曲线积分与曲面积分重点总结+例题.doc

高等数学教案 曲线积分与曲面积分
第十章 曲线积分与曲面积分
【教学目标与要求】
1。理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2。掌握计算两类曲线积分的方法。
3。熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。
4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法.
【教学重点】
1。两类曲线积分的计算方法；
2。格林公式及其应用；
3。第一类曲面积分的计算方法；
【教学难点】
1。两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；
2。对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；
3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分;
6。两类曲线积分的计算方法;
7。格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分;
【参考书】
［1］同济大学数学系。《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社。
[2］ 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版。高等教育出版社。
[3]同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社
§11.1 对弧长的曲线积分
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量:
设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点（x，y)处的线密度为m（x，y）。 求曲线形构件的质量.
把曲线分成n小段,Ds1，Ds2,×××，Dsn(Dsi也表示弧长)；
任取（xi，hi)ÎDsi, 得第i小段质量的近似值m(xi,hi)Dsi；
整个物质曲线的质量近似为;
令l=max｛Ds1，Ds2,×××，Dsn｝®0， 则整个物质曲线的质量为
.
这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。
定义 设函数f（x，y）定义在可求长度的曲线L上，并且有界。,将L任意分成n个弧段:Ds1,Ds2，×××，Dsn，并用Dsi表示第i段的弧长；在每一弧段Dsi上任取一点（xi,hi），作和;令l=max｛Ds1,Ds2，×××，Dsn},如果当l®0时,这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y)在曲线弧L上对弧长的
曲线积分或第一类曲线积分，记作，即
。
其中f（x，y)叫做被积函数,L叫做积分弧段.
曲线积分的存在性：当f(x,y）在光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线积分是存在的。 以后我们总假定f(x,y）在L上是连续的。
根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分的值， 其中m（x，y）为线密度。
对弧长的曲线积分的推广：。
如果L（或G）是分段光滑的, 则规定函数在L（或G）上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2，则规定
。
闭曲线积分：如果L是闭曲线,那么函数f（x，y）在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 。
对弧长的曲线积分的性质：
性质1 设c1、c2为常数, 则
；
性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2, 则
;
性质3设在L上f（x,y）£g（x,y）, 则
.
特别地, 有
二、对弧长的曲线积分的计算法
根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L的线密度为f(x，y）, 则曲线形构件L的质量为 。
另一方面，若曲线L的参数方程为
x=j（t),y=y （t） （a£t£b),
则质量元素为
,
曲线的质量为
。
即.
定理设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为x=j(t），y=y（t） （a£t£b)，
其中j（t）、y（t）在[a，b]上具有一阶连续导数，且j¢2（t）+y¢2(t）¹0，则曲线积分存在，且
（a〈b).
应注意的问题：定积分的下限a一定要小于上限b。
讨论:
（1）若曲线L的方程为y=y（x）(a£x£b），则=?
提示:L的参数方程为x=x，y=y(x)（a£x£b),
。
（2）若曲线L的方程为x=j（y）（c£y£d)，则=?
提示:L的参数方程为x=j（y)，y=y（c£y£d）,
.
（3）若曲G的方程为x=j（t），y=y（t)，z=w(t）(a£t£b）,
则=？
提示：。
例1计算，其中L是抛物线y=x2上点O（0， 0)与点B(1， 1)之间的一段弧。
解曲线的方程为y=x2 （0£x£1），因此
.
例2计算半径为R、中心角为2a的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I（设线密度为m=1）.
解取坐标系如图所示，则.曲线L的参数方程为
x=Rcosq，y=Rsinq (—a£q<a）.
于是
=R3(a—sina cosa）。
例3 计算曲线积分,其中G为螺旋线x=acost、y=asint、z=kt上相应于t从0到达2p的一段弧.
解 在曲线G上有x2+y2+z2=（a cos t）2+（a sin t)2+(kt）2=a2+k 2t 2,并且
,
于是
。
小结
用曲线积分解决问题的步骤：
（1）建立曲线积分；
（2）写出曲线的参数方程( 或直角坐标方程) ，确定参数的变化范围;
（3）将曲线积分化为定积分；
（4)计算定积分。
教学方式及教学过程中应注意的问题
在教学过程中要注意曲线积分解决问题的步骤，要结合实例,反复讲解.
