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食品价格变动分析

摘要
本文研究的是食品价格变动的问题。随着社会的不断发展食品价格已经成为居民消费价格指数的重要组成部分，而在国家经济发展上居民价格消费指数又是可以直接判断出通货膨胀的主要方法。食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入，是关系国计民生的重要战略问题。2000年以来，我国城镇居民家庭食品消费支出占总支出的比重一直维持在36%以上。在收入增长缓慢的情况下，食品价格上涨将使人民群众明显感到生活成本增加，特别是食品价格上涨将降低低收入群体的生活质量。因此研究食品价格的波动是十分必要的，有利于国家提前预测通货膨胀，同时有利于国家做经济上的宏观调控。
面对题目中给出的大量食品价格的数据我们首先对其进行大类的分类，然后用MATLAB对其进行线性拟合，由拟合的结果对于各类结果进行分析。
对于问题一所要描述的食品价格趋势：我们首先用了两种分类思路对其进行了大类分析，第一种按原材料的性质分类，第二中按食品对于人们生活水平的好坏分类的。对于两种分类思路我们都对其进行了前期的数据处理即对其每一大类进行了加权平均，P=（P1q1+P2q2+P3q3+……）/（q1+q2+q3+……）得到了每一大类的食品价格的平均价格。然后把这些数据利用MATLAB进行分析，绘制出曲线图形得到各类食品价格的变动趋势。来达到解决第一问的目的。
对于第二问所要求的预测2014年5月份的食品价格，我们在题中所给出的数据的基础上又在国家统计局统计年鉴上找到了四月份中下旬的食品价格的具体数据，而后以2014年一月份到四月份12组数据的基础上利用MATLAB对其进行了多项式拟合得到了每一大类食品价格与时间的线性关系。然后在随后我们利用这些公式分别对五月份数据进行预测，得到结果与我们查找得出来的五月份具体数据基本接近，存在的数据误差在误差允许范围内，因此我们判定我们拟合的曲线可以用来预测短期内的食品价格。
对于第三问要想仅仅通过监测较少的食品种类价格即能相对准确地计算、预测居民消费价格指数，我们在统计年鉴中选取了山西太原和上海两个具有代表性的城市每年各类食品的价格指数分别进行了线性回归分析，并计算出其相关系数来检测其显著性。因r值都非常小，本小组选取的两个城市均不能仅通过较少的食品种类来准确预测居民的消费价格指数。

关键词

消费价格指数 多项式拟合 线性回归

一、问题重述
食品价格是居民消费价格指数的重要组成部分，食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入，是关系国计民生的重要战略问题。2000年以来，我国城镇居民家庭食品消费支出占总支出的比重一直维持在36%以上。在收入增长缓慢的情况下，食品价格上涨将使人民群众明显感到生活成本增加，特别是食品价格上涨将降低低收入群体的生活质量。为监测食品价格的实际变化情况，国家统计部门定期统计50个城市主要食品平均价格变动情况，数据见附件1。
居民消费者价格指数（CPI），是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标。附件2提供了近期居民消费者价格指数数据。
请根据以上信息，建立数学模型解决以下问题：
（1）根据附件以及相关统计网站的数据，分析我国食品价格波动的特点。
（2）对2014年5月份食品价格走势进行预测。
（3）目前统计部门需要监测大量食品价格变动情况以计算居民消费者价格指数变动情况，能否仅仅通过监测尽量少的食品种类（这里，食品种类是指附件1表格中的商品名称，可以认为每一种商品名称即为一种食品种类）价格即能相对准确地计算、预测居民消费者价格指数？在同样精度要求下，不同地区所选取的食品种类以及种类数目是否一致？请至少选择两个有特点的城市进行说明。

二、问题分析
食品问题与人们的日常生活息息相关，其价格的波 动将直接影响着居民的生活成本和实际个人可支配收入，是关系国际民生的重要战略问题。
对于问题一，题目要求根据附件1或自己查阅的数据资料分析我国食品价格波动的特点。但对于题中给出的27种食品数量，如要一一进行分析，无不显得臃肿复杂。为此，我们首先想到的是要对食品进行分类。本小组拟选取2种分类方法，根据原料性质和反映生活质量好坏两种不同的品质标志将食品进行统计分组。见表 ？而后对于每一大类食品的价格确定如若采用简单的算数平均数来反映，将会因为没有考虑每一种商品需求量的差异会较大程度的导致每一大类价格不够准确。商榷讨论后，小组在国家统计局的统计年鉴找到每一种食品相对应的年平均销售量（用以反映需求量），并以此来作为权重对价格进行加权平均。找到更为合理的大类平均价格。最后，通过MATLAB得到每一类食品的价格变动趋势和特点。
对于问题二，在问题一分析的基础上，想要根据已知的数据来准确预测到5月份的价格走势。首先，为了更加精确，我们找到了4月份剩余20天的数据;紧接着，将已知数据做如问题一的处理；然后，通过前3个月的数据用MATLAB进行拟合，确定最优曲线方程，进行较为准确预测。
对于问题三，我们利用统计年鉴上得到的两个城市的数据，将每一类食品的价格指数和居民价格指数分别进行线性回归并对其进行相关性分析，根据其显著性来得到结果。

