高等代数知识结构.doc

高等代数知识结构
行列式的计算
一、高等代数知识结构图

研究范围
线性空间
酉空间
复数域上的正交变换
酉空间的性质
欧式空间
正交变换与正交矩阵
正交化与正交补的求法
欧式空间的性质
线性空间
可对角化及不变子空间
特征值与特征向量
坐标变换与基变换
线性变换
线性空间的性质与同构，
子空间的判定
II-C定理
若尔当典范性
矩阵的可对角化
J矩阵
对称双线性函数
单线性函数
线性函数
正定性，合同
对角化
化为标准型（配方法，
线性方程组法，正交法）
二次型
线性流形

中心课题
线性典范型
向量相关性
线性相关和线性无关
极大线性无关组
工具
线性方程组
线性方程组
线性方程组的解法及判别定理
线性方程组解的结构
矩阵的运算与逆
矩阵的初等变换
矩阵
矩阵的秩
行列式的性质
行列式

高等代数
线性代数

多项式理论
多元多项式/
对称多项式
韦达定理
根的判别式
判定（爱绅斯坦因）
求法
多项式根的理论
有理数域
实数域
复数域
因式分解理论
重因式
因式分解唯一性
互素与同于
最大公因式定理
整除理论

二、高等代数知识结构内容
（一）线性代数：
工具：线性方程组
1.行列式：
1行列式的计算设有个数，排成行列的数表，即n阶行列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积
⑴的代数和，这里是的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当是偶排列时, ⑴带正号；当是奇排列时, ⑴带负号．即=，这里表示对所有级排列求和.
a.行列式的性质：
性质1.行列互换，行列式不变。
性质2.一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数

乘此行列式。
性质3.如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。
性质4.如果行列式中两行相同，那么行列式为零。（两行相同就是说两行对应元素都相同)
性质5.如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。
性质6.把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
性质7.对换行列式中两行的位置，行列式反号。

2.矩阵：
a.矩阵的秩：矩阵A中非零行的个数叫做矩阵的秩。
b.矩阵的运算
定义 同型矩阵：指两个矩阵对应的行数相等、对应的列数相等的矩阵．　
矩阵相等：设,, 若 , 称.
线性运算：,　
加法：
数乘：　 负矩阵：　
减法：
矩阵的乘法定义：设 , 其中元素
的列数 = 的行数。
的行数 = 的行数；
的列数 = 的列数．　
与的先后次序不能改变．

(5)矩阵的初等变换
矩阵的等价变换形式主要有如下几种：
1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；
2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；
3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去。

3.线性方程组
一般线性方程组.这里所指的一般线性方程组形式为

式中代表未知量，称为方程组的系数，称为常数项.
线性方程组称为齐次线性方程组，如果常数项全为零，即.
令
，, ，
则可用矩阵乘法表示为
，

a.线性方程组的解法
1)消元法
在初等代数里，我们已经学过用代入消元法和加减消元法解简单的二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.但对于那些高元的线性方程组来说，消元法是比较繁琐的，不易使用.
2)应用克莱姆法则
对于未知个数与方程个数相等的情形，我们有
定理1 如果含有个方程的元线性方程组

的系数矩阵

的行列式
，
那么线性方程组有唯一解：

其中是把矩阵中第列换成线性方程组的常数项所成的矩阵的行列式，即

此外，还可以叙述为，如果含有个未知数、个方程的线性方程组的系数矩阵的行列式，则线性方程组一定有解，且解是唯一的.
广义逆矩阵法
设.如果存在，使得，则称为矩阵的一个{1}-广义逆矩阵，记作.矩阵的{1}-逆总是存在的，但一般不是惟一的[12]，矩阵的{1}-逆的全体记为.
若，为的一个{1}-广义逆矩阵，则对为任意的矩阵，矩阵的一个{1}-广义逆矩阵为
,
同时还可以表示为
.
广义逆矩阵的计算：
(1) 设，且有和阶置换矩阵使得

则对任意的，矩阵

是的一个{1}-广义逆矩阵.若存在使得

则矩阵的{1}-逆的全体

(2) 设，则有惟一{1}逆的充分必要条件是，且，即可逆.这个惟一的{1}逆就是.
4.向量相关性
a.判断向量组线性相关的方法
1)线性相关
2)的对应分量成比例线性相关
3)含有零向量的向量组是线性相关的
4)向量组线性相关该组中至少有一个向量可由其余的向量线性表出
5)部分相关则整体相关
6)设向量组可由向量组线性表出,如果r>s,则线性相关；
7)n+1个n维向量必线性相关(个数大于维数)
8)该向量组的秩小于它所含向量的个数向量组线性相关
9)n个n维的向量构成的行列式=0 该向量组是线性相关的
10)线性相关向量组中每个向量截短之后还相关