师生活动设计
1。已知椭圆周长为a，求.
2。设C是由极坐标系下曲线及所围成区域的边界，求
讲课提纲、板书设计
作业 P190: 3（1）（3）(5）（7）
§11。 2 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
变力沿曲线所作的功:
设一个质点在xOy面内在变力F（x,y）=P(x，y)i+Q(x,y）j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B，试求变力F（x，y）所作的功。
用曲线L上的点A=A0,A1，A2，×××,An-1，An=B把L分成n个小弧段，
设Ak=（xk,yk），有向线段的长度为Dsk，它与x轴的夹角为tk，则
（k=0, 1， 2，×××,n—1）.
显然,变力F（x,y)沿有向小弧段所作的功可以近似为
;
于是,变力F（x，y)所作的功
，
从而
。
这里t=t（x,y)， {cost， sint｝是曲线L在点(x,y)处的与曲线方向一致的单位切向量。
把L分成n个小弧段:L1， L2，×××， Ln;变力在Li上所作的功近似为：
F（xi，hi)×Dsi=P（xi,hi)Dxi+Q（xi,hi）Dyi;
变力在L上所作的功近似为：
；
变力在L上所作的功的精确值:
，
其中l是各小弧段长度的最大值。
提示：
用Dsi={Dxi，Dyi｝表示从Li的起点到其终点的的向量。用Dsi表示Dsi的模。
对坐标的曲线积分的定义：
定义 设函数f（x,y）在有向光滑曲线L上有界.把L分成n个有向小弧段L1， L2,×××， Ln；小弧段Li的起点为(xi—1，yi—1）,终点为(xi，yi），Dxi=xi—xi—1，Dyi=yi—yi—1； （xi,h）为Li上任意一点，l为各小弧段长度的最大值.
如果极限总存在，则称此极限为函数f(x，y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,记作,即，
设L为xOy面上一条光滑有向曲线, ｛cost, sint｝是与曲线方向一致的单位切向量，函数P(x,y）、Q（x，y)在L上有定义。如果下列二式右端的积分存在，我们就定义
，
，
前者称为函数P(x,y）在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,后者称为函数Q（x，y）在有向曲线L上对坐标y的曲线积分,对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分。
定义的推广：
设G为空间内一条光滑有向曲线, ｛cosa， cosb， cosg}是曲线在点(x,y，z）处的与曲线方向一致的单位切向量,函数P(x,y，z）、Q（x,y，z)、R（x，y，z)在G上有定义.我们定义（假如各式右端的积分存在)
，
，
。
,，
。
对坐标的曲线积分的简写形式:
;
。
对坐标的曲线积分的性质:
（1) 如果把L分成L1和L2，则
.
（2) 设L是有向曲线弧，—L是与L方向相反的有向曲线弧，则
.
两类曲线积分之间的关系：
设｛costi， sinti｝为与Dsi同向的单位向量,我们注意到｛Dxi,Dyi｝=Dsi， 所以
Dxi=costi×Dsi，Dyi=sinti×Dsi，
，
.
即 ，
或。
其中A=｛P,Q}，t=｛cost， sint}为有向曲线弧L上点（x，y）处单位切向量，dr=tds=｛dx，dy｝。
类似地有
，
或 .
其中A=｛P，Q,R},T={cosa， cosb， cosg｝为有向曲线弧G上点(x,y，z）处单们切向量,dr=Tds={dx,dy，dz }，At为向量A在向量t上的投影。
二、对坐标的曲线积分的计算：
定理:设P（x，y）、Q(x，y）是定义在光滑有向曲线L：x=j（t)，y=y（t），上的连续函数，当参数t单调地由a变到b时，点M（x，y)从L的起点A沿L运动到终点B,则
，
.
讨论：=?
提示：.