三、模型假设
1．人们对题中主要食品的需求量等于市场的供给量，即供求平衡。
2．2014年主要食品的需求量同2013年大体相当。
3．收集到的相关数据都准确可靠，可信度高。
4．在研究时期内没有特大灾害事故发生，国家新制定政策，金融危机等容易影响价格大幅度波动的因素。
5．食品分类没有严格的界定标准，合理性即可。
6．食品零售价格在较短时间内的平均价格与每天的实际价格相差无几，可忽略不计。
7．每一种食品的价格走势和每一大类的价格走势相同。

四、符号说明

序号
符号
说明
1
Pi
价格
2
qi
需求量
3
Xi
食品种类
4
Y
居民消费价格指数
5
r
相关系数

五、模型的建立与求解
5.1.1食品分类
由统计学原理，统计分组是分析的有力工具，是统计研究的基本方法之一。统计的第一步是按分组标志进行分组，这里我们选取了两种不同的品质标志根据附件1将食品分为两大类。
分类一：
按原料性质分为5大类。见下表1
谷物及薯类
规格等级为粳米的大米，富强粉和标准粉的面粉，土豆
豆类及豆制品
豆腐
纯热能食物
规格为压榨一级的花生油，5L桶装的大豆油，一级散装的菜籽油
动物性食物
规格为后腿肉和五花肉的猪肉，腿肉的羊肉和牛肉，白条鸡和鸡胸肉的鸡肉，白条鸭的鸭肉，散装鲜鸡蛋的鸡蛋，活鲤鱼，活带鱼，带鱼
蔬菜水果类
大白菜，油菜，芹菜，黄瓜，西红柿，豆角，规格为富士的苹果，国产的香蕉

表1

分类二：
按食品反映生活质量好坏分为两大类。见下表2
高品质生活类
活鲤鱼、活草鱼、带鱼、规格为压榨一级的花生油、后腿肉和五花肉的猪肉、腿肉的牛羊肉、白条鸡和鸡胸肉的鸡肉、白条鸭的鸭肉、富士苹果、国产香蕉
普通品质生活类
大白菜、油菜、芹菜、黄瓜、西红柿、豆角、土豆、豆腐、规格为粳米的大米、富强粉和标准粉的面粉、5L桶装的大豆油、一级散装的菜籽油、散装鸡蛋

表2
5.1.2每大类食品平均价格的计算
P＝（P1q1＋P2q2+P3q3……）／（q1+q2+q3＋……）
由上述以q为权重对每种食品的价格进行加权平均得到每一时期每一类食品的平均价格。
注：对于没有详细需求量数据的食品，用算术平均数得到平均价格。

分类一加权后数据。见下表3

表3

分类二加权后数据。见下表4

价格 类别

时间

普通生活类

优质生活类
4月11日~20日
9.08
19.13
4月21日~30日
9.05
19.13
4月1日~10日
9.11
19.08
3月21日~30日
9.16
19.09
3月11日~20日
9.17
19.06
3月1日~10日
9.19
19.04
2月21日~28日
9.18
19.04
2月11日~20日
9.21
19.04
2月1日~10日
9.23
19.01
1月21日~30日
9.22
18.90
1月11日~20日
9.15
18.71
1月1日~10日
9.10
18.69

表4

5.1.3各类食品价格波动分析
5.1.3.1运用第一种分类方法，将各类食品的价格走势图表表示出来，并据图分析。

①

图1
图1为谷物及薯类的均价走势图。
从图中可以看出1月1日到1月20日价格缓慢下降，1月20日到1月30日均价急剧下降，可以看出1月份总体呈下降趋势；从进入二月份初到3月底谷物及薯类价格基本呈缓慢上升趋势，直到4月初开始急剧上升。总的来说，该类食品价格走势为先持续下降，后缓慢回升途中略有起伏，最后大幅上升。
②

图2

图2为豆类及豆制品——豆腐的均价走势图。
从图中可以很直白的看出豆腐的均价走势趋于平稳。没有明显的波动。

③

图3

图3为纯热能食物的均价走势图。
从图中可以看出1月1日到1月20日价格持续增长，1月末价格趋于平稳；进入2月又持续增长并在2月20日达到顶峰后，价格开始持续大幅度下降。总的来说，从1月初开始价格持续增长，到2月份中旬达到顶峰后开始急剧回落。有很大的波动性。

④

图4

图4为动物性食物的均价走势图。
从图中可以看出1月1日到2月10日价格趋于缓慢上升，没有明显的波动；从2月11日到2月20日这10天之内价格大幅度回落；2月末开始至3月末价格仍然持续下降达到谷底，但下降幅度不明显；到4月份开始迅速回升。总体来说，动物性食物的均价走势大起大落，极不稳定。

