反比例函数与一次函数交点问题习题及详解.doc

反比例函数与一次函数交点问题
1．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．

2．如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

3．如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．
（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．
（4）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，求点P的坐标．

4．如图，已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；
（2）试根据图象写出不等式≥kx的解集；
（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．

6．如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB．
（1）求k和b的值；
（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；
（3）在y轴上是否存在一点P，使S△PAC=S△AOB？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由．

2018年05月16日157****9624的初中数学组卷
参考答案与试题解析

一．解答题（共6小题）
1．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；K3：三角形的面积．菁优网版权所有
【解答】解：（1）分别把A（m，6），B（3，n）代入得6m=6，3n=6，
解得m=1，n=2，
所以A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），
分别把A（1，6），B（3，2）代入y=kx+b得，
解得，
所以一次函数解析式为y=﹣2x+8；

（2）当0＜x＜1或x＞3时，；

（3）如图，当x=0时，y=﹣2x+8=8，则C点坐标为（0，8），
当y=0时，﹣2x+8=0，解得x=4，则D点坐标为（4，0），
所以S△AOB=S△COD﹣S△COA﹣S△BOD
=×4×8﹣×8×1﹣×4×2
=8．

2．如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【解答】解：（1）∵直线y=k1x+b过A（0，﹣2），B（1，0）两点
∴，
∴
∴一次函数的表达式为y=2x﹣2．（3分）
∴设M（m，n），作MD⊥x轴于点D
∵S△OBM=2，
∴，
∴
∴n=4（5分）
∴将M（m，4）代入y=2x﹣2得4=2m﹣2，
∴m=3
∵M（3，4）在双曲线上，
∴，
∴k2=12
∴反比例函数的表达式为

（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，
∵MD⊥BP，
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO==2（8分）
∴在Rt△PDM中，，
∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11
∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）（10分）

3．如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．
（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出k1x+b﹣≥0时自变量x的取值范围．
（4）动点P（0，m）在y轴上运动，当|PC﹣PD|的值最大时，求点P的坐标．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【解答】解：（1）∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2=的图象上，
∴k2=2×（﹣3）=﹣6，
∴y2=；
如图，作DE⊥x轴于E，
∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点，
∴A（﹣2，0），
∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1=k1x+b的图象上，
，
解得k1=﹣，b=﹣，
∴；

（2）由，解得，，
∴C（﹣4，），
∴S△COD=S△AOC+S△AOD=×2×+×2×3=；

（3）由图可得，当k1x+b﹣≥0时，x＜﹣4或0＜x＜2．

（4）作C（﹣4，）关于y轴的对称点C'（4，），延长C'D交y轴于点P，
∴由C'和D的坐标可得，直线C'D为，
令x=0，则y=﹣，
∴当|PC﹣PD|的值最大时，点P的坐标为（0，）．

4．如图，已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；
（2）试根据图象写出不等式≥kx的解集；
（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【解答】解：（1）把A（m，﹣2）代入y=，得﹣2=，
解得m=﹣1，
∴A（﹣1，﹣2）代入y=kx，
∴﹣2=k×（﹣1），解得，k=2，
∴y=2x，
又由2x=，得x=1或x=﹣1（舍去），
∴B（1，2），
（2）∵k=2，
∴≥kx为≥2x，
根据图象可得：当x≤﹣1和0＜x≤1时，反比例函数y=的图象恒在正比例函数y=2x图象的上方，即≥2x．
（3）①当点C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，
②如图，当C在第三象限时，要使△OAC为等边三角形，则OA=OC，设C（t，）（t＜0），

∵A（﹣1，﹣2）
∴OA=
∴t2+=5，则t4﹣5t2+4=0，
∴t2=1，t=﹣1，此时C与A重合，舍去，
t2=4，t=﹣2，∴C（﹣2，﹣1），而此时AC=，AC≠AO，
∴不存在符合条件的点C．

5．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【解答】解：（1）当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；
（2）把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，
解得，
所以一次函数解析式为y=x+，
把B（﹣1，2）代入y=得m=﹣1×2=﹣2；
（3）设P点坐标为（t，t+），
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴••（t+4）=•1•（2﹣t﹣），即得t=﹣，
∴P点坐标为（﹣，）．

6．如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y=的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB．
（1）求k和b的值；
（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；
（3）在y轴上是否存在一点P，使S△PAC=S△AOB？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由．

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【解答】解：（1）将A（1，4）分别代入y=﹣x+b和
得：4=﹣1+b，4=，解得：b=5，k=4；

（2）一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x＞4或0＜x＜1，

（3）过A作AN⊥x轴，过B作BM⊥x轴，
由（1）知，b=5，k=4，
∴直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：
由，解得：x=4，或x=1，
∴B（4，1），
∴，
∵，
∴，
过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），
∴S△PAC=OP•CD+OP•AE=OP（CD+AE）=|t|=3，
解得：t=3，t=﹣3，
∴P（0，3）或P（0，﹣3）．

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