定理: 若P（x，y）是定义在光滑有向曲线L: x=j（t），y=y（t)(a£t£b)上的连续函数，L的方向与t的增加方向一致，则
。
简要证明： 不妨设a£b。对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为｛j¢（t），y¢(t）｝，
所以，
从而
。
应注意的问题：
下限a对应于L的起点，上限b对应于L的终点，a不一定小于b。
讨论：
若空间曲线G由参数方程x=j(t)，y =y （t)，z=w（t）给出，那么曲线积分
=？
如何计算??
提示：
，
其中a对应于G的起点，b对应于G的终点。
例题：
例1.计算，其中L为抛物线y2=x上从点A(1，—1)到点B（1, 1)的一段弧.
例2。计算.
（1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2；
(2)从点A（a， 0)沿x轴到点B(—a, 0)的直线段。
例3 计算。 (1）抛物线y=x2上从O(0， 0）到B（1， 1）的一段弧； (2）抛物线x=y2上从O（0， 0）到B(1， 1）的一段弧； (3）从O（0， 0)到A(1， 0), 再到R （1, 1）的有向折线OAB。
例4。计算，其中G是从点A（3, 2， 1）到点B(0， 0， 0）的直线段。
例5。设一个质点在M（x,y）处受到力F的作用，F的大小与M到原点O的距离成正比,F的方向恒指向原点。此质点由点A（a， 0)沿椭圆按逆时针方向移动到点B（0，b），求力F所作的功W。
小结
1.第二类曲线积分的定义;
2. 第二类曲线积分的计算方法。
教学方式及教学过程中应注意的问题
在教学过程中要注意第二类曲线积分的定义和计算方法，要结合实例，反复讲解。
师生活动设计
1. 已知为折线ABCOA，计算
讲课提纲、板书设计
作业 P200： 3（1)(3)(5)（7），4
§11。3 格林公式及其应用
一、格林公式
单连通与复连通区域：
设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域。
对平面区域D的边界曲线L, 我们规定L的正向如下:当观察者沿L的这个方向行走时,D内在他近处的那一部分总在他的左边.
区域D的边界曲线的方向:
定理1设闭区域D由分段光滑的曲线围成,函数P（x,y)及Q（x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则有
，
其中L是D的取正向的边界曲线.
简要证明：仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明.
设D={（x，y）｜j1（x)£y£j2(x）,a£x£b}.因为连续，所以由二重积分的计算法有
。
另一方面,由对坐标的曲线积分的性质及计算法有
。
因此
。
设D={(x,y）｜y1（y)£x£y2（y），c£y£d｝。类似地可证
。
由于D即是X－型的又是Y－型的，所以以上两式同时成立,两式合并即得
。
应注意的问题：
对复连通区域D，格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来说都是正向.
设区域D的边界曲线为L, 取P=—y,Q=x，则由格林公式得
， 或。
例1。椭圆x=a cosq，y=b sinq所围成图形的面积A。
分析：只要， 就有.
例2设L是任意一条分段光滑的闭曲线，证明
。
例3。计算，其中D是以O(0， 0),A（1， 1）,B（0， 1)为顶点的三角形闭区域。
分析:要使，只需P=0,。
例4计算，其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向。
解： 令,.则当x2+y2¹0时,有.
记L所围成的闭区域为D.当（0， 0)ÏD时,由格林公式得;
当（0， 0）ÎD时, 在D内取一圆周l:x2+y2=r 2（r〉0).由L及l围成了一个复连通区域D 1,应用格林公式得
，
其中l的方向取逆时针方向.
于是=2p。
记L所围成的闭区域为D.
当(0, 0）ÏD时，由格林公式得
.
分析:这里,, 当x2+y2¹0时，有。
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关：
设G是一个开区域，P（x，y)、Q(x，y)在区域G内具有一阶连续偏导数。如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L 1、L 2，等式
恒成立，就说曲线积分在G内与路径无关，否则说与路径有关.
设曲线积分在G内与路径无关，L 1和L 2是G内任意两条从点A到点B的曲线,则有
，
因为
Û
ÛÛ,
所以有以下结论：
曲线积分在G内与路径无关相当于沿G内任意
闭曲线C的曲线积分等于零.