⑤

图5

图5为蔬菜及水果的均价走势图。
从图中可以看出蔬菜及水果的平均价格变动特点是1月1日开始价格持续大幅度增长，到2月10日达到顶峰；紧接着价格较为缓慢回落，最后趋于平稳。

5.1.3.2运用第二种分类方法，将各类食品的价格走势图表表示出来，并据图分析。
①

图6
图6为普通品质生活类的均价走势图。
从图中可以看出从1.1日开始，价格直线上升，到2月10日达到顶峰；从2月11日价格开始持续下降，期间略有小幅波动。但是，总体来看，价格呈小幅波动。经分析可以看出，对于日常生活必需食品，为了总体满足人们的生活需要，其波动范围不宜太大，这样才切合民生。

②

图7
图7为高品质生活类的均价走势图。
从图中可以看出高品质生活类的食品价格开始时大幅上升，后期趋于平稳。总体来说，均价上升趋势很明显，价格变动范围也较大。进一步分析，这部分食品大部分消费者收入还是不错的，随着收入的上升，食品价格上升也很明显。

5.2 2014年5月份食品价格走势预测

5.2.1 2014年4月11-30日的数据如下:
2014年4月11-20日原数据

表5
2014年4月20日-30日原数据

表6

按问题一的思路以q为权重将数据进行处理。

5.2.2 2014年5月份数据预测。
我们将5.2.1处理好的数据与问题一的数据结合。然后通过MATLAB曲线拟合工具箱对问题一中的各类食品曲线进行拟合。拟合结果如下：
A．谷物及薯类

图8
如图8，从结果可以看出拟合的曲线为y＝0.01*x^2-0.12*x+5.6
经计算代入x=13,14,15,很快得到5月份的预测数据为y=5.55，5.53，5.5

B．豆类及豆制品

图9

如图9，从结果可以看出拟合的曲线为y=0.0049*x+4.4
该拟合曲线给出了数据的大致趋势，经计算代入x=13,14,15，很快得到5月份的预测数据为y=4.48,4.47,4.49

C．纯热能食物

图10
如图10，从结果可以看出拟合的曲线为y=0.011*x^3-0.024*x^2+0.13*x+17
同样将x=13，14，15的值代入，可以预测到纯热能食物5月份的平均价格是y=
17.18,17.18,17.15

D．动物性食物

图11
如图11，从结果可以看出拟合的曲线为y=0.086*x^2-1.4*x＋25
这样代入x=13，14，15的值，可以预测到动物性食物5月份的平均价格为
y=21.9，22.53，22.66

E．蔬菜及水果

图12
如图12，从结果可以看出拟合的曲线为y=0.0032*x^3-0.079*x^2+0.59*x+8.5
同理代入x=13,14,15 可以预测到5月份的值y＝9.82,10.01,10.22

综上来看，我们通过拟合出来的曲线分别得到了各类5月份的数据，如下表7

5.1—5.10
5.11—5.20
5.21—5.30
谷物及薯类
5.55
5.53
5.5
豆类及豆制品
4.48
4.47
4.49
纯热能食物
17.18
17.18
17.15
动物性食物
21.9
22.53
22.66
蔬菜及水果
9.82
10.01
10.22
表7
最后，小组在国家统计局统计年鉴中找到了5月份的真实数据如下表8

5.3 较少食品种类准确预测全国居民消费价格指数

目前统计部门需要监测大量食品价格变动情况以计算居民消费者价格指数变动情况，仅仅通过监测尽量少的食品种类价格即能相对准确地计算、预测居民消费者价格指数。
我们分别找到上海和太原两个城市对其往年数据进行收录，并对其进行了回归分析，和相关系数计算。
具体计算如下：
∑Xi=x1+x2+x3+……

∑yi=y1+y2+y3+……

∑Xi^2 =x1*x1+x2*x2+x3*x3+……
∑Yi^2=y1*y1+y2*y2+x3*x3+……
∑XiYi=x1*y1+x2*y2+x3*y3+……
Lxx=∑Xi^2-[(∑Xi)^2]/8
Lyy=∑Yi^2-[(∑yi)^2]/8
Lxy=∑XiYi-∑Xi∑yi/8
于是
B1=Lxy/Lxx
B0=
y=B0+B1x
r=Lxy/（Lxx*Lyy）^(1/2)
由其来判定是否显著线性回归。
借助上述公式，将如下2组数据代入得到对应的r相关系数的值

上海的原数据

上海r值

因r值都非常小，所以我们分析上海市不能仅通过较少的食品种类来准确预测居民的消费价格指数。
太原原数据

太原r值

因r值都非常小，所以我们分析太原市不能仅通过较少的食品种类来准确预测居民的消费价格指数。
综上，本小组选取的两个城市均不能仅通过较少的食品种类来准确预测居民的消费价格指数。

参考文献：
[1]卓金武、秦泰.MATLAB在数学建模中的应用.北京航空航天大学出版社.2010
[2]国家统计局 统计年鉴
[3]郭满才、徐钊.概率论与数理统计.高等教育出版社.2012