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数学培优专题讲义：二次根式
一、 知识的拓广延伸
1、 挖掘二次根式中的隐含条件
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，其中。
根据二次根式的定义，我们知道：被开方数a的取值范围是 ，由此我们判断下列式子有意义的条件：

2、 的化简
教科书中给出：一般地，根据算术平方根的意义可知：，在此我们可将其拓展为：
（1）、根据二次根式的这个性质进行化简：
①数轴上表示数a的点在原点的左边，化简=
②化简求值：；其中a=

③已知，，化简

④；
⑤若为a,b,c三角形的三边，则;
⑥计算：.
（2） 、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。
①若,求m的取值范围。

②若，则x的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
③若,求的值；

④

3、 如何把根号外的式子移入根号内
我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。
（1）、 根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内：
①， ②
（2）、利用此方法可比较两个无理数的大小。

4、 海伦——秦九韶公式

根据该公式，可以在不求三角形的高的情况下，利用三角形的三边长度来求三角形的面积。
（1）、海伦公式的证明。

（2）、海伦公式的推广：
在任意内接于圆的四边形ABCD中，四边形ABCD的四边分别为a、b、c、d，设
例如：已知内接于圆的四边形ABCD中，AD=1，AB=1，CD=2。
求证四边形ABCD可能为等腰梯形。

二、 拓展性问题
1、 整数部分与小数部分
要判断一个实数的整数部分与小数部分，应先判断已知实数的取值范围，从而确定其整数部分，再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。
例：（1）、已知的整数部分为a，小数部分为b，试求ab—b2的值。

（2）若x、y分别为 的整数部分与小数部分，求2xy—y2的值。

（3）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值。

（4）若

2、巧变已知，求多项式的值。

3、用归纳法化简求值

4、应用海伦—秦九韶公式。
在三角形ABC中，BC=4，AC=5，AB=7，求此三角形的面积。

5、 分母有理化
(1)．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
(2)．有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，，分别互为有理化因式。

(3)．分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
【例】 把下列各式分母有理化
（1） （2） （3） （4） （5） （6）

1、已知，，求下列各式的值：（1） （2）

2、把下列各式分母有理化：
（1） （2） （3）