定理2 设开区域G是一个单连通域,函数P(x，y）及Q(x，y)在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等式
在G内恒成立。
充分性易证:
若，则，由格林公式,对任意闭曲线L,有。
必要性:
假设存在一点M0ÎG，使，不妨设h〉0，则由的连续性,存在M0的一个d邻域U(M0， d），使在此邻域内有. 于是沿邻域U(M0, d）边界l 的闭曲线积分
,
这与闭曲线积分为零相矛盾， 因此在G内。
应注意的问题：
定理要求,区域G是单连通区域,且函数P(x，y)及Q（x,y）在G内具有一阶连续偏导数。如果这两个条件之一不能满足，那么定理的结论不能保证成立。
破坏函数P、Q及、连续性的点称为奇点。
例5计算, 其中L为抛物线y=x2上从O（0， 0）到B（1, 1）的一段弧。
解：因为在整个xOy面内都成立，
所以在整个xOy面内，积分与路径无关。
。
讨论： 设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向， 问是否一定成立？
提示:这里和在点（0， 0）不连续。
因为当x2+y2¹0时,, 所以如果(0, 0)不在L所围成的区域内，则结论成立，而当(0，0）在L所围成的区域内时， 结论未必成立。
三、二元函数的全微分求积
曲线积分在G内与路径无关， 表明曲线积分的值只与起点从点(x0，y0）与终点(x,y）有关。
如果与路径无关，则把它记为
即。
若起点(x0，y0)为G内的一定点,终点(x，y)为G内的动点，则
u(x,y）
为G内的的函数.
二元函数u（x，y）的全微分为du（x,y)=ux(x,y）dx+uy（x，y)dy。
表达式P（x,y)dx+Q（x,y）dy与函数的全微分有相同的结构， 但它未必就是某个函数的全微分. 那么在什么条件下表达式P（x，y)dx+Q（x,y）dy是某个二元函数u（x,y）的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？
定理3 设开区域G是一个单连通域，函数P（x,y）及Q（x,y）在G内具有一阶连续偏导数，则P(x,y）dx+Q（x,y)dy在G内为某一函数u（x,y）的全微分的充分必要条件是等式
在G内恒成立。
简要证明：
必要性:假设存在某一函数u(x，y)，使得du=P（x，y)dx+Q(x，y）dy,
则有，。因为、连续， 所以，即。
充分性：因为在G内, 所以积分在G内与路径无关.在G内从点(x0，y0）到点（x，y）的曲线积分可表示为u(x，y）。
因为 u（x,y)
，
所以 。
类似地有，从而du=P（x，y）dx+Q(x，y）dy.即P（x，y）dx+Q(x,y）dy是某一函数的全微分。
求原函数的公式：
，
,
。
例6 验证:在右半平面(x>0)内是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数。
解： 这里,.
因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数, 且有
,
所以在右半平面内，是某个函数的全微分.
取积分路线为从A（1,0）到B（x,0）再到C（x,y)的折线, 则所求函数为
。
问:为什么（x0，y0）不取（0， 0）？
例7验证:在整个xOy面内,xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。
解这里P=xy2,Q=x2y.
因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数, 且有
,
所以在整个xOy面内，xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分。
取积分路线为从O（0,0）到A（x,0）再到B(x,y)的折线, 则所求函数为
。
思考与练习:
1。在单连通区域G内，如果P（x，y)和Q(x,y)具有一阶连续偏导数，且恒有，那么
(1)在G内的曲线积分是否与路径无关?
(2)在G内的闭曲线积分是否为零？
（3） 在G内P（x，y)dx+Q（x，y）dy是否是某一函数u(x，y）的全微分?
2。在区域G内除M0点外，如果P（x,y)和Q（x，y)具有一阶连续偏导数,且恒有，G1是G内不含M0的单连通区域,那么
（1）在G 1内的曲线积分是否与路径无关?
(2）在G 1内的闭曲线积分是否为零？
(3） 在G 1内P（x,y)dx+Q（x,y）dy是否是某一函数u(x，y）的全微分?
