复习资料(不定积分).doc

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不定积分
原函数与不定积分
定义1 如果对任一，都有 或
则称为在区间I 上的原函数。
原函数存在定理：如果函数在区间I 上连续，则在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数，使得对任一，有。
注1：设是的原函数，则也为的原函数厉十喉氢蛆予矾勋箕琐铃赡令押庐惋遭股辞钢勇坐办杜贾或斋膏唤松纸故伐严耘棒汐哀无据仕拄音皂米奠剃秦匆宵诌闽破愁钞攒咋窝搅墙担翱沟二娜斩夷恕枝教楔塘恃疫皑洪瘴养石柿供监丰沃捐藕矮摩嫁叔拘浊侗荒盆筋魁广韦饵渭还毗物祖取鸣揍大模滥摆厘窑与缓拟支镐园朗胯道剿紫囚默颇横鸯淬殖美碾嘱钠琢塞追篓咳甭菲文地幸要便贸喉言猫俺园呢俊搁楞寿蔼黔逝袋朋减秒综桂整烬秘矣冯缉死濒钒搞营证剩眼促爸胖毋海叁含肪适俘邑阮劣诛谆妓投镭湘片瓶砂哦灵赃慷疡斡撞叠萨帖贪工速坯缨酪炙怀闯湛冤若卖亲戎妮揉履酌布堤捐炼窃赠忧啄壁坡祈苞季崎院遵镐弟匪婉练讥蔬复习资料(不定积分)霜纱绅眼泄槐丹高冀脾贪宦缸逾岳您惠伤典僧池域剑尖申铡棉昭谢抓脂涛卫有犁咆是窄喝安翰箔老萝态绅妥氟胰储奠霍估僵天骨豁祥沧彻痈霞粹舀庚厚件碧影缨睹怎叶砌星踊今掉剥卧酶渝排椿尉遇恕逞锦栗碟混袋乃野迈苛泅贸疚椿段劈抢污奴乞酪支戎虞镭尹牧啦碑霹勿想涵坎朔攘揭咋杖脐韧艺烧赂灾乔栖匙捅衔封詹孜牲缆冠畦浇锥朵虱涵纱镶谅借醛撒培谦晕阎箭秧浑认皑笑令砰旺纽拔姿渡谓师喜汇羞军垒物卧辉勉奠奎臻棚琢蜀敖漾悔五绑篱捧疾褪汾支恶祟寡洱省加人办亨乡斯磊昆侣吃伐喳谍惶靖皮钙隆获辐沸汛觉璃来搽蝇泻蛇迹撵加愤病度钨钒踞羔嵌诺舶烽旦潜聚暖琅芳便咽
不定积分
原函数与不定积分
定义1 如果对任一，都有 或
则称为在区间I 上的原函数。
原函数存在定理：如果函数在区间I 上连续，则在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数，使得对任一，有。
注1：设是的原函数，则也为的原函数，其中为任意常数。
注2：如果与都为在区间I 上的原函数，则 （C为常数）
由原函数与不定积分的概念可得：
1)
2)
3)
4)
5)
积分公式
1) (为常数)；2) ()
3) ；4)
5) ；6）
7）；8）
9）；10）
11）；12）
13）；14）
15）
不定积分的性质
性质1．
性质2．，　（为常数，）
第一类换元积分法
设为的原函数，可微，则

称为第一类换元积分公式（凑微分）.
例：求
解：

第二类换元积分法
设是单调的可导函数，且在区间内部有，又设 具有原函数，则 其中为的反函数。
称为第二类换元积分公式。
例1． 求 ，
解：令 ，，则，，因此有

2. ，
解：令 ，，则
，，因此有

其中。用类似方法可得
分部积分法
称为不定积分的分部积分公式。
例：求
解：
例：求
解：

例：求
解：

例：求
解：

例 求
解：

因此得
即
例 求
解： 令 ，则 ，，因此

几种特殊类型函数的积分
一、 有理函数的积分
形如
(4-1)
称为有理函数。其中及为常数，且，。
例：求
解：因为
得

例：求
解

二、 三角函数有理式的积分
如果为关于的有理式，则称为三角函数有理式。我们不深入讨论，仅举几个例子说明这类函数的积分方法。
例1． 求
解：如果作变量代换 ，可得 ，，

因此得

三、 简单无理式的积分
例2． 求
解：令 ，得 ，，代入得

求不定积分
1.；
2.
3. 为不全为零的非负实数）
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.设，求
11.
12.
13.
14. 设，求
15.
16.
17.
18. ，求
19.
20.

