幂函数题型归纳.doc

幂函数知识点归纳及题型总结
一、 幂函数定义：对于形如：，其中为常数.叫做幂函数
定义说明：
1、 定义具有严格性，系数必须是1，底数必须是
2、 取值是R .
3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、½、-1五种情况
二、 幂函数的图像
幂函数的图像是由决定的，可分为五类：
1）时图像是竖立的抛物线.例如：
2）时图像是一条直线.即
3）时图像是横卧的抛物线.例如
4）时图像是除去（0,1）的一条直线.即（）
5）时图像是双曲线（可能一支）.例如
具备规律:
①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高）

②幂指数互为倒数时，图像关于y=x对称
③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像

三、幂函数的性质
幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。
1、 定义域、值域与α有关，通常化分数指数幂为根式求解
2、 奇偶性要结合定义域来讨论
3、 单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减
4、 过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两点；α≤0时，过（1,1）
5、 由可知，图像不过第四象限

一、 幂函数解析式的求法
1. 利用定义
（1）下列函数是幂函数的是 ______
① ② ③ ④ ⑤
（2）若幂函数的图像过点，则函数的解析式为______.
（3）已知函数是幂函数，求此函数的解析式。

2．利用图象
若函数是幂函数，且图像不经过原点，求此函数的解析式。

3．利用性质
已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上是减函数，求此函数的解析式。

二、 幂函数的图像及应用
1． 分布规律
幂函数图像的分布规律可用“一全有、二一偶、三一奇、四必无”来说明
（1）、函数的图像是（ ）

x
O
y

（2）右图为幂函数在第一象限的图像，则的大小关系是 （ ）

2． 比较大小
（1） 单调性比较
比较与的大小 比较与的大小
把()－，()，()，()0按从小到大的顺序排列____________________．

（2） 利用图象比较大小
当时， 的大小关系是（ ）
A． B．.
C． D．
3．幂函数的单调性与奇偶性
函数在上是（ ）
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数.
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
4．求参数的取值范围

(1)．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：
(1)正比例函数； (2)反比例函数；
(3)二次函数； (4)幂函数？

(2)已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上是减函数，求满足的的取值范围。

课后训练题：
1．下列幂函数为偶函数的是(　　)
A．y＝x　　B．y＝ C．y＝x2 D．y＝x－1
2．若a＜0，则下列大小关系正确的是(　　)
A．5－a＜5a＜0.5a B．5a＜0.5a＜5－a
C．0.5a＜5－a＜5a D．5a＜5－a＜0.5a
3．设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数的所有α值为(　　)
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3
4．若四个幂函数y＝，y＝，y＝，y＝在同一坐标系中的图象如图所示，则a、b、c、d的大小关系是（ ）.
A. d＞c＞b＞a B. a＞b＞c＞d
C. d＞c＞a＞b D. a＞b＞d＞c
5．函数y＝(x＋4)2的递减区间是(　　)
A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞) C．(4，＋∞) D．(－∞，4)
6．幂函数的图象过点(2，)，则它的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
7．给出四个说法：
①当n＝0时，y＝xn的图象是一个点；
②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)；
③幂函数的图象不可能出现在第四象限；X k b 1 . c o m
④幂函数y＝xn在第一象限为减函数，则n＜0.
其中正确的说法个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
8．设α∈{－2，－1，－，，，1,2,3}，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
9．使(3－2x－x2)－有意义的x的取值范围是(　　) 新 课 标 第 一 网
A．R B．x≠1且x≠3 C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1
10．已知幂函数y＝xm2＋2m－3(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，求y的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．

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