3。 在单连通区域G内，如果P（x，y）和Q（x，y)具有一阶连续偏
导数,，但非常简单，那么
（1）如何计算G内的闭曲线积分？
（2)如何计算G内的非闭曲线积分？
(3)计算，其中L为逆时针方向的
上半圆周(x-a)2+y2=a 2,y³0，
小结
1。格林公式
2. 格林公式中的等价条件.
教学方式及教学过程中应注意的问题
在教学过程中要注意格林公式和其中的等价条件，要结合实例，反复讲解。
师生活动设计
讲课提纲、板书设计
作业 P214： 2 （1）; 3 ； 4 （3） ;
5 (1） , （4） ； 6 (2) , （5）
§11。4对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质
物质曲面的质量问题：设S为面密度非均匀的物质曲面,其面密度为r(x，y，z),求其质量：把曲面分成n个小块：DS1，DS2 ，×××,DSn(DSi也代表曲面的面积);求质量的近似值:((xi,hi,zi ）是DSi上任意一点）;取极限求精确值：（l为各小块曲面直径的最大值)。
定义设曲面S是光滑的,函数f（x，y，z)在S上有界。把S任意分成n小块：DS1,DS2 ，×××,DSn（DSi也代表曲面的面积）, 在DSi上任取一点（xi，hi,zi ), 如果当各小块曲面的直径的最大值l®0时, 极限总存在, 则称此极限为函数f(x,y，z）在曲面S上对面积的曲面积分或第一类曲面积分, 记作，即
.
其中f(x，y，z）叫做被积函数,S叫做积分曲面。
对面积的曲面积分的存在性：
我们指出当f（x,y，z）在光滑曲面S上连续时对面积的曲面积分是存在的。今后总假定f(x,y,z）在S上连续。
根据上述定义面密度为连续函数r（x，y，z）的光滑曲面S的质量M可表示为r（x,y，z）在S上对面积的曲面积分:
如果S是分片光滑的我们规定函数在S上对面积的曲面积分等于函数在光滑的
各片曲面上对面积的曲面积分之和.例如设S可分成两片光滑曲面S1及S2（记作S=S1+S2）就规定
。
对面积的曲面积分的性质:
(1）设c 1、c 2为常数, 则
;
(2）若曲面S可分成两片光滑曲面S1及S2, 则
;
(3）设在曲面S上f(x,y,z)£g(x,y,z), 则
;
(4）, 其中A为曲面S的面积.
二、对面积的曲面积分的计算
面密度为f(x，y，z)的物质曲面的质量为。
另一方面,如果S由方程z=z（x，y)给出,S在xOy面上的投影区域为D， 那么 曲面的面积元素为
，
质量元素为
。
根据元素法， 曲面的质量为
.
因此.
化曲面积分为二重积分：设曲面S由方程z=z(x，y)给出,S在xOy面上的投影区域为Dxy，函数z=z（x，y)在Dxy上具有连续偏导数，被积函数f(x，y，z）在S上连续, 则
。
如果积分曲面S的方程为y=y（z,x）,Dzx为S在zOx面上的投影区域, 则函数f(x,y，z)在S上对面积的曲面积分为
.
如果积分曲面S的方程为x=x(y，z）,Dyz为S在yOz面上的投影区域,则函数f（x，y，z）在S上对面积的曲面积分为
.
例1计算曲面积分，其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面
z=h（0<h<a）截出的顶部.
解S的方程为，Dxy：x2+y2£a2-h2。
因为 ,，
,
所以
。
提示:.
例2 计算，其中S是由平面x=0,y=0，z=0及x+y+z=1所围成的四面体的整个边界曲面。
解整个边界曲面S在平面x=0、y=0、z=0及x+y+z=1上的部分依次记为S1、S2、S3及S4，于是
。
提示:S4:z=1-x-y,
.
小结
1. 对面积的曲面积分的定义和计算
2。 格林公式中的等价条件。
教学方式及教学过程中应注意的问题
在教学过程中要注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式，简化计算的技巧。 ，要结合实例，反复讲解。
师生活动设计
课后习题：1,3，7
讲课提纲、板书设计
作业 P218： 4(3); 5（2）；6（1)， (3)， (4)；8
高等数学课程建设组