b.判断向量组线性无关的方法
1)线性无关
2)的对应分量不成比例 线性无关
3)向量组线性无关该组中任何一个向量都不能由其余的向量线性表出
4)整体无关则部分无关
5)线性无关向量组中每个向量加长之后还无关
6)该向量组的秩等于它所含向量的个数 向量组线性无关
7)n个n维的向量构成的行列式0 该向量组是线性无关的
(二)中心课题：线性规范型
1.二次型 线性流型：
二次型及其矩阵表示
二次型的定义：以数域P中的数为系数，关于x1，x2，…，xn的二次齐次多项式f(x1，x2，…，xn)=a11x12+2a12x1x2+ … +2a1nx1xn
+a22x22+ … +a2nx2xn
+ … (3)
+annxn2
称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型。
矩阵的合同关系：对于数域P上的两个n阶矩阵A和B，如果存在可逆矩阵C，使得B=CTAC则称A和B是合同的，记为A~B。
合同关系性质：
1) 反身性：A~A；
2) 对称性：A~B，则B~A；
3) 传递性：A~B，且B~C，则A~C。
二次型的标准形
1) 实数域R(或复数域C)上的任意一个二次型都可经过系数在实数域R(或复数域C)中的非退化线性变换化成平方和形式：
d1y12+d2y22+…+dnyn2
其中非零系数的个数唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的二次型称为二次型的标准形。
2) 任何对称矩阵都与一个对角矩阵合同。
3）复二次型的规范形：
任何复系数二次型都可经过复数域C中的非退化线性变换化成如下最简形式平方和：y12+y22+…+yr2，其中r唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的复二次型称为复二次型的规范形。
2.线性函数
（三）研究范围：线性空间
1.线性空间
简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。
1）V对加法成Abel群，即满足： 　　
（1）（交换律）x+y=y+x； 　　
（2）（结合律）（x+y）+z=x+（y+z） 　　
（3）（零元素）在V中有一元素0，对于V中任一元素x都有x+0=x； 　　
（4）（负元素）对于V中每一个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=0； 　　
2）数量乘法满足： 　　
（5）1x=x； 　
（6）k(lx)=(kl)x； 　　
3）数量乘法和加法满足： 　　
（7）（k+l）x=kx+lx； 　　
（8）k（x+y）=kx+ky． 　　
其中x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素，1是F的乘法单位元。 　　
数域F称为线性空间V的系数域或基域，F中元素称为纯量或数量（scalar），V中元素称为向量（vector）。 　　
当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时，V称为复线性空间。　　
（1） V中零元素（或称0向量）是唯一的。 　　
（2） （2）V中任一向量x的负元素（或称负向量）是唯一的。 　　
（3） （3）kx=0（其中k是域F中元素，x是V中元素）当且仅当k=0或x=0。 　　（4）(-k)x=-(kx)=k(-x)。

2.欧氏空间

定义
设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说，g是V上的二元实值函1．公因式:
数，满足如下关系：

（1）g(x,y)=g(y,x)；
满足:

（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；

（3）g(kx,y)=kg(x,y)；

（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
2．最大公因式:

这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。
二、 多项式理论
1.整除理论
　整除： 若多项式a：“f（x）” 除以多项式b：“g（x）”，商为一个多项式，且余数为零多项式。 我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”．
1）最大公因式
多项式的最大公因式的定义
定义（公因式与最大公因式）
定义1 若既是的因式，又是的因式，则称是与的公因式。
因所以任意两个多项式都有公因式。
2）互素
如果，那么就说，即两个多项式只有零次公因式时，称为互素。
的公因式，就称这两个多项式互素
2.因式分解理论
1）重因式
定义 设p(x) 为不可约多项式. 如果f(x)能被p(x) 的k次方整除而p（x）的k+1次方不能, 则称p(x) 是 f(x)的k 重因式.

若k=0, 则p(x) 不是f(x) 的因式.

若k=1, 则称 p(x) 是f(x) 的单因式.

若k>1, 则称 p(x) 是f(x) 的重因式.

也可以定义高阶微商的概念, 一阶微商f'(x) 的微商称为f(x) 的二阶微商, 记为f''(x). 一般地,f(x) 的k 阶微商定义为f(x) 的k-1 阶微商的微商:

定理 如果不可约多项式p(x) 是f(x) 的k 重因式（k≥1), 那么它是f'(x) 的k-1 重因式.

注意: 该定理的逆定理一般不成立

推论 1：如果不可约多项式p(x) 是f(x) 的k (k≥1)重因式, 那么p(x) 分别是f'(x),f''(x)...f(k-1)(x) 的 k-1,k-2,...,1 重因式, 但不是f(k)（x） 的因式.
推论 2：不可约多项式p(x) 是f(x) 的重因式的充分必要条件是p(x) 为f(x) 与 f'(x)的公因式.
推论 3：多项式 f(x)没有重因式的充分必要条件是(f(x),f'(x))=1.

2)唯一性理论
不可约多项式
定义：数域P上次数的多项式p(x)称为不可约多项式，如果p(x)不能表成数域P上的两个次数比p(x)低的多项式的乘积。

唯一性指：数域P上每一个次数1的多项式f(x)均可分解成数域P上一些不可约多项式的乘积。F[x]中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积,而且除去因式的次序以及常数因子外，分解的方法是惟一的。

当F是复数域C时，根据代数基本定理，可证C[x]中不可约多项式都是一次的。因此，每个复系数多项式都可分解成一次因式的连乘积。

当F是实数域R时，由于实系数多项式的虚根是成对出现的，即虚根的共轭数仍是根，因此R[x]中不可约多项式是一次的或二次的。所以每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积。实系数二次多项式αx2+bx+с不可约的充分必要条件是其判别式b2-4αс<0。

当F是有理数域Q时，情况复杂得多。要判断一个有理系数多项式是否不可约，就较困难。应用本原多项式理论，可把有理系数多项式的分解问题化为整系数多项式的分解问题。一个整系数多项式如其系数是互素的,则称之为本原多项式。每个有理系数多项式都可表成一个有理数及一个本原多项式的乘积。关于本原多项式有下述重要性质。

郑雅心
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