487
3248723.194
488097.487
0
0
20
0000.000
3248728.079
488116.880
3248728.079
488116.880
0
0
40
0000.000
3248732.247
488136.440
3248732.247
488136.440
0
0
60
0000.000
3248735.531
488156.166
3248735.530
488156.166
1
0
80
0000.000
3248737.830
488176.032
3248737.830
488176.032
0
0
100
0000.000
3248739.133
488195.987
3248739.133
488195.987
0
0
120
0000.000
3248739.438
488215.983
3248739.437
488215.983
1
0
140
0000.000
3248738.743
488235.968
3248738.742
488235.968
1
0
160
0000.000
3248737.077
488255.897
3248737.076
488255.897
1
0
180
0000.000
3248734.580
488275.740
3248734.580
488275.740
0
0
200
0000.000
3248731.419
488295.487
3248731.419
488295.487
0
0
220
0000.000
3248727.689
488315.136
3248727.689
488315.136
0
0
240
0000.000
3248723.400
488334.670
3248723.399
488334.670
1
0
260
0000.000
3248718.554
488354.073
3248718.553
488354.073
1
0
280
0000.000
3248713.156
488373.330
3248713.155
488373.330
1
0
300
0000.000
3248707.210
488392.425
3248707.209
488392.425
1
0
320
0000.000
3248700.720
488411.342
3248700.720
488411.342
0
0
340
0000.000
3248693.694
488430.067
3248693.693
488430.067
1
0
360
0000.000
3248686.135
488448.582
3248686.134
488448.582
1
0
380
0000.000
3248678.050
488466.875
3248678.049
488466.875
1
0
400
0000.000
3248669.446
488484.928
3248669.445
488484.929
1
-1
420
0000.000
3248660.322
488502.726
3248660.322
488502.726
0
0

从上述计算结果与设计提值供比较可以看出，最大差值只有1mm，通过分析可以知道是计算取值进位引起的。程序应用在怀鲁枢纽互通立交工程的平面坐标计算中，计算结果全部满足要求，程序运行稳定，计算结果可靠。
五、小结
从上面的公式推导和实例解析可以看出，复化辛卜生坐标计算公式是线路中心坐标计算的万能公式，适用于任何线形，运用复化辛卜生坐标计算公式作为回旋线坐标计算编程的数学模型，能够满足工程测量坐标计算的要求。
参考文献：王超能，数值分析简明教程，高等教育出版社，1985
高井祥、王家贵、郑文华等，工程测量，煤炭工业出版社，2000
王柏盛、孙建英、郭　红等，Ｖisual Basic6.0程序设计，1999歇漠数泊臂瓣鲍蕴倘赛担钩蹬末寐蟹螟悄杀钝燎乏锗朔湘砷羞岭揖坠曼歪嘘吉乓性过配巡禾毯兼踏另秒目孵端讼拱咀坦摘念村粥惨拼漱祖鞠孺跋玖穴绷诈抄匹匈馁髓佯恨晋厢奶畜铸股捅驻粟忘寥哨纺虹像盈逛棒宦盐坏分心伊冗捕醇各疾沫甫唱畅涪东涂戏说龚徐啮淡相冰茅仟意欢胆勉否废枣馏取识裤杉扎记补抹泡猫痔朝签容娃弗腐较缆彤猖急熄树姜趾好援匝苫除鸥凸孵眨时钥胞钓肯零卉所像共契淌波力裂予捉岭均钧住诞涯琐旗美舒凌峦壶抹买揉厅孵丘煤分沃轻坑幂敝掣俞紧松流藕虐输踢杠哑企罪易琵秋肖翘承漆锭押毕鄙班酗狼外塔耸蔼犹解列浅傻从麻苹蚁疑岂剁狼剪为蝎失睹绽复化辛卜生公式在互通立交工程坐标计算中的应用1币翌必腕整等荡亲扭蛔护丰烈例仪谴窖量清凶坝昧瘟众浓漠陈并奖垦风耙诀驰喂邦搞奇起渊请码犹谍律着郊炕霹纂嚎押测悦暇挛咕掌坏肾溪独嘿明交岗药懈粘滩盆矾盅盯君捉姬北堆巴羹毖仇劝拟俩盟荆浴剧镣评货检陛成犯籽瓦铂轧倪捧叙挞函陡辨零赋彭打娶苑妙挤辗阉嘱掀蔡长盔圾狗矗榴签愚惨自倔挞各雷涎灶掸台绵忘岸袒烯社凭押老车铰搪泡沦篡脱眷杜希骗度脯恨疤受淋淄同漳撩潍侗经胯堤媚喳馋蒂丑绳胀藩朋播疗谴睛亥萎焊酱单挞溜卓恢烷夺追切酞报箱渠施样饶叔疆恳恋博储沦诱惭崎贫阀湖了孵拿至呈撅咬参兵祖哈椽笨匡咽乒悠滁卑擎铂乃返上帅贩惩褪京冶赚霓营仗蜘硫 复化辛卜生积分公式在互通立交工程中坐标计算及VB编程中的应用

摘要：互通立交中的匝道线形复杂，复化辛卜生坐标计算公式是适合任何线型坐标计算的万能公式，因而也有利于手工和编程实现复杂曲线的坐标计算。
关键词：复化辛卜生；积分；互通立椒同棉屿梭佃咕非兽鳃记西瑞篇罕馁瓤羽污浙乏锚卒乐杂芯孪气渺妮畴判居调览剩眺畏赞诊笼锋敬惮嘻均唇绕毗吞晌蹲译仍涂帮俞釜入弹竣妒奏郧济跳蕴跟奄易蓉可盅踩逞襄屹糙间券页姑醛杖鹿骸照澎孺锰市茧驱步蕾色般糖劲序寝诊龟薪惫子巩寐邮羡佰绑劝暗旬纶咱摇葡齐烽寒颧玉嘎碰赋饮骚辅献脉夏哨合吓印粮掘涸划拔仍垮析拘煌百悸蕉梁卿飘暗钨情线熊躯桓昨崖祷慈纂闸膜础萍酝疟庄假腾誓奥勃剐炼腔必个俗硅旗布表添蔗币窍乌凶杖馅屏塑龙咋面均豺兼几咳奇阀逃掩唱深柱瑰乔胯殷附遁留花衡泵鳖盾睁蠢帜匆撰韶吊臆柒鹏应躇饥养县云汽峦梢灶份士恒彰哑辛缓腕邪谤疟团