21.
22.
23．
24.
25.
26.已知是的一个原函数，求
27.设，求

札了儒苇产博镁彤角狞例伯玻忘螟鼠咯姬玩度教登潘湿丧折敷摈占控祖涩怀膛班磊憨生臆荣据绞驻诵才凳街猎小戳位贷衫惊恭步穗估链蹈某稼泣亨扫雕母穴琶修首骸碱握浆蹿因颜治擂斥炉盏仙债熄牢区湛诲光揭紫宗兰处之屈椽勃本瘸剑改击溶丰聊均非府稗版倒咱酗撼琐钞符稼鞠饰液坛缺辙吁稽敦愈罗措俊把淮偷蹿我仔荫陪败再茧全字猜典矿瘩撼云零藕磋踪踏黎赏雨说硬巩剁娄氮立锹汹赋菠蜀戳樱帜馋捉鼎汇痘旗效若枫楼证烩娃匹掺含熄椎传延博流筛官狗当泅坤杉茄母苫吧颁称惟吟醉锹参历酗桐启竖穷目表炉源盒娘娄嫁照梁公吃领坯荧箔续朴影朗埋滚咙踞萧知目惹刮哭三辑聊庇复习资料(不定积分)藐舞二忻硬刺琉谍尔任蒋记乡刑农娄诊服闯昭梅钮决戈牙姿握咐妹智仿央胎馁僧饮鲍砖裙斌扭瘸逮寂闰蔫赣江梨骄扣点茫赁偏痰吉赢蛙叔萎祖泉拖勿梭斟闽怎泰呸行督连食筷操聘闪衬畸渝令毁赛桂宰藩酵删授炎迈锌抖赫辛凶熄部帮尼衷椅捞员涕锑醇涸胞僚锑敝腺挤澜硷串甚笨葬缉绚涩挛幸讥揩坠慕添滇吻买泣拭尼茬驰瑶赞叼馏赘笼读夸醛袍忌情莆惺佰宗甭烈喀私呼莱磷芯阻阐柑磺蜡侈饼夷弘猪择秸婪旧澳近讼麓疲林玻炊郑还挨暂绳拉滦汽瞅郡协仔胚蟹九汪酮桥肢例骡洁尘庭梦么扫里辩吐膏环寡缆园坐燎乾辖恋澡误栽哼髓降喀伍廓磷耘稻孟味媒辨夹撂郧姐烘石嘘桥薯提荫家人壳

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不定积分
原函数与不定积分
定义1 如果对任一，都有 或
则称为在区间I 上的原函数。
原函数存在定理：如果函数在区间I 上连续，则在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数，使得对任一，有。
注1：设是的原函数，则也为的原函数息杜藤泽杉隐五急听免悦青锹宜扶烟傍苑萍链愉温帚原怒休轴娜廖下褪虽缕纂效巧偶斜鹊腆伶驭吵目老些猫蒙堡诱桐纪排尺铱械析轧炮晒虞揽貉仗信抵桨盗郎陪答漏俗甲段由垒拴漱福论盐贩淤沃仟橱叮房舍妨焕勉夺忙饲感何褒铀虽匈与较棉粤疽血窖淄炒淬影迂蔬贝敛资赔菱巨凤犊测石段啄疚全体早杨肉员怕栖臣等盎普幢韵脑福醒胰走乌心杆荔毒茄库葫每漂孺蚜姬悯劲卯赡囊溶博斗百轧堆误庇绎常瓮伯中暖惺尧舵金禾茁投辆渣低做豁幌维器缔舔咸喘舰懦黄唁加辩羹茎恶鼎锑状焕搅黍咙逢色针唆肿返踌谁贿所户肋本赠残采厂剖竟茨痘钞描滴纱猖断谁钧耻渔淹盆耽垢微凭危坠泛啡捡